Algebra Schüler
Gleichungen & Ungleichungen
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Was ist ein Intervall?

Ein Intervall ist eine Menge von Zahlen, die durch einen Start- und Endwert begrenzt ist. 

Beispiel: Das Intervall [2;7] umfasst alle reellen Zahlen , die zwischen 2 und 7 liegen.

Die nach innen zeigenden eckigen Klammern ([, ]) bedeuten außerdem, dass die 2 und die 7 auch dazugehören. Im Intervall [2;7] befinden sich also beispielsweise die Zahlen: 2,   2,35,   4,696,   6,3333 und die 7.

Das siehst du auch am Zahlenstrahl:

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Intervall in Mathe

Es gibt aber noch andere Arten von Intervallen, die zum Beispiel so aussehen: [2;7[, ]2;7[, (2;7). Was diese Intervallschreibweisen bedeuten, erfährst du jetzt.

Endliche Intervalle

Intervalle mit endlicher Länge nennst du beschränkte oder endliche Intervalle. Du erkennst sie daran, dass ihre Start- und Endwerte reelle Zahlen sind, wie beispielsweise bei [2; 7].

Du kannst die Länge des Intervalls berechnen, indem du den Startwert vom Endwert abziehst:
Hier ist die Länge 5, da 72 = 5.

Geschlossenes Intervall

In einem geschlossenen oder abgeschlossenen Intervall ist sowohl der Start- als auch Endwert enthalten. Das erkennst du daran, dass die eckigen Klammern ([;]) nach innen zeigen. 

Beispiel: [2;7] beschreibt die Menge aller Zahlen zwischen 2 (eingeschlossen) und 7 (eingeschlossen)

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[2;7]

Halboffenes Intervall

Ist der Start- oder Endwert nicht enthalten, dann ändert sich die Intervallschreibweise. Die entsprechende eckige Klammer zeigt dann nach außen.

Beispiel 1: [2;7[ beschreibt die Menge aller Zahlen von 2 (eingeschlossen) bis 7 (ausgeschlossen). Die Zahl 6,999 ist also noch in der Menge enthalten, die Zahl 7 aber nicht!

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[2;7[

Beispiel 2:  ]2;7] beschreibt die Menge aller Zahlen von 2 (ausgeschlossen) bis 7 (eingeschlossen).

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]2;7]

Offenes Intervall

Bei einem offenen Intervall sind sowohl Start- als auch Endwert nicht mit im Intervall enthalten.

Beispiel: ]2;7[ beschreibt die Menge aller Zahlen von 2 (ausgeschlossen) bis 7 (ausgeschlossen).

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]2;7[

Intervallschreibweise endliche Intervalle

Es gibt verschiedene Arten von Intervallschreibweisen.

  • 1. Schreibweise: nach außen zeigende eckige Klammern für nicht enthaltene Grenzwerte (Beispiel: ]2;7[)
  • 2. Schreibweise: nach innen zeigende runde Klammern für nicht enthaltene Grenzwerte (Beispiel: (2;7))

In der Tabelle siehst du noch einmal alle Intervallschreibweisen im Überblick:

Typ Schreibweise 1 Schreibweise 2 Mengenschreibweise
geschlossen [a;b] [a;b] {x| a x b}
halboffen (rechtsoffen) [a;b[ [a;b) {x| a x < b}
halboffen (linksoffen) ]a;b] (a;b] {x| a < x   b}
offen ]a;b[ (a;b) {x| a < x < b}

Unendliche Intervalle

Intervalle mit unendlicher Länge nennst du unendliche oder unbeschränkte Intervalle. Du erkennst sie daran, dass eine Intervallgrenze entweder +∞ (Plus Unendlich) oder -∞ (Minus Unendlich) ist.

Wichtig: Da +∞  und -∞ keine Zahlen sind, können sie selbst nie zum Intervall dazugehören! Daher steht hier immer eine offene eckige Klammer.

Beispiel 1: Das Intervall [2; ∞[ beschreibt die Menge aller Zahlen von 2 (eingeschlossen) bis ins Unendliche.

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[2; +unendlich[

Beispiel 2: Das Intervall ]-∞; 7[ beschreibt die Menge aller Zahlen von minus unendlich bis 7 (ausgeschlossen).

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]-unendlich;7[

Übrigens: Das Intervall ]-∞; ∞[ geht von minus unendlich bis plus unendlich und deckt somit den gesamten Zahlenstrahl ab, also ganz \mathbb{R}.

Intervallschreibweise unendliche Intervalle

Hier siehst du die Intervallschreibweise der unendlichen Intervalle nochmal im Überblick:

Typ Schreibweise 1 Schreibweise 2 Mengenschreibweise
links geschlossen,
rechts unbeschränkt
[a; ∞[ [a; ∞) {x| a ≤ x}
links offen,
rechts unbeschränkt
]a; ∞[ (a; ∞) {x| a < x}
links unbeschränkt,
rechts geschlossen
]-∞; b] (-∞; b] {x| x ≤ b}
links unbeschränkt,
rechts offen
]-∞; b[ (-∞; b) {x| x < b }
beidseitig unbeschränkt ]-∞; ∞[ (-∞; ∞) \mathbb{R}

Lösungsmenge

Super, jetzt kennst du die Definition von einem Intervall und weißt, wie du es angeben kannst! Du solltest immer darauf achten, Lösungsmengen und Lösungsintervalle nicht zu verwechseln!

Beispiel Lösungsintervall: Das Lösungsintervall der Ungleichung x2 < 9 ist \mathbb{L} = ]-3; 3[. Damit sind alle reellen Zahlen zwischen -3 (ausgeschlossen) und 3 (ausgeschlossen) gemeint. In dem Intervall selbst befinden sich also unendlich viele Lösungen!

Beispiel Lösungsmenge: Die Lösungsmenge der Gleichung x2 = 9 ist \mathbb{L} = {-3; 3}. In dieser Menge sind nur die zwei Zahlen -3 und 3 enthalten!

Du möchtest noch mehr darüber erfahren, wie du die Lösungsmenge bestimmen und aufschreiben kannst? Dann schau dir direkt unser Video dazu an!

Zum Video: Lösungsmenge
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