Intervall Mathe
Was ist ein Intervall?
Ein Intervall ist eine Menge von Zahlen, die durch einen Start- und Endwert begrenzt ist.
Beispiel: Das Intervall [2;7] umfasst alle reellen Zahlen , die zwischen 2 und 7 liegen.
Die nach innen zeigenden eckigen Klammern ([, ]) bedeuten außerdem, dass die 2 und die 7 auch dazugehören. Im Intervall [2;7] befinden sich also beispielsweise die Zahlen: 2, 2,35, 4,696, 6,3333 und die 7.
Das siehst du auch am Zahlenstrahl:
Es gibt aber noch andere Arten von Intervallen, die zum Beispiel so aussehen: [2;7[, ]2;7[, (2;7). Was diese Intervallschreibweisen bedeuten, erfährst du jetzt.
Endliche Intervalle
Intervalle mit endlicher Länge nennst du beschränkte oder endliche Intervalle. Du erkennst sie daran, dass ihre Start- und Endwerte reelle Zahlen sind, wie beispielsweise bei [2; 7].
Du kannst die Länge des Intervalls berechnen, indem du den Startwert vom Endwert abziehst:
Hier ist die Länge 5, da 7 – 2 = 5.
Geschlossenes Intervall
In einem geschlossenen oder abgeschlossenen Intervall ist sowohl der Start- als auch Endwert enthalten. Das erkennst du daran, dass die eckigen Klammern ([;]) nach innen zeigen.
Beispiel: [2;7] beschreibt die Menge aller Zahlen zwischen 2 (eingeschlossen) und 7 (eingeschlossen)
Halboffenes Intervall
Ist der Start- oder Endwert nicht enthalten, dann ändert sich die Intervallschreibweise. Die entsprechende eckige Klammer zeigt dann nach außen.
Beispiel 1: [2;7[ beschreibt die Menge aller Zahlen von 2 (eingeschlossen) bis 7 (ausgeschlossen). Die Zahl 6,999 ist also noch in der Menge enthalten, die Zahl 7 aber nicht!
Beispiel 2: ]2;7] beschreibt die Menge aller Zahlen von 2 (ausgeschlossen) bis 7 (eingeschlossen).
Intervallschreibweise endliche Intervalle
Es gibt verschiedene Arten von Intervallschreibweisen.
- 1. Schreibweise: nach außen zeigende eckige Klammern für nicht enthaltene Grenzwerte (Beispiel: ]2;7[)
- 2. Schreibweise: nach innen zeigende runde Klammern für nicht enthaltene Grenzwerte (Beispiel: (2;7))
In der Tabelle siehst du noch einmal alle Intervallschreibweisen im Überblick:
| Typ | Schreibweise 1 | Schreibweise 2 | Mengenschreibweise |
| geschlossen | [a;b] | [a;b] | {x| a ≤ x ≤ b} |
| halboffen (rechtsoffen) | [a;b[ | [a;b) | {x| a ≤ x < b} |
| halboffen (linksoffen) | ]a;b] | (a;b] | {x| a < x ≤ b} |
| offen | ]a;b[ | (a;b) | {x| a < x < b} |
Unendliche Intervalle
Intervalle mit unendlicher Länge nennst du unendliche oder unbeschränkte Intervalle. Du erkennst sie daran, dass eine Intervallgrenze entweder +∞ (Plus Unendlich) oder -∞ (Minus Unendlich) ist.
Wichtig: Da +∞ und -∞ keine Zahlen sind, können sie selbst nie zum Intervall dazugehören! Daher steht hier immer eine offene eckige Klammer.
Beispiel 1: Das Intervall [2; ∞[ beschreibt die Menge aller Zahlen von 2 (eingeschlossen) bis ins Unendliche.
Beispiel 2: Das Intervall ]-∞; 7[ beschreibt die Menge aller Zahlen von minus unendlich bis 7 (ausgeschlossen).
Übrigens: Das Intervall ]-∞; ∞[ geht von minus unendlich bis plus unendlich und deckt somit den gesamten Zahlenstrahl ab, also ganz 
.
Intervallschreibweise unendliche Intervalle
Hier siehst du die Intervallschreibweise der unendlichen Intervalle nochmal im Überblick:
| Typ | Schreibweise 1 | Schreibweise 2 | Mengenschreibweise |
| links geschlossen, rechts unbeschränkt |
[a; ∞[ | [a; ∞) | {x| a ≤ x} |
| links offen, rechts unbeschränkt |
]a; ∞[ | (a; ∞) | {x| a < x} |
| links unbeschränkt, rechts geschlossen |
]-∞; b] | (-∞; b] | {x| x ≤ b} |
| links unbeschränkt, rechts offen |
]-∞; b[ | (-∞; b) | {x| x < b } |
| beidseitig unbeschränkt | ]-∞; ∞[ | (-∞; ∞) | |
Lösungsmenge
Super, jetzt kennst du die Definition von einem Intervall und weißt, wie du es angeben kannst! Du solltest immer darauf achten, Lösungsmengen und Lösungsintervalle nicht zu verwechseln!
Beispiel Lösungsintervall: Das Lösungsintervall der Ungleichung x2 < 9 ist 
= ]-3; 3[. Damit sind alle reellen Zahlen zwischen -3 (ausgeschlossen) und 3 (ausgeschlossen) gemeint. In dem Intervall selbst befinden sich also unendlich viele Lösungen!
Beispiel Lösungsmenge: Die Lösungsmenge der Gleichung x2 = 9 ist = {-3; 3}. In dieser Menge sind nur die zwei Zahlen -3 und 3 enthalten!
Du möchtest noch mehr darüber erfahren, wie du die Lösungsmenge bestimmen und aufschreiben kannst? Dann schau dir direkt unser Video dazu an!
