Funktionen
Exponentialfunktion & Logarithmus
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Die eulersche Zahl ist eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik, weil sie in sehr vielen verschiedenen Gebieten auftaucht. Hier zeigen wir dir ihre wichtigsten Eigenschaften. Schaue dir auch unser passendes Video an!

Eulersche Zahl einfach erklärt

Die eulersche Zahl oder auch eulerische Zahl e = 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 … ist eine wichtige Zahl in der Mathematik und Wissenschaft. Ihre häufigste Anwendung ist die e-Funktion ex und der Logarithmus zur Basis e, der natürliche Logarithmus ln(x).

Hier haben wir dir nur die ersten Nachkommastellen gezeigt, aber tatsächlich hat die e-Zahl unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht mit einem regelmäßigen Muster wiederholen. Du nennst sie deshalb

  • nicht abbrechend und
  • nicht periodisch.

Wegen dieser Eigenschaften gehört die eulerische Zahl auch zu den irrationalen Zahlen . Anders als andere irrationale Zahlen, kannst du e nicht geometrisch konstruieren; sie zählt daher zu den transzendenten Zahlen. 

Die eulersche Zahl  ist nach dem deutschen Mathematiker Leonhard Euler (1707 – 1783) benannt.

Was ist e?

Es gibt verschiedene Wege, die eulerische Zahl auszurechnen. Leonhard Euler hat e als eine unendliche Reihe definiert. Das heißt, du rechnest die Zahl aus, indem du unendlich viele immer kleiner werdende Zahlen addierst. Das Ausrufezeichen steht für die Fakultät .

    \[ \mathrm{e} =  1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \]

Die eulersche Zahl taucht auch auf natürliche Weise in der Zinseszinsrechnung auf. Deshalb erhälst du sie, wenn du unendlich fortgeführten Zinseszins ausrechnest.

    \[ \mathrm{e} = \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \]

e-Funktion

In der Regel brauchst du die eulersche Zahl im Zusammenhang mit der natürlichen Exponentialfunktion ex und dem natürlichen Logarithmus ln(x). Die Exponentialfunktion nennst du auch die e-Funktion.

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Der Funktionsgraph der Exponentialfunktion e hoch x.

Die vier wichtigsten Eigenschaften der e Funktion sind:

  • der y-Achsenschnittpunkt bei 1 (e0 = 1),
  • ex wird nicht Null (ex ≠ 0),
  • für x = 1 ist die e-Funktion gleich der eulerischen Zahl (e1 = e) und
  • die Ableitung der e-Funktion ist die Exponentialfunktion selbst: (ex)‘ = ex.

Weil die Ableitung der Exponentialfunktion wieder die ursprüngliche e-Funktion ist, sagst du auch, dass die Änderungsrate der e-Funktion proportional zur e-Funktion ist. Diese Eigenschaften findest du oft in der Natur, bei Zerfalls- und Wachstumsprozessen. Zum Beispiel kannst du den radioaktiven Zerfall von chemischen Elementen mit der Exponentialfunktion beschreiben, weil die Zerfallsgeschwindigkeit wie die e-Funktion von der Menge an radioaktiven Material ist.

Die Ausbreitung von Krankheiten oder das Wachstum von Bakterien kannst du mit einem sogenannten logistischen Wachstum beschreiben. Der Anfang einer logistischen Wachstumskurve ist auch eine Exponentialfunktion, weil die Anzahl der neuen Bakterien und Infektionen davon abhängt, wie viele Bakterien und Infizierte im Moment vorhanden sind. Natürlich kann die Anzahl nicht wie bei der e-Funktion unendlich steigen, sondern stoppt beim logistischen Wachstum an einer Obergrenze.

Die eulersche Zahl brauchst du auch oft in der Statistik, weil viele zufällige Ereignissen mit der Normalverteilung (Gaußverteilung) beschrieben werden können.

Eulersche Formel

Eine wichtige Anwendung der eulerischen Zahle in Kombination mit der imaginären Zahl i ist die eulersche Identität .

    \[ \mathrm{e}^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \]

Mit ihr kannst du Schwingungen und Drehungen sehr leicht beschreiben. Schau dir gleich unser passendes Video dazu an!

Eulersche Formel
Eulersche Formel

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