Was bedeutet es, dass die eulersche Zahl irrational ist?

Dass die eulersche Zahl irrational ist, bedeutet: e hat unendlich viele Nachkommastellen, die weder abbrechen noch sich in einem regelmäßigen Muster wiederholen. Deshalb lässt sich e nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben. Konkret sieht man das an der Dezimaldarstellung .

Warum zählt die eulersche Zahl zu den transzendenten Zahlen?

Die eulersche Zahl zählt zu den transzendenten Zahlen, weil sie sich im Gegensatz zu anderen irrationalen Zahlen nicht geometrisch konstruieren lässt. Transzendent heißt hier also: e ist zwar irrational, aber zusätzlich nicht durch eine geometrische Konstruktion erreichbar.

Wie berechne ich e mit der unendlichen Reihe über die Fakultät?

e lässt sich mit der unendlichen Reihe berechnen, indem immer mehr Summanden addiert werden, die schnell kleiner werden. Konkret beginnt die Rechnung mit .

Wie hängt e mit Zinseszins und dem Grenzwert zusammen?

e hängt mit Zinseszins zusammen, weil e als Grenzwert von „unendlich oft verzinst“ entsteht. Mathematisch gilt . Das beschreibt, was passiert, wenn die Verzinsung immer häufiger pro Zeitabschnitt erfolgt.

Warum ist die Ableitung von e hoch x wieder e hoch x?

Die Ableitung von ist wieder , weil die e-Funktion genau diese Eigenschaft besitzt: . Das bedeutet, die Änderungsrate ist proportional zur Funktion selbst. Konkret wächst umso schneller, je größer der aktuelle Funktionswert ist.

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Eulersche Zahl

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Eulersche Zahl einfach erklärt

Die eulersche Zahl ist eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik, weil sie in sehr vielen verschiedenen Gebieten auftaucht. Hier zeigen wir dir ihre wichtigsten Eigenschaften. Schaue dir auch unser passendes Video an!

Inhaltsübersicht

Eulersche Zahl einfach erklärt

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(00:16)

Die eulersche Zahl oder auch eulerische Zahl e = 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 … ist eine wichtige Zahl in der Mathematik und Wissenschaft. Ihre häufigste Anwendung ist die e-Funktion e^x und der Logarithmus zur Basis e, der natürliche Logarithmus ln(x).

Hier haben wir dir nur die ersten Nachkommastellen gezeigt, aber tatsächlich hat die e-Zahl unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht mit einem regelmäßigen Muster wiederholen. Du nennst sie deshalb

nicht abbrechend und
nicht periodisch.

Wegen dieser Eigenschaften gehört die eulerische Zahl auch zu den irrationalen Zahlen . Anders als andere irrationale Zahlen, kannst du e nicht geometrisch konstruieren; sie zählt daher zu den transzendenten Zahlen.

Die eulersche Zahl ist nach dem schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707 – 1783) benannt.

Was ist e?

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(00:53)

Es gibt verschiedene Wege, die eulerische Zahl auszurechnen. Leonhard Euler hat e als eine unendliche Reihe definiert. Das heißt, du rechnest die Zahl aus, indem du unendlich viele immer kleiner werdende Zahlen addierst. Das Ausrufezeichen steht für die Fakultät .

$\mathrm{e} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$

Die eulersche Zahl taucht auch auf natürliche Weise in der Zinseszinsrechnung auf. Deshalb erhältst du sie, wenn du unendlich fortgeführten Zinseszins ausrechnest.

$\mathrm{e} = \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

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e-Funktion

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(02:35)

In der Regel brauchst du die eulersche Zahl im Zusammenhang mit der natürlichen Exponentialfunktion e^x und dem natürlichen Logarithmus ln(x). Die Exponentialfunktion nennst du auch die e-Funktion.

e funktion, eulersche zahl, e hoch x, e funktionen, e-funktion, zahl e, mathe e, was ist e, e hoch 1, e mathe, e zahl, eulerische zahl, e^-1 — Der Funktionsgraph der Exponentialfunktion e hoch x.

Die vier wichtigsten Eigenschaften der e Funktion sind:

der y-Achsenschnittpunkt bei 1 (e⁰ = 1),
e^x wird nicht Null (e^x ≠ 0),
für x = 1 ist die e-Funktion gleich der eulerischen Zahl (e¹ = e) und
die Ableitung der e-Funktion ist die Exponentialfunktion selbst: (e^x)‘ = e^x.

Weil die Ableitung der Exponentialfunktion wieder die ursprüngliche e-Funktion ist, sagst du auch, dass die Änderungsrate der e-Funktion proportional zur e-Funktion ist. Diese Eigenschaften findest du oft in der Natur, bei Zerfalls- und Wachstumsprozessen. Zum Beispiel kannst du den radioaktiven Zerfall von chemischen Elementen mit der Exponentialfunktion beschreiben, weil die Zerfallsgeschwindigkeit wie die e-Funktion von der Menge an radioaktiven Material ist.

Die Ausbreitung von Krankheiten oder das Wachstum von Bakterien kannst du mit einem sogenannten logistischen Wachstum beschreiben. Der Anfang einer logistischen Wachstumskurve ist auch eine Exponentialfunktion, weil die Anzahl der neuen Bakterien und Infektionen davon abhängt, wie viele Bakterien und Infizierte im Moment vorhanden sind. Natürlich kann die Anzahl nicht wie bei der e-Funktion unendlich steigen, sondern stoppt beim logistischen Wachstum an einer Obergrenze.

Die eulersche Zahl brauchst du auch oft in der Statistik, weil viele zufällige Ereignissen mit der Normalverteilung (Gaußverteilung) beschrieben werden können.

Eulersche Zahl — häufigste Fragen

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Was bedeutet es, dass die eulersche Zahl irrational ist?

Dass die eulersche Zahl irrational ist, bedeutet: e hat unendlich viele Nachkommastellen, die weder abbrechen noch sich in einem regelmäßigen Muster wiederholen. Deshalb lässt sich e nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben. Konkret sieht man das an der Dezimaldarstellung $e = 2{,}718281828459\ldots$ .
Warum zählt die eulersche Zahl zu den transzendenten Zahlen?

Die eulersche Zahl zählt zu den transzendenten Zahlen, weil sie sich im Gegensatz zu anderen irrationalen Zahlen nicht geometrisch konstruieren lässt. Transzendent heißt hier also: e ist zwar irrational, aber zusätzlich nicht durch eine geometrische Konstruktion erreichbar.
Wie berechne ich e mit der unendlichen Reihe über die Fakultät?

e lässt sich mit der unendlichen Reihe $e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$ berechnen, indem immer mehr Summanden addiert werden, die schnell kleiner werden. Konkret beginnt die Rechnung mit $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots$ .
Wie hängt e mit Zinseszins und dem Grenzwert zusammen?

e hängt mit Zinseszins zusammen, weil e als Grenzwert von „unendlich oft verzinst“ entsteht. Mathematisch gilt $e = \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ . Das beschreibt, was passiert, wenn die Verzinsung immer häufiger pro Zeitabschnitt erfolgt.
Warum ist die Ableitung von e hoch x wieder e hoch x?

Die Ableitung von ist wieder , weil die e-Funktion genau diese Eigenschaft besitzt: . Das bedeutet, die Änderungsrate ist proportional zur Funktion selbst. Konkret wächst umso schneller, je größer der aktuelle Funktionswert ist.