Imaginäre Zahlen
In diesem Betrag erklären wir dir, was imaginäre Zahlen sind und wie du mit ihnen rechnen kannst. Unser Video dazu erklärt dir das Wichtigste anschaulich und in kurzer Zeit.
Inhaltsübersicht
Was sind imaginäre Zahlen?
Von der Schule ist dir bekannt, dass es einerseits keine reelle Zahl gibt, die quadriert eine negative Zahl erzeugt. Andererseits war es dir auch nicht erlaubt, Quadratwurzeln von negativen Zahlen zu ziehen.
An dieser Stelle treten die imaginären Zahlen ein. Der Hauptbaustein dafür ist die imaginäre Einheit 
mit der besonderen Eigenschaft
.
Damit kannst du auch Quadratwurzeln von negativen Zahlen ziehen. Das geht so
,
wobei 
eine positive reelle Zahl ist (also 
).
Wenn du jetzt diesen Hauptbaustein 
nimmst und ihn mit beliebigen reellen Zahlen multiplizierst, kannst du alle imaginären Zahlen 
konstruieren .
Hinweis: Imaginäre Zahlen haben auch die folgende Eigenschaft: Nimmst du eine imaginäre Zahl und quadrierst sie, ist das Ergebnis immer eine negative reelle Zahl.
Imaginäre Zahlen Beispiele
Hier ein paar Beispiele für imaginäre Zahlen und ihre Quadrate
,
,
.
So wie reelle Zahlen auf der Zahlengerade „leben“ (der reellen Achse), kannst du dir auch vorstellen, dass die imaginären Zahlen auf einer Gerade „leben“, die imaginäre Achse heißt. Diese beiden Achsen zusammen bilden die Gaußsche Zahlenebene .
Imaginäre Zahlen Addition und Subtraktion
Du hast zwei imaginäre Zahlen gegeben
und 
.
Die Buchstaben 
und 
stehen für irgendwelche reellen Zahlen.
Möchtest du nun 
und 
addieren, so rechnest du
.
Wenn du hingegen und subtrahieren möchtest, dann rechnest du
.
Merke: Bei der Addition und Subtraktion von imaginären Zahlen gehst du vor, wie bei den dir vertrauten reellen Zahlen. Du darfst nur nicht die imaginäre Einheit vergessen.
Beispiel
Nehmen wir an, dass du die folgenden imaginären Zahlen gegeben hast
und 
.
Wenn du und addierst, dann bekommst du
.
Ziehst du hingegen von die imaginäre Zahl ab, dann erhältst du
.
Imaginäre Zahlen Multiplikation
Du hast wieder die zwei imaginären Zahlen
und .
Wenn du und miteinander multiplizieren möchtest, dann rechnest du
.
Merke: Wenn du zwei imaginäre Zahlen miteinander multiplizierst, bekommst du immer eine reelle Zahl heraus. Auch die Multiplikation imaginärer Zahlen ist ähnlich zur Multiplikation reeller Zahlen. Du darfst nur nicht die imaginäre Einheit und ihre Eigenschaft 
vergessen.
Beispiel
Nehmen wir die imaginären Zahlen aus dem vorherigen Beispiel
und .
Wenn du sie diesmal miteinander multiplizierst, dann erhältst du
.
.Beispiel
Die imaginären Zahlen für das Beispiel lauten wieder
und .
Wenn du jetzt durch teilst, dann bekommst du
.
Imaginäre Einheit Potenzen
Insbesondere beim Multiplizieren und Dividieren kann es vorkommen, dass du die imaginäre Einheit in verschiedenen Potenzen vorfindest. Zum Beispiel könntest du auf Ausdrücke wie
oder 
treffen. Die imaginäre Einheit besitzt aber ein einfaches periodisches Verhalten, wenn es um ihre Potenzen geht
,
,
,
,
,
,
.
Du erkennst also, dass sich das Ergebnis der Potenzen nach vier Durchgängen wiederholt. Das folgende Bild soll genau das zeigen.
Beispiel
Schauen wir uns als Beispiel dazu die Ausdrücke von vorhin an. Da sich die Potenzen der imaginären Einheit periodisch Verhalten, können wir diese Ausdrücke folgendermaßen vereinfachen
,
und
.
Komplexe Zahlen
Die imaginären Zahlen sind ein Spezialfall der komplexen Zahlen
.
Wenn du mehr über komplexen Zahlen erfahren möchtest, dann schaue doch direkt bei unserem Video dazu vorbei.
