Algebra Schüler
Lineare Gleichungssysteme
 – Video

In diesem Beitrag erklären wir dir, was lineare Gleichungssysteme sind und wie du sie lösen kannst. Schau dir einfach unser Video dazu an! Darin erklären wir dir in kurzer Zeit alles, was du wissen musst. 

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Bei linearen Gleichungssystemen (kurz: LGS) hast du mehrere Gleichungen gegeben, in denen zwei oder mehr unbekannte Variablen vorkommen. Ein lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten könnte zum Beispiel so aussehen:

    \begin{align*} (I) \quad &6x + 2y = 18  \\ (II) \  \ & y = 3x - 3 \\ \end{align*}

Es besteht aus zwei Gleichungen, die jeweils zwei Variablen enthalten – in unserem Fall sind das x und y. Beim LGS lösen ist dein Ziel, Werte für die Variablen zu finden, sodass beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind:

    \begin{align*} x = 2 \\ y = 3 \\ \end{align*}

Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie du lineare Gleichungssysteme lösen kannst:

Hinweis

Du kannst jedes Verfahren verwenden, um das richtige Ergebnis zu bekommen. Je nach LGS bietet sich eines der drei besonders an, weil du damit am einfachsten rechnen kannst. 

Wie du auf die Lösungen linearer Gleichungssysteme kommst, zeigen wir dir für alle Verfahren an ausführlichen Beispielen.

Lineare Gleichungssysteme Gleichsetzungsverfahren

Wenn beide Gleichungen in deinem linearen Gleichungssystem schon nach der selben Variable aufgelöst sind, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.

Zum Video: Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren, LGS, Lineare Gleichungssysteme
Zum Video: Gleichsetzungsverfahren

Das ist hier der Fall:

    \begin{align*} (I) \ &y = \textcolor{teal}{ 3x + 1}  \\ (II) \ &y = \textcolor{orange}{9 - x} \\ \end{align*}

1. Gleichungen gleichsetzen: Beide Gleichungen sind nach y aufgelöst, also setzt du sie gleich. 

    \begin{align*} (I) &= (II) \\   y &= y \\  \textcolor{teal}{ 3x + 1 } &= \textcolor{orange}{ 9 - x} \\ \end{align*}

2. Nach Variable auflösen: Das musst du nach x auflösen.%Verweis Gleichung lösen

\begin{alignat*}{2} \textcolor{teal}{ 3x + 1} &= \textcolor{orange}{ 9 - x} \quad \quad \quad &&| -1 \ | +x \\  3x + x &= 9 - 1 \\ 4x &= 8 \quad \quad \quad &&| :4 \\ \textcolor{red}{x} & = \textcolor{red}{2} \\ \end{align*}

So bekommst du als ersten Teil der Lösung \textcolor{red}{x = 2}.

3. Andere Variable berechnen: \textcolor{red}{x = 2} setzt du in (I) ein, um y zu berechnen.

    \begin{align*} &y = \textcolor{teal}{ 3x + 1 } \quad &| \ \textcolor{red}{x = 2} \\ &y = 3 \cdot \textcolor{red}{2} + 1 \\ &\textcolor{blue}{y} = \textcolor{blue}{7}  \\ \end{align*}

Das LGS wird also mit \textcolor{blue}{y = 7} gelöst.

4. Ergebnis überprüfen: Überprüfe dein Ergebnis, indem du beide Variablen in (II) einsetzt.

    \begin{align*}  y&=  \textcolor{orange}{ 9 - x} \quad &| \ \textcolor{red}{x = 2}  \ | \  \textcolor{blue}{y = 7} \\ \textcolor{blue}{7} &= 9 - \textcolor{red}{2} = \textcolor{blue}{7} \quad \checkmark \\ \end{align*}

5. Lösungsmenge aufstellen: Jetzt musst du die Lösungsmenge \mathbb{L} formulieren. Die Lösung ist dabei ein Punkt mit den Koordinaten x und y — den schreibst du einfach hinter \mathbb{L} = in eine geschweifte Klammer. 

\mathbb{L} = \{(\textcolor{red}{2} \ |\ \textcolor{blue}{7})\}

Das kannst du auch graphisch darstellen:

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Lineares Gleichungssystem im Graphen

Lineare Gleichungssysteme Einsetzungsverfahren

Wenn nur eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst ist, bietet sich das Einsetzungsverfahren an.

Zum Video: Einsetzungsverfahren, Lineare Gleichungssysteme, LGS
Zum Video: Einsetzungsverfahren

Das ist hier der Fall:

    \begin{align*} (I) \ &x = \textcolor{teal}{4y - 7} \\ (II) \ & \textcolor{orange}{5}x \textcolor{orange}{+ 2y = 18}  \\ \end{align*}

Gleichung (I) ist schon nach x aufgelöst, also setzt du x = \textcolor{teal}{4y - 7} in (II) ein – daher auch Einsetzungsverfahren.

1. Term einer Variable in anderen Term einsetzen: 

    \begin{align*} \textcolor{orange}{5}x \textcolor{orange}{+ 2y} &= \textcolor{orange}{18} \quad &| \ x = \textcolor{teal}{4y - 7} \\ \textcolor{orange}{5} \cdot (\textcolor{teal}{4y - 7}) \textcolor{orange}{+ 2y} &= \textcolor{orange}{18} \\ \end{align*}

2. Nach Variable auflösen: Du musst den kombinierten Term nach y auflösen (y = …). 

\begin{alignat*}{2} 20y - 35 + 2y &= 18 \quad \quad \quad &&|  +35 \\ 22y &= 18 + 35 \quad \quad \quad &&|  :22 \\ \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{blue}{\frac{53}{22}} \approx 2{,}41 \\ \end{align*}

Du bekommst so heraus, dass \textcolor{blue}{y = \frac{53}{22}} ist. 

3. Andere Variable berechnen: Setze \textcolor{blue}{y = \nicefrac{53}{22}} in (I), ein. So berechnest du x.

    \begin{align*}  x &= \textcolor{teal}{4y - 7} \quad &| \ \textcolor{blue}{y = \frac{53}{22}} \\ x &= 4 \cdot \textcolor{blue}{\frac{53}{22}} - 7 \\ \textcolor{red}{x} &= \frac{212}{22} - \frac{154}{22} = \textcolor{red}{\frac{58}{22}} \approx 2{,}64 \end{align*}

Um das lineare Gleichungssystem berechnen, brauchst du \textcolor{red}{x = \nicefrac{58}{22}}.

4. Ergebnis überprüfen: Setze beide Variablen in (II) ein. 

    \begin{align*} \textcolor{orange}{5}x \textcolor{orange}{+ 2y} &= \textcolor{orange}{18} \quad &| \ x = \textcolor{red}{x = \frac{58}{22}} \ | \ \textcolor{blue}{y = \frac{53}{22}} \\ 5 \cdot \textcolor{red}{\frac{58}{22}} +2 \cdot \textcolor{blue}{\frac{53}{22}} &= 18 \\ \frac{290}{22} + \frac{106}{22} = \frac{396}{22} &= 18 \quad \checkmark \\ \end{align*}

5. Lösungsmenge aufstellen: Du weißt, dass \textcolor{red}{x = \nicefrac{58}{22}} und \textcolor{blue}{y = \nicefrac{53}{22}} die Lösung für das lineare Gleichungssystem ist. 

\mathbb{L} = \{( \textcolor{red}{\frac{58}{22}}\ |\ \textcolor{blue}{ \frac{53}{22}})\}

Lineare Gleichungssysteme Additionsverfahren

Wenn die Gleichungen „entgegengesetzte“ Terme enthalten, verwendest du das Additionsverfahren

Zum Video: Additionsverfahren
Zum Video: Additionsverfahren

Das ist hier zum Beispiel der Fall, weil +5x in (I) und -5x in (II) enthalten sind.  

    \begin{align*} (I) \ &\textcolor{teal}{4y - 5x = -7}  \\ (II) \ &\textcolor{orange}{ 3y + 5x = 21}  \\ \end{align*}

Du rechnest (I) und (II) zusammen, um das lineare Gleichungssystem zu lösen – du führst eine Addition durch, deshalb auch Additionsverfahren.

1. Gleichungen addieren: Du rechnest (I) + (II). Alles, was links vom = steht, schreibst du links und alles, was rechts steht, rechts.

\textcolor{teal}{4y - 5x}+ \textcolor{orange}{ 3y + 5x} = \textcolor{teal}{-7} + \textcolor{orange}{21}

2. Nach Variable auflösen: Die entgegengesetzten Terme +5x und -5x heben sich auf, also bleibt als Variable nur y. Danach löst du auf.

    \begin{align*} 4y + 3y &= -7 + 21 \\ 7y &= 14 \quad &|  :7 \\ \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{blue}{2} \\ \end{align*}

3. Andere Variable berechnen: Setze \textcolor{blue}{y = 2} in (I)  ein, um x zu berechnen.

\begin{alignat*}{2} \textcolor{teal}{4y - 5x} &= \textcolor{teal}{-7} \quad \quad \quad&&| \ \textcolor{blue}{y = 2} \\ 4 \cdot \textcolor{blue}{2} - 5x &= -7 \quad &&| + 5x \ |  +7 \\  8 + 7 &= 5x \quad &&| : 5 \\ \textcolor{red}{x} &= \frac{15}{5} = \textcolor{red}{3} \\ \end{align*}

4. Ergebnis überprüfen: Setze beide Variablen in (II) ein.

    \begin{align*} \textcolor{orange}{ 3y + 5x} &= \textcolor{orange}{21} \quad &| \ \textcolor{red}{x = 3} \ | \ \textcolor{blue}{y = 2} \\ 3 \cdot \textcolor{blue}{2} + 5 \cdot \textcolor{red}{3} &= 6 + 15 =21 \quad \checkmark \\ \end{align*}

5. Lösungsmenge aufstellen: Bilde die Lösungsmenge für das LGS.

\mathbb{L} = \{(\textcolor{red}{3} \ | \ \textcolor{blue}{2})\}

Jetzt kennst du also drei Verfahren, mit denen du lineare Gleichungssysteme lösen kannst. Super!

Terme umformen

In manchen Fällen kann es sein, dass du eine Gleichung erst umformen musst, bevor du eines der Verfahren anwenden kannst. Wie das geht, siehst du in unserem Beitrag Lineare Gleichungssysteme Aufgaben

Gleichungssysteme lösen – Besonderheiten

Es könnte auch passieren, dass dir zwei Spezialfälle beim Lösen von linearen Gleichungssystemen begegnen. Ein lineares Gleichungssystem kann nämlich gar keine oder unendlich viele Lösungen haben. Schauen wir uns dazu je ein Beispiel an.

Keine Lösung:

    \begin{align*} (I) \ &y = 3x - 1  \\ (II) \  &9x + 14 = 3y  \\ \end{align*}

Du siehst, dass (I) schon ganz nach y aufgelöst ist, also verwendest du das Einsetzungsverfahren und setzt y aus (I) in (II) ein.

    \begin{align*} 9x + 14 &= 3 \cdot (3x - 1) \\ 9x + 14 &= 9x - 3 \quad &| -9x \\ \textbf{\textcolor{red}{14}} &\neq \textbf{\textcolor{red}{-3}} \\ \end{align*}

Hier würde am Ende \textbf{\textcolor{red}{14}} = \textbf{\textcolor{red}{-3}} stehen. Aber das ist natürlich nie richtig! Das heißt, es gibt keine Lösung für dieses lineare Gleichungssystem. Du schreibst die Lösungsmenge trotzdem hin, aber sie bleibt leer.

\mathbb{L} =\{  \}

Unendlich viele Lösungen:

    \begin{align*} (I) \ &y = 2x - 7 \\ (II) \ & 3y + 21 = 6x \\ \end{align*}

Du setzt y in (II) ein, um das LGS zu lösen.

    \begin{align*} 3 \cdot (2x -7) +21 &= 6x \\ 6x - 21 + 21 &= 6x \\ 6x &= 6x \\ \textbf{\textcolor{blue}{x}} &= \textbf{\textcolor{blue}{x}} \\ \end{align*}

Dass \textbf{\textcolor{blue}{x}} = \textbf{\textcolor{blue}{x}} ist, gilt immer – egal welche Zahlen du für x und y einsetzt. Das heißt, das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Die Lösungsmenge schreibst du dann als alle Zahlen x und y, für die y = 2x -7 gilt.

\mathbb{L} = \{(x \ | \ y) \ \ |\ y = 2x -7\} 

Lineare Gleichungssysteme Aufgaben

Das Beste bei so einem schweren Thema ist es, wenn du selbst etwas durchrechnest. Schau dir deshalb unbedingt auch noch unser Video zum Thema Lineare Gleichungssysteme Aufgaben an! Da zeigen wir dir, wie lineare Gleichungssysteme noch aussehen könnten und erklären dir nochmal genau, wie du auf die Lösungen kommst.

Zum Video: Lineare Gleichungssysteme Aufgaben
Zum Video: Lineare Gleichungssysteme Aufgaben

Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen

Ein lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen nennst du ein 2 \times 2-System — dabei hast du 2 Geradengleichungen und 2 Unbekannte. Es gibt aber auch lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Variablen. Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Variablen nennst du dann ein 3 \times 3-Gleichungssystem. Schauen wir uns mal ein Beispiel für so ein System an, das aus drei Gleichungen mit 3 Unbekannten besteht. 

    \begin{align*} (I) \ &9x + 6y - 3z = 3  \\ (II) \ &6x - 6y + 12z = -6 \\ (III) \ &-3x + 1{,}5y - 3z = 0  \\ \end{align*}

Du löst es, indem du schrittweise die Variablen eliminierst

1. Erste Variable eliminieren: Wenn du genau hinsiehst, entdeckst du, dass (I) und (II) jeweils +6y und -6y enthalten. Deswegen wendest du  auf (I) und (II) das Additionsverfahren an und rechnest sie zusammen, um y loszuwerden. 

\begin{alignat*}{2} &9x \ \textcolor{teal}{+\ 6y}\ - 3z + 6x \ \textcolor{teal}{-}\ &&\textcolor{teal}{6 y}\ + 12z = 3 - 6 \\ (II') & \ &&15x + 9z = -3  \\ \end{align*}

(II') schreibst du anstelle von (II) in das LGS.

2. Zweite Variable eliminieren: Jetzt musst du auch (I) und (III) so addieren, dass y wegfällt. Davor musst du eine Multiplikation durchführen, damit sich die Vorfaktoren von y gleichen. Hier multiplizierst du (I) mit -0,25. Dann heben sich die y aus (I) und (III)  auf. 

    \begin{align*}  (-0{,}25) \cdot (9x + 6y - 3z) &= (-0{,}25) \cdot 3 \\ -2{,}25x - 1{,}5y + 0{,}75z &= -0{,}75 \\ \end{align*}

Du addierst (I) und (III), damit sich -1{,}5y und +1{,}5y aufheben.

    \begin{align*}  &-2{,}25x\ \textcolor{teal}{- 1{,}5y} + 0{,}75z - 3x \textcolor{teal}{+ 1{,}5y} - 3z &=& -0{,}75 + 0 \\ (III') & -5{,}25x -2{,}25z &=& -0{,}75  \\ \end{align*}

(III') schreibst du statt (III) in das lineare Gleichungssystem.

3. Terme kombinieren:(II') und (III') enthalten beide nur x und z. Löse jetzt (II') nach x auf und setze x in (III') ein, um einen Zahlenwert für z zu erhalten.

    \begin{align*} 15x + 9z &= -3 \\ x &= -0{,}2 - 0{,}6z \\ \end{align*}

x in (III'):

    \begin{align*} -5{,}25x -2{,}25z &= -0{,}75 \quad &| \ x &= -0{,}2 - 0{,}6z \\ -5{,}25 \cdot (-0{,}2 -0{,}6z) -2{,}25z &= -0{,}75 \\ 1{,}05 + 3{,}15z - 2{,}25z &= -0{,}75 \\ \textcolor{orange}{z} &= \textcolor{orange}{-2} \\ \end{align*}

4. Einen Zahlenwert einsetzen:  So weißt du, dass \textcolor{orange}{z= -2} ist und setzt das in (II')  ein, um auch einen Zahlenwert für x zu bekommen.

    \begin{align*} x &= -0{,}2 - 0{,}6z \quad &| \ \textcolor{orange}{z= -2} \\ x &= -0{,}2 - 0,6 \cdot (\textcolor{orange}{-2}) \\ \textcolor{red}{x} &= \textcolor{red}{1} \\ \end{align*}

5. Beide Zahlenwerte einsetzen: Um y zu erhalten setzt du \textcolor{red}{x = 1} und \textcolor{orange}{z= -2} in (I) ein.

    \begin{align*} 9x + 6y - 3z &= 3 \quad &| \ \textcolor{red}{x = 1} \ | \ \textcolor{orange}{z= -2} \\ 9 \cdot \textcolor{red}{1} + 6y - 3 \cdot (\textcolor{orange}{-2}) &= 3 \\ 9 + 6y + 6 &= 3 \\ 6y &= -12 \\ \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{blue}{-2} \\ \end{align*}

6. Ergebnis überprüfen: Du siehst so, dass  \textcolor{blue}{y = -2} ist. Wenn du dir unsicher bist, ob du das LGS mit 3 Unbekannten richtig gelöst hast, setzt du deine Ergebnisse in eine der drei Gleichungen, hier (II), ein.

6 \cdot \textcolor{red}{ 1} - 6 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) + 12 \cdot (\textcolor{orange}{-2}) = -6

6 + 12 - 24 = -6 \quad \checkmark

7. Lösungsmenge aufstellen: Zuletzt schreibst du die Lösungsmenge hin.

\mathbb{L} = \{( \textcolor{red}{ 1} \ | \ \textcolor{blue}{-2} \ | \ \textcolor{orange}{-2})\}

Gauß-Algorithmus

Es gibt noch eine weitere Möglichkeit, wie du lineare Gleichungssysteme lösen kannst — den Gauß-Algorithmus. Zu dem Thema haben wir auch ein Video für dich vorbereitet. Schau es dir jetzt unbedingt noch an! Dann weißt du wirklich ganz genau, wie du lineare Gleichungssysteme lösen kannst.

Zum Video: Gauß-Algorithmus
Zum Video: Gauß-Algorithmus

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