Wahrscheinlichkeitsrechnung
Binomialverteilung
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Bernoulli Experiment einfach erklärt

Bei einem Bernoulli Experiment hast du immer genau zwei mögliche Ereignisse. Ein Beispiel dafür ist der Münzwurf, bei dem du die Ereignisse „Kopf“ und „Zahl“ betrachtest. Die nennst du auch Treffer oder Niete. Willst du zum Beispiel „Kopf“ werfen, ist das dein Treffer.

Bei einer fairen Münze ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=½. Bei einem Bernoulli Experiment weißt du dann automatisch die Wahrscheinlichkeit für eine Niete („Zahl“). Das ist immer die Gegenwahrscheinlichkeit q = 1 – p, also im Beispiel ebenfalls ½.

Bernoulli Experiment Definition

Bei einem Bernoulli Experiment betrachtest du eine Zufallsvariabel X, die Bernoulli-verteilt ist. Das bedeutet, dass dein Zufallsexperiment nur zwei Versuchsausgänge haben darf. Die beiden Ereignisse kannst du dann als Treffer oder Niete bezeichnen, deren Wahrscheinlichkeiten zusammen gerechnet immer 1 ergeben: p + q = 1. 

Wenn du dasselbe Bernoulli Experiment mehrere Male hintereinander durchführst, nennst du das eine Bernoulli Kette (Binomialverteilung). Die Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei n Durchgängen berechnest du mit der Formel von Bernoulli :

    \[P(X=k)=\binom{n}{k}\cdotp^k\cdot(1-p)^{n-k}\]

Schau dir jetzt gleich ein Beispiel für ein Bernoulli Experiment an.

Bernoulli Experiment Beispiele

Achtest du beim Würfeln nur darauf, ob du eine 6 würfelst oder nicht, ist das auch ein Bernoulli Experiment. Es gibt beim Würfeln zwar 6 verschiedene Ergebnisse {1, 2, 3, 4, 5, 6}, du betrachtest aber nur das Ereignis „6“ oder „keine 6“. Hier wäre das Ereignis „eine 6 würfeln“ der Treffer. Die Niete wäre dann „keine 6 würfeln“.

Du erkennst ein Bernoulli Experiment auch daran, dass die Ereignisse als Ja- und Nein-Fragen formuliert werden können:

  • Hast du eine 6 gewürfelt? → Ja/Nein
  • Hast du keine 6 gewürfelt? → Ja/Nein

Wie groß sind jetzt die Wahrscheinlichkeiten bei dem Bernoulli Experiment? Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, ist \frac{1}{6}:

    \[p=\frac{1}{6}\]

Die Wahrscheinlichkeit, dass du keine 6 würfelst, muss dann wieder 1 – p sein:

    \[1-p=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\]

Schau dir nun am besten noch einige Eigenschaften des Bernoulliexperiments an.

Bernoulli Experiment Eigenschaften

Eine Eigenschaft kennst du schon: Bei einem Bernoulli Experiment hast du nur zwei Ereignisse, also auch nur zwei Wahrscheinlichkeiten.

Bernoulli Wahrscheinlichkeiten

P(„Treffer“) = p

P(„Niete“) = 1 – p

Schau dir gleich noch weitere Eigenschaften an.

Erwartungswert

Den Erwartungswert berechnest du beim Bernoulli Experiment so:

E[X] = p

Bei dem Beispiel mit „6 würfeln“ wäre der Erwartungswert \frac{1}{6}:

    \[E[X]=\frac{1}{6}\]

Den Erwartungswert brauchst du auch, um die Varianz auszurechnen.

Varianz

Die Varianz kannst du dir als Streuung um den Erwartungswert herum vorstellen. Dabei berechnest du den Erwartungswert nicht von deiner Zufallsvariable, sondern von der mittleren quadratischen Abweichung:

V[X] = E[(X-E[X])2]

Beim Bernoulli Experiment musst du dir aber nur diese Formel merken:

V[X] = p • (1 – p)

Bei dem Beispiel wäre die Varianz \frac{5}{36}

    \[V[X]=p\cdot(1-p)=\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{36}\]

Jetzt kannst du dir noch die letzte Eigenschaft eines Bernoulli Experiment angucken.

Standardabweichung

Die Standardabweichung ist nur noch die Wurzel aus der Varianz:

    \[\mathbf{\sigma=\sqrt{V[X]}=\sqrt{p\cdot(1-p)}}\]

Jetzt kannst du dir nochmal anschauen, was passiert, wenn du ein Bernoulli Experiment mehrmals hintereinander durchführst.

Von Bernoulli zur Binomialverteilung

Führst du ein Bernoulli-Experiment mehrmals durch, hast du eine Bernoulli Kette. Schau dir dafür nochmal das Beispiel mit dem Würfel an. Deine Ereignisse sind bei diesem Versuch: „6 würfeln“ oder „keine 6 würfeln“. Aber was ist, wenn du zweimal oder sogar noch öfter würfelst? Dann kannst du ein Baumdiagramm  zeichnen:

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Bernoulli Kette

Stell dir jetzt vor, du würfelst 4 mal. Dabei willst 2 mal eine 6 würfeln und 2 mal keine 6. Wie wahrscheinlich ist das?

Dafür musst du zählen, wie viele Äste mit 2 mal 6 und 2 mal keine 6 vorkommen. Das sind genau 6 Äste! Die Anzahl der Äste kannst du aber auch mit dem Binomialkoeffizienten bestimmen:

    \[\binom{4}{2} = 6\]

Als Nächstes brauchst du die Wahrscheinlichkeit für jeden Weg. Dafür musst du einfach alle Wahrscheinlichkeiten multiplizieren, an denen du vorbeiläufst. Für deinen ersten Weg ganz links ist die Wahrscheinlichkeit: \frac{1}{6}^2\cdot\frac{5}{6}^{4-2}.

Wenn du genau hinschaust, siehst du, dass alle Wege, in denen 2 mal 6 und 2 mal keine 6 vorkommen, die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Also lautet die Rechnung für die Bernoulli Kette (Binomialverteilung):

    \[P(X=2)=\binom{4}{2}\cdot\frac{1}{6}^2\cdot(1-\frac{1}{6})^{4-2}\]

Allgemein kannst du dir merken, dass die Bernoulli Formel für k Treffer bei n Versuchen so aussieht:

    \[P(X=k)=\binom{n}{k}\cdotp^k\cdot(1-p)^{n-k}\]

Bei der Binomialverteilung kannst du auch den Erwartungswert berechnen:

E[X] = n • p

Die Varianz berechnest du dann mit:

V[X] = n • p • (1 – p)

Binomialverteilung

Willst du noch mehr über die Binomialverteilung erfahren? Dann schau dir doch gleich unser Video dazu an.

Zum Video: Binomialverteilung
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