Wahrscheinlichkeitsrechnung
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
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Standardnormalverteilung einfach erklärt

Die Standardnormalverteilung stellt Häufigkeiten von Beobachtungen und Daten dar. Dabei ist die Standardverteilung eine Spezialform der Normalverteilung . Wie ihr Name schon verrät, ist sie standardisiert:

Sie liegt immer dann vor, wenn eine Normalverteilung den Erwartungswert μ = 0 und die Standardabweichung σ = 1 hat.

Am Graphen der Standardnormalverteilung kannst du μ = 0 direkt ablesen:

Standardnormalverteilung, Mittelwert, Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, Sigma, Mü, Graph, Statistik, Stochastik, Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten
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Der Graph der Standardnormalverteilung
Definition Standardnormalverteilung%Versuch FS

Die Standardnormalverteilung ist eine Spezialform der Normalverteilung. Sie entspricht einer Normalverteilung mit dem Mittelwert μ = 0 und der Standardabweichung σ = 1.

Von der Normalverteilung zur Standardverteilung

Bei einer Normalverteilung können der Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ jeden beliebigen Wert annehmen — je nach Kontext der Daten. Es gibt also unendlich viele Normalverteilungen. Du kannst jede Normalverteilung in die Standardverteilung transformieren. Diesen Vorgang nennst du auch z Standardisierung , da du aus deinen Daten einen standardisierten z Wert berechnest.

Wofür benötigst du gerade die Standardnormalverteilung?

Stell dir vor, dir liegt eine Normalverteilung von Schuhgrößen vor. Anhand dieser Normalverteilung möchtest du die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Schuhgröße berechnen. Dafür wandelst du die Normalverteilung zunächst in die Standardnormalverteilung um.

Nun kannst du in der Wahrscheinlichkeitstabelle der Standardnormalverteilung mit dem z Wert die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Schuhgröße ablesen.

Für die Transformation in die Standardnormalverteilung benötigst du folgende Formel:

    \[z = \frac{\textcolor{red}{X}-\textcolor{olive}{\mu}}{\textcolor{orange}{\sigma}}\]

  • z = standardnormalverteilte Zufallsvariable
  • X = Zufallsvariable
  • μ = Erwartungswert
  • σ = Standardabweichung

Bei der Standardisierung der normalverteilten Schuhgröße entnimmst du der ursprünglichen Normalverteilung  zwei Dinge:

  1. Den Einfluss der Lage (Mittelwert )
  2. Den Einfluss der Verteilung (Standardabweichung)  

Schau dir das an unserem Schuhgrößen-Beispiel an:

Transformation Normalverteilung in Standardnormalverteilung, Koordinatensystem, z Standardisierung, z wert, Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, Häufigkeitsverteilung
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Transformation der Normalverteilung von Schuhgrößen in die Standardnormalverteilung

Links ist die ursprüngliche Normalverteilung von Schuhgrößen mit einem Mittelwert von μ = 39 und einer Standardabweichung von σ = 0,5 abgebildet.

Rechts siehst du die Standardnormalverteilung mit ihrem festgelegten Mittelwert μ = 0 und ihrer Standardabweichung σ = 1. Du kannst an den beiden Graphen also erkennen, dass die Einheit (Schuhgrößen) und die ursprünglich gemessenen Schuhgrößen den Verlauf des Graphen nun nicht mehr beeinflussen.

Transformation Normalverteilung zur Standardnormalverteilung — Beispiel

Schau dir die Transformation von einer Normalverteilung in die Standardnormalverteilung an einem Beispiel genauer an:

Angenommen, du hast die Schuhgröße von 5000 zufällig ausgewählten Personen in deiner Umgebung gemessen. Daraufhin hast du anhand deines Datensatzes berechnet, dass der Mittelwert bei der Schuhgröße μ = 39 und die Standardabweichung bei σ = 0,5 Schuhgrößen liegt.

Nun fragst du dich: Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Person in deiner Umgebung eine Schuhgröße von 40 oder kleiner hat?

Diese Frage kannst du inferenzstatistisch wie folgt aufschreiben: 

P(X ≤ 40)

Dabei ist X deine gesuchte Schuhgröße und P die Wahrscheinlichkeit, dass diese gesuchte Schuhgröße zutrifft.

Um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können, transformierst du nun die Normalverteilung von Schuhgrößen in die Standardnormalverteilung. Für diese z Standardisierung gehst du in 5 Schritten vor:

Schritt 1: Prüfe deine Daten

Schaue als Erstes, was für Daten du vorliegen hast. Manchmal ist statt der Standardabweichung σ die Varianz σ² gegeben. Dann musst du aus der Varianz noch die Wurzel ziehen. So erhältst du die Standardabweichung, die du für die Transformation benötigst. Alle deine Parameter müssen zudem die gleiche Einheit haben.

Beispiel:

Bei deinem Datensatz zu den Schuhgrößen ist die Varianz σ² = 0,25 angegeben. Für die Transformation benötigst du aber die Standardabweichung. Du ziehst also die Wurzel aus 0,25.

    \[\sigma^2 = 0,25\implies\sqrt{0,25} = 0,5 =\sigma\]

Die Standardabweichung beträgt also σ = 0,5.

Alle deine Parameter sind in der gleichen Einheit (Schuhgröße) angegeben, also musst du hier nichts mehr umrechnen. Wären manche Schuhgrößen aber nicht in europäischer sondern in amerikanischer Einheit angegeben, so müsstest du diese noch umwandeln.

Schritt 2: Setze die Werte in die Formel ein

    \[z = \frac{\textcolor{red}{X}- \textcolor{olive}{\mu}}{\textcolor{orange}{\sigma}}\]

Beispiel: Der Erwartungswert der Schuhgrößen liegt bei μ = 39 und die Standardabweichung bei σ = 0,5. Du möchtest nun alle Schuhgrößen kleiner oder gleich 40 bestimmen. Dafür setzt du für X = 40 ein:

    \[z = \frac{\textcolor{red}{40}-\textcolor{olive}{39}}{\textcolor{orange}{0,5}}\]

    \[z = 2\]

Schritt 3: Z Wert ablesen

Du hast nun den z Wert aus dem vorherigen Schritt gegeben. Für ihn kannst du jetzt in der Tabelle der Standardnormalverteilung eine zugehörige Wahrscheinlichkeit ablesen. Diese Tabelle findest du weiter unten im Artikel.

Beispiel:

Aus der Tabelle kannst du für den z Wert 2 folgende Wahrscheinlichkeit ablesen:

z = 2,0 = 0,9772

Schritt 4: Wahrscheinlichkeit berechnen

Um die Wahrscheinlichkeit als Prozentzahl zu erhalten, rechnest du sie nun noch mal 100.

Beispiel:

0,9772 · 100 = 97,72%

Schritt 5: Ausgangsfrage beantworten

Als Letztes musst du nur noch deine Frage beantworten.

Beispiel: Deine Frage war, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Schuhgröße kleiner oder gleich 40 ist. Deine Antwort lautet also wie folgt: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Schuhgröße 40 oder kleiner trägt, liegt bei 97,72 %.

P(X ≤ 40) = 97,72%

Super! Schon hast du deine erste Transformation von einer Normalverteilung in eine Standardnormalverteilung geschafft!

Beispiele zum Rechnen mit der Standardnormalverteilung

Was du mit der Standardnormalverteilung Tabelle noch alles berechnen kannst, siehst du jetzt an einem neuen Beispiel:

Beispiel 1:

Angenommen, Intelligenz wird über einen Intelligenztest gemessen und ist in deiner Stadt nun wie folgt verteilt:

Standardabweichung σ = 1

Erwartungswert μ = 100

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person in der Stadt eine höhere Intelligenz als 103?

P(X > 103)

Schritt 1: Prüfe deine Daten

Alle Daten sind in der Einheit des Intelligenztests angegeben. Du hast zudem die Standardabweichung bereits vorliegen und musst sie nicht erst berechnen.

Schritt 2: Setze die Werte in die Formel ein

    \[z = \frac{\textcolor{red}{X}-\textcolor{olive}{\mu}}{\textcolor{orange}{\sigma}}\]

    \[z = \frac{\textcolor{red}{103}-\textcolor{olive}{100}}{\textcolor{orange}{1}}\]

    \[z = 3\]

Schritt 3: Z Wert ablesen

Aus der Wahrscheinlichkeitstabelle kannst du für den z Wert 3 nun folgende Wahrscheinlichkeit ablesen:

z = 3,0 = 0,998650

Schritt 4: Wahrscheinlichkeit berechnen

Die Wahrscheinlichkeit mal 100 ergibt folgende Prozentzahl:

0,998650 · 100 ≈ 99,865%

Schritt 5: Ausgangsfrage beantworten

Deine Frage war, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Intelligenz von höher als 103 ist. Du hast bisher die Wahrscheinlichkeit für eine Intelligenz kleiner oder gleich 103 vorliegen. Deshalb musst du noch eine weitere Rechnung vornehmen:

Du ziehst die Wahrscheinlichkeit von 1 ab:

P = 1 – 0,998650 = 0,001350

0,001350 · 100 = 0,135%

Deine Antwort lautet alsot: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person in deiner Stadt eine Intelligenz von über 103 hat, liegt bei 0,135%. Ein so hohes Testergebnis ist also sehr unwahrscheinlich.

P(X > 103) = 0,135%

Super! Das war schon deine zweite Rechnung mit der Standardnormalverteilung!

Beispiel 2:

In einem Basketball Training wird die Anzahl der getroffenen Körbe gemessen.

Du beobachtest 40 Basketballer und erhältst dabei folgende Werte:

Varianz σ² = 25

Erwartungswert μ = 10

Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft eine zufällig ausgewählte Person aus dem Basketballtraining mehr als 11, aber höchstens 14 Körbe?

P(11 < X ≥ 14)

Schritt 1: Prüfe deine Daten

\sigma^2 = 25

\implies\sqrt{\sigma^2} = \sqrt{25} = 5 =\sigma

Die Standardabweichung ist also σ = 5.

Schritt 2: Setze die Werte in die Formel ein

X1 = 11

    \[z = \frac{\textcolor{red}{X}-\textcolor{olive}{\mu}}{\textcolor{orange}{\sigma}}\]

    \[z_1 = \frac{\textcolor{red}{11}-\textcolor{olive}{10}}{\textcolor{orange}{5}}\]

    \[z_1 = 0,2\]

und X2 = 14

    \[z_2 = \frac{\textcolor{red}{14}-\textcolor{olive}{10}}{\textcolor{orange}{5}}\]

    \[z_2 = 0,8\]

Schritt 3: Z Wert ablesen

z1 = 0,2 = 0,579260

z2 = 0,8 = 0,788145

Die beiden z Werte z1 und z2 bilden die Grenzen von dem Bereich, den du berechnen möchtest (11 < X ≥ 14). Um alles in dem Bereich zu berechnen, musst du also die beiden z Werte voneinander abziehen:

z = 0,788145 – 0,579260 = 0,208885

Schritt 4: Wahrscheinlichkeit berechnen

0,208885 · 100 ≈ 20,8885%

Schritt 5: Ausgangsfrage beantworten

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Basketballer mehr als 11, aber maximal 14 Körbe trifft, liegt bei 20,8885%.

P(11 < X ≥ 14) ≈ 20,89%

Spitze!

Standardnormalverteilung Tabelle

Nachdem du die Daten der Normalverteilung standardisiert und dabei den z Wert bestimmt hast, kannst du in der Tabelle der Standardnormalverteilung%verlinken, sobald Tab da ist die zugehörige Wahrscheinlichkeit ablesen.

Die Tabelle besteht aus Zeilen und Spalten. Die erste Spalte (senkrecht) stellt die ersten zwei Ziffern deines z Werts dar. Die erste Zeile (waagerecht) stellt dann die Ziffern deines z Wertes ab der zweiten Nachkommastelle dar. Das Feld, wo sich Spalte und Zeile kreuzen, gibt dir dann die Wahrscheinlichkeit für deinen z Wert an.

z / Φ(z) 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0 0,5 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,5279 0,53188 0,53586
0,1 0,53983 0,5438 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535
0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 06,1026 0,61409
0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,6293 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173
0,4 0,65542 0,6591 0,66276 0,6664 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793
0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,7054 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,7224
0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,7549
0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,7673 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,7823 0,78524
0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327
0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891
1 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214
1,1 0,86433 0,8665 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,879 0,881 0,88298
1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147
1,3 0,9032 0,9049 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91309 0,91466 0,91621 0,91774
1,4 0,91924 0,92073 0,9222 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189
1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408
1,6 0,9452 0,9463 0,94738 0,94845 0,9495 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449
1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,9608 0,96164 0,96246 0,96327
1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062
1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,9732 0,97381 0,97441 0,975 0,97558 0,97615 0,9767
2 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,9803 0,98077 0,98124 0,98169
2,1 0,98214 0,98257 0,983 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,985 0,98537 0,98574
2,2 0,9861 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,9884 0,9887 0,98899
2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,9901 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158
2,4 0,9918 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361
2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,9943 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,9952
2,6 0,99534 0,99547 0,9956 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643
2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,9972 0,99728 0,99736
2,8 0,99744 0,99752 0,9976 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807
2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861
3 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,999
3,1 0,99903 0,99906 0,9991 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929
3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,9994 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,9995
3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,9996 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965
3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,9997 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976
3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,9998 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983
3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989
3,7 0,99989 0,9999 0,9999 0,9999 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992
3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995
3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997
4 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998

Beispiel: Du suchst die Wahrscheinlichkeit für den z Wert 2,71:

Schaue für die ersten zwei Stellen deines z Werts in die erste Spalte der Tabelle. Dort findest du 2,7. Suche dann in der ersten Zeile die Nachkommastelle 0,01. Das Feld, in dem sich Zeile und Spalte kreuzen, ist die 0,99664. Nur durch Ablesen weißt du also, dass die Wahrscheinlichkeit für den z Wert von 2,71 oder niedriger 99,664% beträgt.

Merke: Der Wert in der Wahrscheinlichkeitstabelle gibt dir nicht die Wahrscheinlichkeit für den einen z Wert an. Er ist die Wahrscheinlichkeit aller z Werte kleiner oder gleich deinem z Wert!

Wenn du die Standardnormalverteilung Tabelle nochmal genauer verstehen möchtest, dann schau doch hier vorbei!

Wichtige z Werte

Beim Rechnen mit der Standardnormalverteilung wirst du schnell merken, dass einige z-Werte sehr häufig vorkommen:

1,96

2,58

3,29

So geben z = – 1,96 und z = 1,96 jeweils die 2,5%-Grenze der Verteilung an. Das bedeutet, dass nur 5% deiner gesamten Daten außerhalb dieses Bereichs –dem sogenannten Intervall — liegen. Im Umkehrschluss liegen also 95% der Daten innerhalb von z = – 1,96 bis z = 1,96.

Es gibt noch zwei weitere Intervalle, die du dir merken solltest: 99% aller z Werte befinden sich im Intervall von z = – 2,58 bis z = –2,58. Und 99,9 %, also nahezu alle Werte, liegen im Intervall von z = – 3,29 bis z = 3,29.

Diese drei Werte –positiv und negativ– sind in der Inferenzstatistik besonders wichtig. Dort verwendest du sie beim Testen von Hypothesen häufig als Signifikanzniveau .

Dichtefunktion Standardnormalverteilung

Die Dichtefunktion f(x) beschreibst du mit einem kleinen Phi φ. Die  der Standardnormalverteilung lautet:


    \[\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^-{\frac{x^2}{2}}\]


Den Graphen der Dichtefunktion φ(x) nennst du aufgrund seines glockenförmigen Verlaufs auch gaußsche Glockenkurve. Zudem ist der Graph symmetrisch zur y-Achse. Das heißt, ein bestimmter x-Wert hat unabhängig davon, ob er positiv oder negativ ist, denselben y-Wert.

Es gilt also φ(x) = φ(x) für alle xR.

Den Höhepunkt (das Maximum) hat die Standardnormalverteilung bei x = 0.

Die beiden Wendestellen liegen bei x1 = 1 und x2 = 1.

Dichtefunktion der Standardnormalverteilung, Standardnormalverteilung, Mittelwert, Erwartungswert, Wendestellen, Graph, Koordinatensystem, Z Standardisierung
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Dichtefunktion der Standardnormalverteilung mit den Wendestellen x= -1 und x= 1.

Verteilungsfunktion Standardnormalverteilung

Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnest du mit einem großen Phi Φ. Häufig nennst du sie auch gaußsche Summenfunktion. Du bildest für die Verteilungsfunktion ein Integral , mit dem du alle Werte von -∞ bis a aufaddierst.

Die Formel für die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung lautet also:

    \[\phi(a)=\int_{-\infty}^{a}\phi(x)dx\]

Der Graph dieser Verteilungsfunktion ist punktsymmetrisch im Punkt (0 | 0,5). Das ist genau der Punkt, an dem der Graph die y-Achse schneidet.

Denn auch hier gilt Φ(a) = 1Φ(a) für alle aR.

 

Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, Integral, Standardnormalverteilung Formel
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Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist am Punkt (0 I 0,5) symmetrisch. Dort schneidet sie die y-Achse.

Normalverteilung

Klasse! Jetzt kennst du die Definition der Standardnormalverteilung und weißt, wie du mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstabelle rechnen kannst. Aber was machst du, wenn du keine Standardverteilung, sondern eine Normalverteilung vor dir hast? Dann schau jetzt in unserem Video dazu vorbei! %Thumbnailverweis

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