Lineare Algebra

Wir zeigen dir, wie du eine Dezimalzahl in einen Bruch umwandelst. %Schau dir unser Video dazu an.

Inhaltsübersicht

Dezimalzahl in Bruch umwandeln einfach erklärt

Wie du eine Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln kannst, ist davon abhängig, welche Art von Dezimalzahl du hast. Dabei musst du unterscheiden zwischen den folgenden Arten:

  • endliche Dezimalzahlen (z. B. 1,39=\frac{139}{100})
  • periodische Gesamtzahlen (z. B. 0,\overline{87}=\frac{87}{99})
  • gemischtperiodische Dezimalzahlen (z. B. 3,3\overline{84}=\frac{12459}{9900})

Jetzt schauen wir uns genau an, wie das geht!

Endliche Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Wenn du endliche Dezimalzahlen (z.B. 2,487 oder 0,2) in Brüche umrechnen möchtest, gehst du so vor:

Endliche Dezimalzahl in Bruch

1. Schritt: Die Zahl ohne Komma in den Zähler einsetzen

2. Schritt: Eine Eins unter den Bruchstrich schreiben

3. Schritt: Im Nenner so viele Nullen ergänzen, wie es Nachkommastellen gibt

Beispiel 1

Stelle dir vor, du möchtest Dezimalzahlen in Brüche umwandeln und hast die Zahl 2,487.

1. Die Zahl ohne Komma in den Zähler einsetzen:

    \[\textcolor{blue}{2,487} = \frac{\textcolor{blue}{2487}}{}\]

2. Eine Eins unter den Bruchstrich schreiben:

    \[2,487 = \frac{2487}{1\;\;\;\;\;\;}\]

 

3. Im Nenner so viele Nullen ergänzen, wie es Nachkommastellen gibt:

    \[2,\underbrace{\textcolor{red}{\;487\;}}_\text{3 Stellen} = \frac{2487}{1\underbrace{\textcolor{red}{\;000\;}}_\text{3 Nullen}}}\]

So kannst du also die Dezimalzahl 2,487 in den Bruch \frac{2487}{1000} umwandeln.

 

Beispiel 2

Du willst die Zahl 0,6605 in einen Bruch umwandeln.

1. Zahl ohne Komma in den Zähler einsetzen:

    \[\textcolor{blue}{0,6605}&=\frac{\textcolor{blue}{6605}}{}\]

2. Eins unter den Bruchstrich schreiben:

    \[0,6605&=\frac{6605}{1\;\;\;\;\;\;}\]

3. Im Nenner so viele Nullen ergänzen, wie es Nachkommastellen gibt:

    \[0,\underbrace{\textcolor{red}{\;6605\;}}_\text{4 Stellen} = \frac{6605}{1\underbrace{\textcolor{red}{\;0000\;}}_\text{4 Nullen}}}\]

Du hast 0,6605 in den Bruch \frac{6605}{10000} umgewandelt.

 

Weitere Beispiele

    \begin{align*} 1,\underbrace{5}_\text{1 Stelle} &=\frac{15}{1\underbrace{0}_\text{1 Null}}\\ \\ 1,\underbrace{55}_\text{2 Stellen} &=\frac{155}{1\underbrace{00}_\text{2 Nullen}}\\ \\ 1,\underbrace{555}_\text{3 Stellen} &=\frac{1555}{1\underbrace{000}_\text{3 Nullen}}\\ \end{align*}

Jetzt weißt du, wie du endliche Kommazahlen in Brüche umwandeln kannst! Nachdem du eine Dezimalzahl in einen Bruch umgerechnet hast, kannst du in der Regel noch kürzen. Der Einfachheit halber verzichten wir bei diesen Beispielen darauf.

Periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholen sich die Zahlen hinter dem Komma unendlich oft:  2,\overline{74} = 2,747474747474...

Periodische Dezimalzahl in Bruch

1. Schritt: Ganze Zahl abspalten

2. Schritt: Periode in Zähler einsetzen

3. Schritt: Im Nenner so häufig die 9 ergänzen, wie es Stellen unter dem Periodenstrich gibt

4. Schritt: Bruch und ganze Zahl zusammenrechnen

Beispiel 1

Sieh dir an einem Beispiel an, wie das läuft: Stelle dir vor, du willst die Dezimalzahl 2,\overline{74} in einen Bruch umwandeln:

1. Ganze Zahl abspalten

    \[2,\overline{74}=2+0,\overline{74}\]

2. Periode in Zähler setzen:

    \[0,\overline{\textcolor{blue}{74}}=\frac{\textcolor{blue}{74}}\]

3. Im Nenner so häufig die 9 ergänzen, wie es Stellen unter dem Periodenstrich gibt:

    \[0,\underbrace{\overline{\textcolor{red}{74}}}_\text{2 Stellen}} = \frac{74}{\underbrace{\textcolor{red}{99}}_\text{2 Neunen}}\]

4. Bruch und ganze Zahl zusammenrechnen:

    \[\frac{74}{99}+2 =\frac{74}{99}+\frac{198}{99} = \frac{272}{99}\]

Beispiel 2

Du willst die Dezimalzahl 0,\overline{16} in einen Bruch umwandeln.

1. Ganze Zahl abspalten:

Vor dem Komma steht keine ganze Zahl. Daher kannst du direkt zum nächsten Schritt übergehen.

2. Periode in Zähler des Bruchs einsetzen:

    \[0,\overline{\textcolor{blue}{16}}=\frac{\textcolor{blue}{16}}\]

3. Im Nenner so häufig die 9 ergänzen, wie es Stellen unter dem Periodenstrich gibt:

    \[0,\overline{\textcolor{red}{16}}=\frac{16}{\textcolor{red}{99}}\]

4. Bruch und ganze Zahl zusammenrechnen:

Du hast im ersten Schritt keine ganze Zahl abgetrennt, die du hier addieren könntest. Deswegen kannst du den letzten Schritt weglassen.

Du hast die Zahl 0,\overline{16} in einen Bruch umwandeln können. Er lautet \frac{16}{99}.

 

Super, jetzt kannst du eine periodische Dezimalzahl problemlos in einen Bruch umwandeln!

Gemischtperiodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Bei gemischtperiodischen Zahlen wiederholt sich nur der letzte Teil hinter dem Komma, der unter dem Periodenstrich steht. Die Zahl 3,3\overline{84} lässt sich also schreiben als 3,3848484… 

Gemischtperiodische Zahl in Bruch

1. Schritt: Die Zahl so lange mit 10 multiplizieren, bis nur noch die periodische Zahlenfolge hinter dem Komma steht

2. Schritt: Periode von Zahl abspalten

3. Schritt: Beide Teile in Brüche mit gleichem Nenner umwandeln

4. Schritt: Beide Brüche zusammenrechnen

5. Schritt: Zusammengerechneten Bruch so oft durch zehn teilen, wie du anfangs damit multipliziert hast.

Beispiel 1

Um dieses Vorgehen besser zu verstehen, sieh dir das folgende Beispiel an: Du möchtest die Dezimalzahl 1,25\overline{84} in einen Bruch umwandeln.

1. Die Zahl so lange mit 10 multiplizieren, bis nur noch die periodische Zahlenfolge hinter dem Komma steht:

    \begin{align*} &1,25\overline{84}\;\;|\cdot 10\\ =&12,5\overline{84}\;\;|\cdot 10\\ =&125,\overline{84}\\ \end{align*}

2. Periode von Zahl abspalten:

    \[125,\overline{84}=0,\overline{84}+125\]

3. Beide Teile in Brüche mit gleichem Nenner umwandeln:

    \[0,\overline{84} = \frac{84}{99}\]

    \[125=\frac{125\cdot99}{99}=\frac{12375}{99}\]

4. Beide Brüche zusammenrechnen:

    \[\frac{84}{99} + \frac{12375}{99} = \frac{12459}{99}\]

5. Du hast die Zahl am Anfang zwei Mal mit 10 multipliziert. Daher musst du sie nun zwei Mal durch zehn teilen. 

    \begin{align*} &\frac{12459}{99} \;\; |:10\\ \\ =&\frac{12459}{990} \;\; |:10\\ \\ =&\frac{12459}{9900} \\ \end{align*}

Geschafft! Du hast die Dezimalzahl 1,25\overline{84} in den Bruch \frac{12459}{9900} umwandeln können.

Beispiel 2

Du möchtest 0,1\overline{3} in einen Bruch umwandeln.

1. Die Zahl so lange mit 10 multiplizieren, bis nur noch die periodische Zahlenfolge hinter dem Komma steht:

    \begin{align*} &0,1\overline{3}\;\;|\cdot10\\ =&1,\overline{3}\\ \end{align*}

2. Periode von Zahl abspalten:

    \[1,\overline{3}=1+0,\overline{3}\]

3. Beide Teile in Brüche mit gleichem Nenner umwandeln:

    \[0,\overline{3}=\frac{3}{9}\]

    \[1=\frac{9}{9}\]

4. Beide Brüche zusammenrechnen:

    \[\frac{3}{9}+\frac{9}{9}=\frac{12}{9}\]

Respekt, jetzt bist du fit im Umwandeln von Dezimalzahlen in Brüche!

Wichtige Dezimalzahlen als Brüche

Es gibt einige wichtige Dezimalzahlen, deren Brüche du unbedingt kennen solltest. Wenn du sie kennst, bist du für deine nächsten Aufgaben bestens gewappnet!

Endliche Dezimalzahlen:

eine Hälfte ein Viertel drei Viertel ein Fünftel ein Achtel ein Zehntel
0,5 0,25 0,75 0,2 0,125 0,1
\frac{1}{2} \frac{1}{4}  \frac{3}{4}  \frac{1}{5}  \frac{1}{8}  \frac{1}{10} 

Periodische Dezimalzahlen:

ein Drittel zwei Drittel ein Sechstel ein Neuntel
0,\overline{3} 0,\overline{6} 0,1\overline{6} 0,\overline{1}
\frac{1}{3}  \frac{2}{3}  \frac{1}{6}  \frac{1}{9} 

 

Bruch in Dezimalzahl

In Aufgaben wirst du häufig Brüche in Dezimalzahlen umwandeln müssen. Doch wie geht das? Um das zu erfahren, musst du dir unbedingt unser Video dazu ansehen! % LINK fehlt, Artikel noch nicht fertig

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