Mathematische Grundlagen
Zahlenlehre
 – Video
Übersicht Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Irrationale Zahlen Reelle Zahlen

Es gibt viele verschiedene Arten von Zahlen. Das sind die Zahlenmengen. Hier zeigen wir dir, welche Zahlenmengen es gibt und wie sie sich unterscheiden. Schaue dir auch unser passendes Video an!

Zahlenmengen einfach erklärt

Zahlenmengen unterteilen alle Zahlen in fest definierte Gruppen. Jede dieser Untermengen hat ihre eigenen Eigenschaften und Merkmale.

Alle haben aber gemeinsam, dass sie aufeinander aufbauen: Die kleinste Gruppe sind die Natürlichen Zahlen \textcolor{blue}{\mathbb{N}}, danach kommen die  natürlichen Zahlen mit 0 \textcolor{teal}{\mathbb{N}_0}, die ganzen Zahlen \textcolor{olive}{\mathbb{Z}} und die rationalen Zahlen \textcolor{red}{\mathbb{Q}}. Zusammen mit den irrationalen Zahlen \textcolor{orange}{\mathbb{I}} ergeben sie die reellen Zahlen \textcolor{magenta}{\mathbb{R}}. Zuletzt erweiterst du die reellen mit den imaginären Zahlen zu den komplexen Zahlen \textcolor{green}{\mathbb{C}}. Du siehst: Jede Zahlenmenge ist in der nächstgrößeren ganz enthalten.

    \[  \textcolor{blue}{\mathbb{N}} \subset \textcolor{teal}{\mathbb{N}_0} \subset \textcolor{olive}{\mathbb{Z}} \subset \textcolor{red}{\mathbb{Q}} \subset \textcolor{magenta}{\mathbb{R}} \subset \textcolor{green}{\mathbb{C}} \]

zahlenmengen, natürliche zahlen, reelle zahlen, reele zahlen, imaginäre zahlen, reelle zahl, zahlenbereiche, zahlenarten, zahlenmenge, reellen zahlen, ganze zahlen, rationale zahlen, z mathe, q zahlen, alle zahlen, transzendente zahl, zahlenübersicht, pi, Menge, Teilmenge, Untermenge
direkt ins Video springen
Zahlenmenge

Natürliche Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen  heißt natürlich, weil du mit ihnen Dinge aus der Natur abzählen kannst. Du kannst zum Beispiel die Zahl von Bäumen oder Steinen mit einer natürlichen Zahl angeben. Ihr Mengensymbol ist \textcolor{blue}{\mathbb{N}}.

    \[ \textcolor{blue}{\mathbb{N}} = \{ 1; 2; 3; 4; \dots \} \]

Ist 0 eine natürliche Zahl? Das wird unter Mathematikern noch diskutiert. Wenn du auf Nummer sicher gehen willst, kannst du die Menge der natürlichen Zahlen mit 0 als \textcolor{teal}{\mathbb{N}_0} aufschreiben.

    \[ \textcolor{teal}{\mathbb{N}_0} = \{0; 1; 2; 3; 4; \dots \} \]

Ganze Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen  enthält die Zahl 0, alle natürliche Zahlen und ihre Gegenzahlen. Die Gegenzahlen sind die natürlichen Zahlen mit negativem Vorzeichen. Das Symbol der natürlichen Zahlen ist \textcolor{olive}{\mathbb{Z}}.

    \[ \textcolor{olive}{\mathbb{Z}} = \{\dots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; \dots\} \]

Rationale Zahlen

Die Menge der rationalen Zahlen  enthält alle ganzen Zahlen und Brüche aus ganzen Zahlen. Das sind Brüche, die im Nenner und im Zähler eine ganze Zahl stehen haben. Die rationalen Zahlen werden mit einem \textcolor{red}{\mathbb{Q}} abgekürzt. Nicht vergessen: Du kannst die Brüche auch als Dezimalzahlen schreiben (\nicefrac{1}{3}=0,\bar{3}).

    \[ \textcolor{red}{\mathbb{Q}} = \{\dots; -2\frac{1}{4}; -\frac{7}{8}; 0; 1; 0,\bar{3} ;\dots\}\]

Irrationale Zahlen

Die Menge der irrationalen Zahlen  sind alle Zahlen, die nicht rational sind. Sie lassen sich also nicht als ein Bruch ganzer Zahlen schreiben. Irrationale Zahlen sind nicht periodisch und nicht abbrechend. Das bedeutet, sie haben unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht mit einem regelmäßigen Muster wiederholen. Das ist zum Beispiel bei pi oder der eulerschen Zahl e der Fall. Das Symbol der irrationalen Zahlen ist \textcolor{orange}{\mathbb{I}}.

    \[ \textcolor{orange}{\mathbb{I}} = \{\dots; -\sqrt{2}; \mathrm{e}; \pi; \dots\} \]

Reelle Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen  besteht aus den rationalen Zahlen und den irrationalen Zahlen. Hier musst du auf die Rechtschreibung achten (reelle Zahl, nicht reele Zahl oder reele Zahlen%Die falsche geschriebenen Wörter sind Schlüsselwörter).  Die reellen Zahlen werden mit einem \textcolor{magenta}{\mathbb{R}} abgekürzt.

    \[ \textcolor{magenta}{\mathbb{R}} = \textcolor{red}{\mathbb{Q}}\cup\textcolor{orange}{\mathbb{I}} = \{ \dots; -2\frac{1}{4}; -\sqrt{2}; -\frac{7}{8}; 0; 1 ; 0,\bar{3}; \mathrm{e}; \pi; \dots \} \]

Komplexe Zahlen

Die Menge der komplexen Zahlen besteht aus den reellen Zahlen und den imaginären Zahlen . Das Symbol der komplexen Zahlen ist ein \textcolor{green}{\mathbb{C}}.

Komplexe Zahlen haben die Form z = a + b\mathrm{i}. a und b sind reelle Zahlen. Sie bestehen aus einem Realteil a (einer reellen Zahl) und einem Imaginärteil bi (einer imaginären Zahl). Mit den komplexen Zahlen kannst du negative Wurzeln berechnen berechnen, denn für die imaginäre Einheit i gilt: \mathrm{i} = \sqrt{-1}.

    \[ \textcolor{green}{\mathbb{C}} = \{ \dots; \mathrm{e}^{\mathrm{i\pi}}; -5+2\mathrm{i};0; \sqrt{-1}; 3; 4\mathrm{i}; \dots } \} \]

Wenn du mehr zu den komplexen Zahlen erfahren möchtest, sieh dir unser Video dazu an!

Zum Video: Komplexe Zahlen
Zum Video: Komplexe Zahlen

 

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.