Lineare Algebra

Imaginäre Zahlen

In diesem Betrag erklären wir dir, was imaginäre Zahlen sind und wie du mit ihnen rechnen kannst. Unser Video  dazu erklärt dir das Wichtigste anschaulich und in kurzer Zeit.

Inhaltsübersicht

Was sind imaginäre Zahlen?  

Von der Schule ist dir bekannt, dass es einerseits keine reelle Zahl gibt, die quadriert eine negative Zahl erzeugt. Andererseits war es dir auch nicht erlaubt, Quadratwurzeln von negativen Zahlen zu ziehen.

An dieser Stelle treten die imaginären Zahlen ein. Der Hauptbaustein dafür ist die imaginäre Einheit \text{\textcolor{orange}{i}} mit der besonderen Eigenschaft

\text{\textcolor{orange}{i}}^2 = -1.

Damit kannst du auch Quadratwurzeln von negativen Zahlen ziehen. Das geht so

\sqrt{-x} = \sqrt{\text{\textcolor{orange}{i}}^2 \cdot x} = \sqrt{\text{\textcolor{orange}{i}}^2} \cdot \sqrt{x} = \text{\textcolor{orange}{i}} \cdot \sqrt{x},

wobei x eine positive reelle Zahl ist (also x > 0).

Wenn du jetzt diesen Hauptbaustein \text{i} nimmst und ihn mit beliebigen reellen Zahlen x multiplizierst, kannst du alle imaginären Zahlen \text{i} \cdot x konstruieren .

Hinweis: Imaginäre Zahlen haben auch die folgende Eigenschaft: Nimmst du eine imaginäre Zahl und quadrierst sie, ist das Ergebnis immer eine negative reelle Zahl.

Imaginäre Zahlen Beispiele  

Hier ein paar Beispiele für imaginäre Zahlen und ihre Quadrate

\textcolor{blue}{z} = \text{i} \cdot 5 \Longrightarrow z^2 = (\text{i} \cdot 5)^2 = \text{i}^2 \cdot 5^2 = -25,

\textcolor{red}{w} = \text{i} \cdot 2 \Longrightarrow w^2 = (\text{i} \cdot 2)^2 = \text{i}^2 \cdot 2^2 = -4,

\textcolor{violet}{u} = \text{i} \cdot \pi \Longrightarrow u^2 = (\text{i} \cdot \pi)^2 = \text{i}^2 \cdot \pi^2 = -\pi^2.

So wie reelle Zahlen auf der Zahlengerade „leben“ (der reellen Achse), kannst du dir auch vorstellen, dass die imaginären Zahlen auf einer Gerade „leben“, die imaginäre Achse heißt. Diese beiden Achsen zusammen bilden die Gaußsche Zahlenebene .

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Imaginäre Zahlen „leben“ auf der imaginären Achse.
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Imaginäre Zahlen Rechenregeln  

In diesem Abschnitt erklären wir dir, wie du mit imaginären Zahlen rechnest. Wir zeigen dir, wie du imaginären Zahlen addierst, subtrahierst, multipliziert und dividierst. Zum Schluss schauen wir uns die Potenzen der imaginären Einheit an.

Imaginäre Zahlen Addition und Subtraktion

Du hast zwei imaginäre Zahlen gegeben

z = \text{i} \cdot \textcolor{blue}{a} und w = \text{i} \cdot \textcolor{red}{b}.

Die Buchstaben \textcolor{blue}{a} und \textcolor{red}{b} stehen für irgendwelche reellen Zahlen.

Imaginäre Zahlen addieren und subtrahieren

Möchtest du nun z und w addieren, so rechnest du

z + w = \text{i} \cdot ( \textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b} ).

Wenn du hingegen z und w subtrahieren möchtest, dann rechnest du

z - w = \text{i} \cdot ( \textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b} ).

Merke: Bei der Addition und Subtraktion von imaginären Zahlen gehst du vor, wie bei den dir vertrauten reellen Zahlen. Du darfst nur nicht die imaginäre Einheit vergessen.

Beispiel

Nehmen wir an, dass du die folgenden imaginären Zahlen gegeben hast

z = \text{i} \cdot \textcolor{blue}{9} und w = \text{i} \cdot \textcolor{red}{4}.

Wenn du z und w addierst, dann bekommst du

z + w = \text{i} \cdot ( \textcolor{blue}{9} + \textcolor{red}{4} ) = \text{i} \cdot 13.

Ziehst du hingegen von z die imaginäre Zahl w ab, dann erhältst du

z - w = \text{i} \cdot ( \textcolor{blue}{9} - \textcolor{red}{4} ) = \text{i} \cdot 5.

Imaginäre Zahlen Multiplikation  

Du hast wieder die zwei imaginären Zahlen

z = \text{i} \cdot \textcolor{blue}{a} und w = \text{i} \cdot \textcolor{red}{b}.

Imaginäre Zahlen multiplizieren

Wenn du z und w miteinander multiplizieren möchtest, dann rechnest du

z \cdot w = (\text{i} \cdot \textcolor{blue}{a}) \cdot (\text{i} \cdot \textcolor{red}{b}) = \text{i}^2 \cdot (\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}) = -(\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}).

Merke: Wenn du zwei imaginäre Zahlen miteinander multiplizierst, bekommst du immer eine reelle Zahl heraus. Auch die Multiplikation imaginärer Zahlen ist ähnlich zur Multiplikation reeller Zahlen. Du darfst nur nicht die imaginäre Einheit und ihre Eigenschaft \text{i}^2 = -1 vergessen.

Beispiel

Nehmen wir die imaginären Zahlen aus dem vorherigen Beispiel

z = \text{i} \cdot \textcolor{blue}{9} und w = \text{i} \cdot \textcolor{red}{4}.

Wenn du sie diesmal miteinander multiplizierst, dann erhältst du

z \cdot w = -(\textcolor{blue}{9} \cdot \textcolor{red}{4}) = -36.

Imaginäre Zahlen Division  

Wir bleiben bei unseren imaginären Zahlen

z = \text{i} \cdot \textcolor{blue}{a} und w = \text{i} \cdot \textcolor{red}{b}.

Imaginäre Zahlen dividieren

Möchtest du die imaginäre Zahl z durch die imaginäre Zahl w dividieren, dann rechnest du

\displaystyle{\frac{z}{w}} = \displaystyle{\frac{\text{i} \cdot \textcolor{blue}{a}}{\text{i} \cdot \textcolor{red}{b}}} = \displaystyle{\frac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{b}}}.

Merke: Auch wenn du zwei imaginäre Zahlen dividierst, ist das Ergebnis immer eine reelle Zahl. 

Beispiel

Die imaginären Zahlen für das Beispiel lauten wieder

z = \text{i} \cdot \textcolor{blue}{9} und w = \text{i} \cdot \textcolor{red}{4}.

Wenn du jetzt z durch w teilst, dann bekommst du

\displaystyle{\frac{z}{w}} = \displaystyle{\frac{\textcolor{blue}{9}}{\textcolor{red}{4}}}.

Imaginäre Einheit Potenzen  

Insbesondere beim Multiplizieren und Dividieren kann es vorkommen, dass du die imaginäre Einheit in verschiedenen Potenzen vorfindest. Zum Beispiel könntest du auf Ausdrücke wie

\text{i}^3 \cdot 5, \text{i}^5 \cdot 2 oder \text{i}^9 \cdot \pi

treffen. Die imaginäre Einheit besitzt aber ein einfaches periodisches Verhalten, wenn es um ihre Potenzen geht

\text{i}^1 = \text{i},

\text{i}^2 = -1,

\text{i}^3 = \text{i}^2 \cdot \text{i}^1 = -\text{i},

\text{i}^4 = \text{i}^2 \cdot \text{i}^2 = (-1) \cdot (-1) = 1,

\text{i}^5 = \text{i}^4 \cdot \text{i}^1 = \text{i},

\text{i}^6 = \text{i}^5 \cdot \text{i}^1 = \text{i} \cdot \text{i} = -1,

\text{i}^7 = \text{i}^6 \cdot \text{i}^1 = -\text{i}.

Du erkennst also, dass sich das Ergebnis der Potenzen nach vier Durchgängen wiederholt. Das folgende Bild soll genau das zeigen.

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Potenzen der imaginären Einheit.

Beispiel

Schauen wir uns als Beispiel dazu die Ausdrücke von vorhin an. Da sich die Potenzen der imaginären Einheit periodisch Verhalten, können wir diese Ausdrücke folgendermaßen vereinfachen

\text{i}^3 \cdot 5 = -\text{i} \cdot 5,

\text{i}^5 \cdot 2 = \text{i} \cdot 2 und

\text{i}^9 \cdot \pi = \text{i} \cdot \pi.

Komplexe Zahlen  

Die imaginären Zahlen sind ein Spezialfall der komplexen Zahlen

z = \textcolor{blue}{x} + \text{\textcolor{orange}{i}} \cdot \textcolor{red}{y}.

Wenn du mehr über komplexen Zahlen erfahren möchtest, dann schaue doch direkt bei unserem Video dazu vorbei. 

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