Mathematische Grundlagen
Zahlenlehre
 – Video

Natürliche Zahlen brauchst du sowohl in Mathe als auch im Alltag ziemlich oft. Was du unter natürlichen Zahlen verstehst und ob 0 eine natürliche Zahl ist, erfährst du hier% und in unserem Video!

Was sind natürliche Zahlen?

Die natürlichen Zahlen sind alle Zahlen, die du zum Zählen verwendest, also 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Zur Menge der natürlichen Zahlen gehören somit nur positive ganze Zahlen. Negative Zahlen, Brüche und Kommazahlen wie -1, ½ oder 0,5 zählst du nicht dazu. 

Ist 0 eine natürliche Zahl? Darauf gibt es keine klare Antwort. Manchmal wird die 0 zu den natürlichen Zahlen gezählt und manchmal nicht. 

Natürliche Zahlen Definition

Die Zahlen 1, 2, 3, … gehören zu den natürlichen Zahlen. Du kannst sie mit dem natürliche Zahlen Symbol aufschreiben. Es siehst aus wie ein N mit Doppelstrich:

    \[ \textcolor{blue}{\mathbb{N}} = \{ 1; 2; 3; 4; \dots \} \]

Unterschied zu ganzen Zahlen

Zu den ganzen Zahlen \textcolor{olive}{\mathbb{Z}} gehören alle natürlichen Zahlen und zusätzlich noch die negativen Zahlen, wie -1 oder -21. Du kannst dir das am Beispiel merken:

  • -1, -21 und -99 sind negativ. Deshalb sind sie nur in den ganzen Zahlen und nicht in den natürlichen Zahlen.
  • 1, 2 und 17 sind sowohl in den natürlichen Zahlen als auch in den ganzen Zahlen. 

Jede natürliche Zahl gehört also automatisch auch zu den ganzen Zahlen, aber nicht umgekehrt.

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Natürliche Zahlen und ganze Zahlen

Unterschied zu rationalen Zahlen

Zu den rationalen Zahlen gehören alle ganzen Zahlen und zusätzlich alle Brüche und Kommazahlen. Die Brüche ¼ und ½ und die Kommazahlen 1,25 oder -4,5 sind also rationale Zahlen. Du siehst, dass auch negative Brüche und negative Kommazahlen dazugehören. Du kannst dir das am Beispiel merken:

  •  ¼ und 1,25 sind Brüche bzw. Kommazahlen. Deshalb sind sie nur in den rationalen Zahlen und nicht in den ganzen Zahlen.
  • -5 und 13 sind sowohl in den ganzen Zahlen als auch in den rationalen Zahlen. 

Jede natürliche und jede ganze Zahl gehört also automatisch auch zu den rationalen Zahlen, aber nicht umgekehrt.

Natürliche Zahlen mit und ohne 0

Ob die 0 zu den natürlichen Zahlen gehört, ist in der Mathematik nicht eindeutig geklärt.

  • Manchmal bezeichnest du alle nicht negativen Zahlen als natürliche Zahlen — dann gehört die 0 dazu. Wenn du sicher gehen willst, kannst du dann \textcolor{teal}{\mathbb{N}_0} anstatt \textcolor{blue}{\mathbb{N}} schreiben.
  • Wenn die 0 keine natürliche Zahl sein soll, schreibst du N+. Die natürlichen Zahlen sind dann alle positiven ganzen Zahlen.
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Die Menge der natürlichen Zahlen

Expertenwissen: Eigenschaften von natürlichen Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen hat vier Eigenschaften. Du kannst sie als eine Art natürliche Zahlen Definition ansehen:

  1. Die kleinste natürliche Zahl ist 1.
  2. Jede natürliche Zahl hat eine um 1 größere Zahl. Die ist ihr Nachfolger.
  3. Zwischen einer natürlichen Zahl und ihrem Nachfolger liegt keine weitere natürliche Zahl.
  4. Es gibt keine größte natürliche Zahl. Es gibt also unendlich viele natürliche Zahlen.

Du kannst also bei der 1 anfangen und alle natürlichen Zahlen abzählen. Du musst immer nur +1 rechnen. Allerdings wirst du mit dem Zählen nie fertig, weil es unendlich viele von ihnen gibt.

Ganze Zahlen

Du hast schon gesehen, dass negative Zahlen keine natürlichen Zahlen sind. Die 0 wird auch nicht immer natürlich genannt. Es gibt aber eine Zahlenmenge, die negative Zahlen und die 0 enthält. Das sind die ganzen Zahlen. Schau dir gleich unser Video dazu an!

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