Statistik Wahrscheinlichkeit

Stetig
t-Verteilung

In diesem Video erklären wir dir diesmal die t-Verteilung in der Statistik und wann sie Anwendung findet.

Studentische t-Verteilung?

Du kennst die t-Verteilung vielleicht auch unter dem Namen studentische t-Verteilung oder Student-t-Verteilung. Student ist das Pseudonym, das der Entwickler der Verteilung William Sealy Gosset verwendete. Trotzdem meinen alle drei Bezeichnungen dieselbe Verteilung.

t-Verteilung
Die t-Verteilung verwenden wir bei unbekannter Varianz

Verteilung bei Betrachtung großer Stichproben

Wir verwenden die t-Verteilung, wenn wir die Varianz, die wir zur Standardisierung in die Normalverteilung benötigen, nicht kennen. Ist das der Fall, müssen wir mit der Stichprobenvarianz s^2 rechnen Das ist in der Realität eigentlich immer der Fall, denn es ist uns meistens nicht möglich, alle Daten eines Datensatzes zu betrachten. Wir müssen uns also mit einer mehr oder weniger großen Stichprobe zufriedengeben.

Je größer unsere betrachtete Stichprobe, also die Anzahl der Freiheitsgrade n ist, desto schmaler wird der Graph der t-Verteilung. Ab einem n > 30 kann man approximativ von der standardisierten Normalverteilung ausgehen.

t-Verteilung
Ab n > 30 geht man von einer Standardnormalverteilung aus

t-Verteilung Definition

Die Verteilung lässt sich folgendermaßen definieren:

T=\frac{Z}{\sqrt{\frac{1}{n}\chi^2}}

Wobei Z standardnormalverteilt ist und Chi-Quadrat von Z unabhängig und, wer hätte es gedacht, Chi-Quadrat verteilt sein muss. Falls dir die Begriffe Standardnormalverteilung und Chi-Quadrat-Verteilung noch nichts sagen, schau dir schnell unsere jeweiligen Videos dazu an.

Des Weiteren gilt für die t-Verteilung:

t-Verteilung
Für die t-Verteilung gilt:

Verwendung der Verteilungstabelle

Na bravo! Der Erwartungswert lässt sich leicht erschließen und die Varianz sehr einfach berechnen, aber wie bitte sollst du auf f\left(x\right) kommen? Du hast Glück, denn, wie bei den meisten Verteilungen, verwenden wir auch hier eine Verteilungstabelle. Das heißt für dich: Du brauchst erstmal gar nichts auszurechnen.

Die Tabelle hat allerdings zwei Besonderheiten. Zum einen geht sie nur bis zu einem n = 30. Das ist aber kein Problem, denn ab einem n > 30 verwenden wir ja eh approximativ die Normalverteilung. Zum anderen wirst du in der Tabelle nur \alpha\geq\ 0,6 finden.

t-Verteilung
Richtige Verwendung der Verteilungstabelle

Suchen wir also für ein n=10 und ein \alpha = 0,7 unseren x-Wert, dann müssen wir lediglich das Ergebnis aus der richtigen Zeilen-Spalten-Kombination ablesen.

t_{10;0,7}=\ 0,542

Wir erhalten also eine Lösung von 0,542.

Wie gesagt, kein Rechnen, sondern bloßes Ablesen des Ergebnisses.

Sonderfall bei \boldsymbol{\alpha<0,5}

Ein bisschen komplizierter wird es allerdings, wenn du mit einem \alpha<\ 0,5 arbeitest. Denn hier existieren keine Spalten. Für ein \alpha\ =\ 0,5 ist die Lösung einleuchtend. Jede t-Verteilung ist nämlich entlang der y-Achse achsensymmetrisch. Der Wert einer Verteilung mit \alpha\ =\ 0,5 ist deshalb auch immer gleich null. Es ist genau die Mitte der Verteilung und verdeutlicht auch nochmal, weshalb wir immer einen Erwartungswert von null haben.

t-Verteilung
Die t-Verteilung ist achsensymmetrisch zur y-Achse

Aber wie sieht es jetzt mit einem \alpha links von unserem Erwartungswert aus? Die allgemeine Formel zur Lösung dieses Problems lautet:

t_{n;\alpha}=-\ t_{n;1-\alpha}

Haben wir erneut ein n=10 und diesmal beispielsweise das \alpha\ = 0,3, sieht die Formel also so aus:

t_{10;0,3}={-t}_{10;1-0,3}={-t}_{10;0,7}=-0,542

Durch einen kurzen Blick in die Tabelle merken wir, dass wir das Ergebnis schon kennen. Es ist das Gleiche wie für ein \alpha\ = 0,7, nur das es diesmal negativ ist.

t-Verteilung
Das Ergebnis ist das gleiche, nur negativ

Prima! Jetzt bist du in Sachen t-Verteilung bestens informiert und kannst dich endlich wieder mit deiner Oma zum Tee trinken verabreden. Viel Spaß dabei!

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