Chemie Grundlagen

Henderson Hasselbalch Gleichung

In diesem Artikel stellen wir dir die Henderson Hasselbalch Gleichung vor. Wir beschreiben ihr Anwendungsgebiet näher und zeigen mit konkreten Beispielen, wie du sie zur Berechnung des pH-Werts nutzen kannst.

Wenn du eher der audio-visuellen Lerntyp bist, eignet sich unser Lernvideo  hervorragend dazu, dir dieses Thema näher zu bringen.

Inhaltsübersicht

Henderson Hasselbalch Gleichung einfach erklärt

Mit der Henderson Hasselbalch Gleichung wird der Zusammenhang zwischen dem pH-Wert und der Lage des Gleichgewichts einer Säure-Base-Reaktion beschrieben.

Merke
Sie wird auch als Puffergleichung bezeichnet, da sie hauptsächlich bei mittelstarken Säuren oder Basen in verdünnten wässrigen Lösungen (Konzentration \leq 1 \frac{mol}{L}), sogenannten Pufferlösungen, angewendet wird.

Sie wird häufig auch als Henderson Hasselbach Gleichung bezeichnet. Dies ist allerdings falsch, da ihr Name auf die zwei Chemiker Lawrence J. Henderson und Karl Albert Hasselbalch zurückgeht. Die Schreibweise Henderson-Hasselbalch-Gleichung ist in der Fachliteratur am häufigsten vertreten.

Die Henderson Hasselbalch Gleichung lautet:

pH = pK_s + log_{10} \frac{c(A^-)}{c(HA)} oder auch pH = pK_s - log_{10} \frac{c(HA)}{c(A^-)}

Der pH-Wert ist gleich dem pK_s-Wert + dem Zehnerlogarithmus des Konzentrationsverhältnisses von Salz zu Säure. Die alternative Form der Gleichung erhälst du durch die Anwendung der Rechenregeln des Logarithmus eines Quotienten.

Henderson Hasselbalch Gleichung Herleitung

Das Aufstellen der Gleichung ist in zwei Schritte untergliedert: Zuerst stellen wir anhand einer allgemeinen Säure-Base-Gleichung unter Anwendung des Massenwirkungsgesetzes eine Funktion für unsere Gleichgewichtskonstante auf.

Im zweiten Schritt führen wir einige Rechenoperationen durch, um von der Gleichgewichtskonstante auf die Säurekonstante und zuletzt auf den pH-Wert zu schließen.

Allgemeine Säure-Base-Reaktionsgleichung

Um die Henderson Hasselbalch Gleichung herzuleiten, benötigen wir zunächst einmal die allgemeine Säure-Base-Reaktionsgleichung:

HA + H_2O \rightleftharpoons A^- + H_3O^+

Dabei ist HA eine allgemeine schwache Säure und A^- das dazugehörige Anion.

Diese Reaktionsgleichung kann als nachfolgende Form des Massenwirkungsgesetzes formuliert werden:

K = \frac {c(A^-) \cdot c(H_3O^+)}{c(HA) \cdot c(H_2O)}

Umformung des Massenwirkungsgesetzes

Nun multiplizieren wir die Gleichung mit c(H_2O) \cdot \frac {L}{mol} und ersetzen die Gleichgewichtskonstante K durch die Säurekonstante K_s. Wobei folgende Beziehung zwischen den beiden Größen gilt:

K_s = K \cdot c(H_2O)

Aus unserem Massenwirkungsgesetz ergibt sich dadurch:

K_s \cdot \frac{L}{mol} = \frac {c(A^-) \cdot c(H_3O^+)}{c(HA)} \cdot \frac{L}{mol}; oder auch; K_s \cdot \frac{L}{mol} = c(H_3O^+) \cdot \frac{L}{mol} \cdot \frac{c(A^-)}{c(HA)}

Anschließend logarithmieren wir die Gleichung zur Basis 10, wobei wir die Rechenregel für den Logarithmus von Produkten beachten werden müssen:

log_b  \prod_{i=1}^{n} x_i = \sum_{i=1}^{n} log_b x_i

Daraus folgt für unsere Gleichung:

log_{10} (K_s \cdot \frac{L}{mol}) = log_{10} (c(H_3O^+) \cdot \frac{L}{mol}) + log_{10} (\frac{c(A^-)}{c(HA)})

Nun führen wir noch die Rechenoperationen -log_{10} (K_s \cdot \frac{L}{mol}) und -log_{10} (c(H_3O^+) \cdot \frac{L}{mol}) durch, womit sich folgende Gleichung ergibt:

-log_{10} (c(H_3O^+) \cdot \frac{L}{mol}) = -log_{10} (K_s \cdot \frac{L}{mol}) + log_{10} (\frac{c(A^-)}{c(HA)})

Folgende Definitionen für den pH-Wert und den pK_s-Wert kennen wir schon:

pH = -log_{10} (c(H_3O^+) \cdot \frac{L}{mol}) und pK_s = -log_{10} (K_s \cdot \frac{L}{mol})

Setzen wir diese Definitionen in unsere Formel ein, so ergibt sich die Henderson Hasselbalch Gleichung:

pH = pK_s + log_{10} \frac{c(A^-)}{c(HA)}

Diese Gleichung kann noch umformuliert werden, indem wir uns die Rechenregel für den Logarithmus von Quotienten zunutze machen, welche allgemein lautet:

log_b \frac {x}{y} = -log_b \frac {y}{x}

Damit erhalten wir die alternative Form der Henderson Hasselbalch Gleichung:

pH = pK_s - log_{10} \frac{c(HA)}{c(A^-)}

Aus den Gleichungen erkennen wir, dass der pH-Wert weitestgehend unabhängig von der Gesamtkonzentration einer Pufferlösung ist. Viel einflussreicher ist hier das Verhältnis der Konzentrationen von Salz zu Säure.

Henderson Hasselbalch Gleichung bei Puffern

Als Pufferlösungen bezeichnet man im allgemeinen wässrige Lösungen, deren pH-Wert durch Zugabe einer Säure oder einer Base nur geringfügig verändert wird. In derartigen Lösungen befindet sich ein konjugiertes Säure-Base-Paar,  wodurch die Säure OH^--Ionen und die Base H_3O^+-Ionen neutralisieren kann. Pufferlösungen können hergestellt werden, indem schwache Säuren oder Basen mit ihren jeweiligen Salzen vermischt werden.

Mithilfe dieser Pufferwirkung können starke pH-Wert Änderungen abgedämpft werden. Diese Funktion ist etwa für die Gesundheit des Menschen äußerst wichtig, da sich bereits geringe Abweichungen des pH-Werts im Körper lebensgefährlich auswirken können. Aus diesem Grund enthält das Blut mehrere Puffersysteme, um stoffwechselbedingte pH-Wert Änderungen abzupuffern.

Im Pufferbereich der Lösung entspricht das Konzentrationsverhältnis von Salz zu Säure, also \frac{c(A^-)}{c(HA)}, dem Verhältnis \frac{\tau}{1-\tau}. Hierbei handelt es sich bei \tau um den Titrationsgrad, also dem Verhältnis der Stoffmenge einer Maßlösung zur Stoffmenge einer Probelösung. Die Henderson Hasselbalch Gleichung lässt sich demnach auch schreiben als:

pH = pK_s + log_{10} \frac{\tau}{1-\tau}

Zu beachten ist hier, dass die Henderson Hasselbalch Gleichung im Bereich von \tau \approx 0 und \tau \approx 1 oder bei noch stärkerer Verdünnung (\leq 0,01 M) nur noch eingeschränkt angewendet werden kann. In diesen Fällen müssten zusätzlich die Protolyse des Salzes bzw. der Säure mit dem Lösungsmittel oder die Autoprotolyse des Wassers um pH =7 für die Konzentrationsberechnung berücksichtigt werden.

Um den pH-Wert derartiger Lösungen korrekt zu berechnen, müssten die benötigten Gleichungen aus dem Massenwirkungsgesetz hergeleitet, und, anstelle der Konzentrationen, die Aktivitäten genutzt werden.

Henderson Hasselbalch Gleichung Beispiel

Damit wir die Anwendung der Henderson Hasselbalch Gleichung besser verstehen können, schauen wir uns ein konkretes Beispiele an. Weshalb wir diese nun nur bei Pufferlösungen anwenden können, verdeutlichen wir mit nochmals mit diesem Beispiel.

Gegeben sind zwei unterschiedlich konzentrierte Ammonium-/ Ammoniakpuffer, die jeweils mit der gleichen Menge an Salzsäure versetzt werden.

Für unsere erste Pufferlösung sind folgende Angaben gegeben:

V = 1 L; c_0(NH_4^+) = 0,075 \frac {mol}{L}c_0(NH_3) = 0,075 \frac {mol}{L}; pH =9,2

Im Vergleich zur ersten Lösung ist unsere zweite zehnfach verdünnt und ebenfalls äquimolar, also die Konzentration der Säure und der konjugierten Base sind gleich hoch. Folgende Werte sind bekannt:

V = 1 L; c_0(NH_4^+) = 0,0075 \frac {mol}{L}c_0(NH_3) = 0,0075 \frac {mol}{L}; pH =9,2

Nachfolgende Angaben sind für unsere Salzsäure gegeben:

V = 0,0075 L; c(HCL) = 1 \frac {mol}{L}

Die zu unseren Lösungen hinzugefügte Stoffmenge an H_3O^+Ionen berechnet sich mit der nächsten Formel:

c_i = \frac{n_i}{V} \Rightarrow n_i = c_i \cdot V = 1 \frac{mol}{L} \cdot 0,0075 L = 0,0075 mol

Nun sollen wir die pH-Werte beider Lösungen nach Zugabe der Salzsäure berechnen.

Da unsere Pufferlösungen äquimolar sind gilt:

pH = pK_s

Für unsere erste Pufferlösung ergeben sich folgende Konzentrationen durch die Säurezugabe:

c_1(NH_4^+) = 0,0825 \frac {mol}{L}c_1(NH_3) = 0,0675 \frac {mol}{L}

Nun berechnen wir den pH-Wert mit diesen Angaben mit der Henderson Hasselbalch Gleichung:

pH = pK_s + log_{10} \frac{c(A^-)}{c(HA)} = 9,2 + log (\frac{0,0675}{0,0825}) \approx 9,1

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Henderson Hasselbalch Gleichung Beispiel

Wir sehen, dass sich der pH-Wert nur geringfügig vom Anfangswert unterscheidet. Die Pufferlösung konnte den Säurestoß abfangen.

Unter den gleichen Rahmenbedingungen ergeben sich nachfolgende Werte für unsere stärker verdünnte Lösung:

c_1(NH_4^+) = 0,015 \frac {mol}{L}c_1(NH_3) \approx 0,00 \frac {mol}{L}

Wir erkennen, dass durch die Säurezugabe, das gesamte Ammoniak in der Lösung in die konjugierte Säure Ammonium überführt wurde. Aus diesem Grund können wir die Henderson Hasselbalch Gleichung nicht hernehmen, sondern müssen mit der Formel zur Berechnung des pH-Werts schwacher Säuren fortfahren. Daraus folgt:

pH = \frac{1}{2} (pK_s - log c(HA)) = \frac{1}{2} (9,2 - log 0,015) \approx 5,5

Hier sehen wir, dass sich der pH-Wert stark verringert hat, die Säurezugabe konnte nicht abgepuffert werden.


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