Lineare Algebra

In diesem Beitrag zeigen wir dir unter anderem was komplexe Zahlen sind und wie du mit ihnen rechnest. In unserem Video  lernst du das Wichtigste zu komplexen Zahlen in kurzer Zeit.

Inhaltsübersicht

Was sind komplexe Zahlen?  

Nehmen wir an, dass du die folgende Gleichung lösen möchtest

x^2 = -1.

Mit den dir bisher bekannten reellen Zahlen, findest du dafür keine Lösung, denn das Quadrat jeder reellen Zahl ist nicht-negativ. Und genau hier kommen die komplexen Zahlen ins Spiel.

Dazu wurde die \text{\textcolor{orange}{imaginäre Einheit}} \text{i} eingeführt, die gerade diese Eigenschaft hat, dass ihr Quadrat eine negative Zahl ist

\text{i}^2 = -1.

Komplexe Zahlen sind dann eine bestimmte Kombination aus zwei reellen Zahlen, die \text{\textcolor{blue}{Realteil}} und \text{\textcolor{red}{Imaginärteil}} heißen. Diese Kombination sieht so aus

z = \textcolor{blue}{x} + \text{\textcolor{orange}{i}} \cdot \textcolor{red}{y}.

Das heißt, die komplexe Zahl z = \textcolor{blue}{0} + \text{\textcolor{orange}{i}} \cdot \textcolor{red}{1} = \text{\textcolor{orange}{i}} würde die Gleichung am Anfang lösen.

Komplexe Zahlen Beispiele  

Beispiele für komplexe Zahlen sind

z = \textcolor{blue}{5} + \text{\textcolor{orange}{i}} \cdot \textcolor{red}{4},

w = \textcolor{blue}{-3} - \text{\textcolor{orange}{i}} \cdot \textcolor{red}{2} oder

u = \textcolor{blue}{\pi} - \text{\textcolor{orange}{i}} \cdot \textcolor{red}{\frac{16}{10}}

Du kannst dir komplexe Zahlen als Punkte oder Vektoren in einem Koordinatensystem vorstellen.  Die komplexe Zahl z zum Beispiel hat als Re(z) = \text{\textcolor{blue}{Realteil}} = 5 und als Im(z) = \text{\textcolor{red}{Imaginärteil}} = 4.

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Komplexe Zahlen Beispiele in der Gaußschen Zahlenebene.

Dieses Koordinatensystem bekommt den besonderen Namen komplexe Zahlenebene oder Gaußsche Zahlenebene .

Komplexe Zahlen Rechenregeln Übersicht

Hier eine Übersicht wichtiger Rechenregeln. Im folgenden werden wir auf diese Rechenregeln nicht nur näher eingehen, sondern dir auch Beispiele zeigen.

Komplexe Zahlen Struktur

z = a + \text{i} \cdot b  ;  w = c + \text{i} \cdot d

Realteil Re und Imaginärteil Im

Re(z) = a , Im(z) = b  ;  Re(w) = c , Im(w) = d

Addition und Subtraktion

z \pm w = (a \pm c) + \text{i} \cdot (b \pm d)

Multiplikation

z \cdot w = (ac - bd) + \text{i} \cdot (ad + bc)

Division

\frac{z}{w} = \frac{z \cdot \overline{w}}{w \cdot \overline{w}}

Komplex konjugiert

Vorzeichen von Im wechseln: \overline{z} = a - \text{i} \cdot b  ;  \overline{w} = c - \text{i} \cdot d

Betrag Abstand vom Ursprung: \lvert z \rvert = \sqrt{z \cdot \overline{z}} = \sqrt{a^2 + b^2}

Komplexe Zahlen Rechenregeln  

In diesem Abschnitt erklären wir dir, wie du komplexe Zahlen addierst, subtrahierst, multiplizierst und dividierst. Am Ende dieses Abschnittes zeigen wir dir auch, wie du den Betrag einer komplexen Zahl  berechnest.

Komplexe Zahlen addieren und subtrahieren

Sagen wir, du hast zwei komplexe Zahlen gegeben

z = \textcolor{blue}{a} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{b} und w = \textcolor{orange}{c} + \text{i} \cdot \textcolor{violet}{d}.

Komplexe Zahlen Addition und Subtraktion

Wenn du diese addieren möchtest, dann rechnest du

z + w = (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{orange}{c}) + \text{i} \cdot (\textcolor{red}{b} + \textcolor{violet}{d})

und wenn du sie subtrahieren möchtest

z - w = (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{orange}{c}) + \text{i} \cdot (\textcolor{red}{b} - \textcolor{violet}{d}).

Beispiel

Nehmen wir an, dass du die folgenden komplexen Zahlen gegeben hast

z = \textcolor{blue}{5} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{7} und w = \textcolor{orange}{3} + \text{i} \cdot \textcolor{violet}{1}.

Wenn du z und w addierst, dann bekommst du

z + w = (\textcolor{blue}{5} + \textcolor{orange}{3}) + \text{i} \cdot (\textcolor{red}{7} + \textcolor{violet}{1}) = 8 + \text{i} \cdot 8.

Ziehst du hingegen von z die komplexe Zahl w ab, dann erhältst du

z - w = (\textcolor{blue}{5} - \textcolor{orange}{3}) + \text{i} \cdot (\textcolor{red}{7} - \textcolor{violet}{1}) = 2 + \text{i} \cdot 6.

In der Gaußschen Zahlenebene kannst du dir die Addition (und Subtraktion) von komplexen Zahlen wie die Vektoraddition vorstellen. Das heißt, du bildest mit den beiden „Vektoren“ z und w (beziehungsweise -w) ein Parallelogramm. Die Diagonale ist dann das Ergebnis der Addition (oder Subtraktion).

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Komplexe Zahlen Addition in der Gaußschen Zahlenebene.

Komplexe Zahlen multiplizieren  

Du hast wieder die zwei komplexen Zahlen

z = \textcolor{blue}{a} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{b} und w = \textcolor{orange}{c} + \text{i} \cdot \textcolor{violet}{d}

gegeben.

Komplexe Zahlen Multiplikation

Wenn du diese beiden komplexen Zahlen multiplizieren möchtest, dann rechnest du

z \cdot w = (\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{orange}{c} - \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{violet}{d}) + \text{i} \cdot (\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{violet}{d} + \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{orange}{c}).

Beispiel

Wir nehmen die komplexen Zahlen aus dem vorherigen Beispiel

z = \textcolor{blue}{5} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{7} und w = \textcolor{orange}{3} + \text{i} \cdot \textcolor{violet}{1}.

Multiplizierst du jetzt z und w miteinander, dann erhältst du

z \cdot w = (\textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{orange}{3} - \textcolor{red}{7} \cdot \textcolor{violet}{1}) + \text{i} \cdot (\textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{violet}{1} + \textcolor{red}{7} \cdot \textcolor{orange}{3}) = (15 - 7) + \text{i} \cdot (5 + 21) = 8 + \text{i} \cdot 26.

Auch die Multiplikation kannst du dir in der Gaußschen Zahlenebene veranschaulichen. Wenn du das Produkt z \cdot w berechnest, dann nimmst du den „Vektor“ z, skalierst seine Länge um die Länge von dem „Vektor“ w, also \lvert w \rvert, und rotierst ihn zusätzlich um den Winkel vom „Vektor“ w, also \theta_w

Merke: Die Multiplikation in der Gaußschen Zahlenebene entspricht dem Strecken oder Stauchen mit zusätzlicher Rotation eines Vektors.

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Komplexe Zahlen Multiplikation in der Gaußschen Zahlenebene.

Hinweis: Du musst diese Formel nicht auswendig lernen. Du kannst sie herleiten. Dafür brauchst du nur das Ausmultiplizieren von Klammern. Dabei musst du darauf achten, dass \text{i}^2 = -1 gilt. Das funktioniert folgendermaßen

z \cdot w = (a + \text{i} \cdot b) \cdot (c + \text{i} \cdot d) = a \cdot c + a \cdot (\text{i} \cdot d) + (\text{i} \cdot b) \cdot c + (\text{i} \cdot b) \cdot (\text{i} \cdot d)

= a c + \text{i} \cdot a d + \text{i} \cdot b c + \text{i}^2 \cdot b d

= (a c - b d) + \text{i} \cdot (ad + b c).

Komplexe Zahlen Division  

Wir bleiben bei unseren komplexen Zahlen

z = \textcolor{blue}{a} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{b} und w = \textcolor{orange}{c} + \text{i} \cdot \textcolor{violet}{d}.

Komplexe Zahlen dividieren

Möchtest du die komplexe Zahl z durch die komplexe Zahl w dividieren, dann rechnest du

\frac{\displaystyle{z}}{\displaystyle{w}} = \frac{\displaystyle{z \cdot \overline{w}}}{\displaystyle{w \cdot \overline{w}}} = \frac{\displaystyle{(\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{orange}{c} - \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{violet}{(-d)}) + \text{i} \cdot (\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{violet}{(-d)} + \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{orange}{c})}}{\displaystyle{\textcolor{orange}{c}^2 + \textcolor{violet}{d}^2}}.

Komplex konjugiert

Was hat es mit diesem Strich über \overline{w} auf sich? Das ist die zu w komplexe konjugierte Zahl. Schauen wir uns das genauer an und nehmen dafür die komplexe Zahl z her

z = \textcolor{blue}{a} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{b}.

Wenn du jetzt das Vorzeichen des Imaginärteils Im(z) \textcolor{red}{b} umkehrst, erhältst du die zu z komplex konjugierte Zahl \overline{z}

\overline{z} = \textcolor{blue}{a} + \text{i} (\cdot \textcolor{red}{-b}) = \textcolor{blue}{a} \ \textcolor{red}{-} \ \text{i} \cdot \textcolor{red}{b}.

Mehr zu komplex konjugiert findest du in unserem Beitrag hier .

Beispiel

Die komplexen Zahlen für das Beispiel lauten wieder

z = \textcolor{blue}{5} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{7} und w = \textcolor{orange}{3} + \text{i} \cdot \textcolor{violet}{1}.

Schritt 1: Im ersten Schritt berechnen wir \overline{w}. Das heißt, wir kehren das Vorzeichen von \textcolor{violet}{1} um. Dadurch erhalten wir

\overline{w} = \textcolor{orange}{3} - \text{i} \cdot \textcolor{violet}{1}.

Schritt 2: Jetzt berechnen wir das Produkt z \cdot \overline{w}

z \cdot \overline{w} = (\textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{orange}{3} - \textcolor{red}{7} \cdot \textcolor{violet}{(-1)}) + \text{i} \cdot (\textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{violet}{(-1)} + \textcolor{red}{7} \cdot \textcolor{orange}{3}) = (15 + 7) + \text{i} \cdot (-5 + 21) = 22 + \text{i} \cdot 16.

Schritt 3: Nun berechnen wir das Produkt w \cdot \overline{w}

w \cdot \overline{w} = \textcolor{orange}{3}^2 + \textcolor{violet}{1}^2} = 9 + 1 = 10.

Schritt 4: Wir haben alle Zutaten zusammen und müssen diese nur noch in die Formel einfügen

\frac{\displaystyle{z}}{\displaystyle{w}} = \frac{\displaystyle{z \cdot \overline{w}}}{\displaystyle{w \cdot \overline{w}}} = \frac{\displaystyle{22 + \text{i} \cdot 16}}{\displaystyle{10}} = \frac{22}{10} + \text{i} \cdot \frac{16}{10}.

Merke: Dieser Prozess den Zähler und Nenner mit \overline{w} zu multiplizieren, heißt komplex konjugiert erweitern. Wenn du eine komplexe Zahl w = \textcolor{orange}{c} + \text{i} \cdot \textcolor{violet}{d} mit der dazu komplex konjugierten Zahl \overline{w} multiplizierst, dann erhältst du als Ergebnis immer

\text{\textcolor{orange}{Realteil}}^2 PLUS \text{\textcolor{violet}{Imaginärteil}}^2.

Betrag komplexe Zahl  

Zum Schluss schauen wir uns noch an, wie du den Betrag einer komplexen Zahl berechnest. Dazu nehmen wir uns die komplexe Zahl z her z = \textcolor{blue}{x} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{y}.

Möchtest du den Betrag von z bestimmen, dann rechnest du

\textcolor{orange}{\lvert z \rvert} = \sqrt{z \cdot \overline{z}} = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2}.

Hinweis: Wenn du dir die komplexe Zahl z als Punkt in der Zahlenebene vorstellst, dann entspricht der Betrag gerade dem Abstand vom Ursprung . Mehr dazu findest du in unserem Beitrag hier .

Zum Video: Betrag komplexe Zahl
Zum Video: Betrag komplexe Zahl

Komplexe Zahlen Polarform

Bisher haben wir uns komplexen Zahlen in ihrer kartesischen Darstellung angeschaut. Du kannst stattdessen aber auch Polarkoordinaten verwenden. Das bedeutet, dass du eine komplexe Zahl z dadurch bestimmst, indem du den Abstand \textcolor{orange}{r} vom Ursprung und den Winkel \textcolor{violet}{\theta} zur x-Achse angibst. Dieser Winkel heißt auch \text{\textcolor{violet}{Argument}}.

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Komplexe Zahlen Polarform illustriert.

Verwendest du Polarkoordinaten, dann sieht eine komplexe Zahl z so aus

z = \textcolor{orange}{r} \cdot (\cos(\textcolor{violet}{\theta}) + \text{i} \cdot \sin(\textcolor{violet}{\theta})),

wenn du sie mit Sinus und Cosinus ausdrückst. Du kannst aber auch die e-Funktion verwenden. Die komplexe Zahl in der Exponentialform sieht dann so aus

z = \textcolor{orange}{r} \cdot \text{e}^{\text{i} \cdot \textcolor{violet}{\theta}}.

Ein Beispiel dafür ist 

z = \textcolor{orange}{2} \cdot \text{e}^{\text{i} \cdot \textcolor{violet}{45^{\circ}}}.

Komplexe Zahlen umrechnen  

Jetzt schauen wir uns an, wie du von kartesischen Koordinaten auf Polarkoordinaten umrechnen kannst und umgekehrt.

Kartesische Koordinaten auf Polarkoordinaten

Du hast die komplexe Zahl z in kartesischen Koordinaten gegeben

z = \textcolor{blue}{x} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{y}.

Um den Abstand \textcolor{orange}{r} zu bestimmen, berechnest du den Betrag von z

\textcolor{orange}{r} = \lvert z \rvert = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2}.

Möchtest du nun auch das Argument \textcolor{violet}{\theta} berechnen, dann musst du zwei Fälle unterscheiden:

  1. Wenn \textcolor{red}{y} \geq 0 ist, dann rechnest du \textcolor{violet}{\theta} = \arctan \left(\frac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{orange}{r}} \right );
  2. Ist hingegen \textcolor{red}{y} < 0, dann rechnest du \textcolor{violet}{\theta} = -\arctan \left(\frac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{orange}{r}} \right ).

Beispiel

Nehmen wir an, dass du die folgende komplexe Zahl in kartesischer Darstellung gegeben hast

z = 3 + \text{i} \cdot 4.

Du möchtest davon die Darstellung in Polarkoordinaten berechnen. Dazu rechnest du zunächst den Abstand r vom Ursprung aus

\textcolor{orange}{r}  = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} = \sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + \textcolor{red}{4}^2} = 5.

Für das Argument \theta musst du zunächst überprüfen, welche der beiden Fälle vorliegen. Hier ist der Imaginärteil gleich 4 und somit größer als Null. Du rechnest daher

\textcolor{violet}{\theta} = \arctan \left(\frac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{orange}{r}} \right ) = \arctan \left(\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{orange}{5}} \right ) \approx 31^{\circ}.

In Polarform sieht z also so aus

z = 5 \cdot e^{\text{i} \cdot 31^{\circ}}.

Polarkoordinaten auf kartesiche Koordinaten

Diesmal hast du eine komplexe Zahl z in Polarkoordinaten gegeben

z = \textcolor{orange}{r} \cdot \text{e}^{\text{i} \cdot \textcolor{violet}{\theta}}.

Um die kartesische Koordinaten \textcolor{blue}{x} und \textcolor{red}{y} zu bestimmen, rechnest du

\textcolor{blue}{x} = \textcolor{orange}{r} \cdot \cos(\textcolor{violet}{\theta}) und

\textcolor{red}{y} = \textcolor{orange}{r} \cdot \sin(\textcolor{violet}{\theta}).

Beispiel

Die komplexe Zahl ist diesmal in ihrer Polarform gegeben

z = \textcolor{orange}{2} \cdot \text{e}^{\text{i} \cdot \textcolor{violet}{45^{\circ}}}.

Um die kartesische Darstellung zu bestimmen, rechnest du

\textcolor{blue}{x} = \textcolor{orange}{2} \cdot \cos(\textcolor{violet}{45^{\circ}}) = \sqrt{2} und

\textcolor{red}{y} = \textcolor{orange}{2} \cdot \sin(\textcolor{violet}{45^{\circ}}) = \sqrt{2}.

In kartesischer Darstellung sieht z also so aus

z = \sqrt{2} + \text{i} \cdot \sqrt{2}.

Mehr zu den Polarkoordinaten erfährst du in unserem extra Video dazu!

Zum Video: Polarkoordinaten
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