Was ist ein Mittelpunkt?

Ein Mittelpunkt ist der Punkt auf einer Strecke, der von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist. Du kannst dir das so vorstellen: Der Mittelpunkt teilt die Strecke genau in zwei gleich lange Hälften. Er liegt also genau „zwischen“ den beiden Punkten, nicht näher an dem einen oder dem anderen.

Wie berechnet man den Mittelpunkt eines Vektors?

Den Mittelpunkt eines Vektors zwischen zwei Punkten berechnest du, indem du die Koordinaten der beiden Punkte jeweils mittelt. Dazu addierst du bei jeder Koordinate die beiden Werte und teilst durch 2. Beispiel: und .

Wie berechnet man den Verbindungsvektor: B minus A oder A minus B?

Den Verbindungsvektor von A nach B berechnest du als , weil der Vektor in Richtung von A zu B zeigen soll. Du ziehst die Koordinaten komponentenweise ab. Beispiel: , und .

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Mittelpunkt einer Strecke berechnen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Mittelpunkt einer Strecke — Mittelpunktformel

(00:35)

Mittelpunkt berechnen — Linearkombination von Vektoren

(01:30)

Du willst wissen, wie du den Mittelpunkt einer Strecke mithilfe von Vektoren berechnest? Hier und im Video findest du einfache Erklärungen, Beispiele und Übungsaufgaben.

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Inhaltsübersicht

Mittelpunkt einer Strecke — Mittelpunktformel

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(00:35)

Um den Mittelpunkt einer Strecke zwischen A und B zu berechnen, kannst du entweder die Mittelpunktformel verwenden oder eine Linearkombination von Vektoren. Schau dir zunächst die Mittelpunktformel an:

Stell dir vor, du willst den Mittelpunkt der Strecke [AB] zwischen A (1, 3, 4) und B (-3, 5, 6) ausrechnen. Dafür musst du nur die Koordinaten von A und B in diese Formel einsetzen:

$M_{\textcolor {red}A\textcolor {blue}B} = \left( \frac{\textcolor {red}{a_1} + \textcolor {blue}{b_1}}{2}, \frac{\textcolor {red}{a_2} + \textcolor {blue}{b_2}}{2}, \frac{\textcolor {red}{a_3} + \textcolor {blue}{b_3}}{2} \right) =\left( \frac{\textcolor {red}1 + (\textcolor {blue}{-3})}{2}, \frac{\textcolor {red}3 + \textcolor {blue}5}{2}, \frac{\textcolor {red}4 + \textcolor {blue}6}{2} \right)$

Die Koordinaten des Mittelpunkts bekommst du dann, wenn du jetzt die einzelnen Bestandteile ausrechnest:

$M_{\textcolor {red}A\textcolor {blue}B} = \left(\frac{-2}{2}, \frac{8}{2}, \frac{10}{2} \right) = (-1, 4, 5)$

Das Bild zeigt zwei Punkte A und B im dreidimensionalen Koordinatensystem sowie den Punkt M als Mittelpunkt der Strecke zwischen A und B. — Beispiel Mittelpunkt einer Strecke

Mittelpunkt einer Strecke in der Ebene

Es kann auch sein, dass du zwei Punkte wie C (1, 2) und D (3, 6) hast, die nur zwei Koordinaten haben statt drei. In dem Fall sieht die Formel so aus:

$\ M_{\textcolor {green}C\textcolor {orange}D} = \left(\frac{\textcolor{green}{c_1} + \textcolor {orange}{d_1}}{2}, \frac{\textcolor{green}{c_2} +\textcolor{orange}{d_2}}{2}\right) = \left(\frac{ \textcolor{green}1 + \textcolor{orange}3}{2}, \frac{\textcolor{green}2 + \textcolor{orange}6}{2} \right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{8}{2}\right) = (2, 4)$

Mittelpunkt berechnen — Linearkombination von Vektoren

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(01:30)

Du kannst den Mittelpunkt einer Strecke auch mithilfe einer Linearkombination von Vektoren berechnen. Dafür brauchst du folgende Formel:

$\vec{0M} = \ \vec{\textcolor {red}{0A}} + \frac {1}{2}\cdot \vec{\textcolor {red}A\textcolor {blue}B}$

Dabei ist $\vec{\textcolor {red}{0A}}$ der Ortsvektor von A, also der Vektor, der vom Koordinatenursprung zum Punkt A führt. $\vec{\textcolor {red}A\textcolor {blue}B}$ ist der Richtungsvektor, der von A zu B zeigt.

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Mittelpunkt einer Strecke Vektoren — Beispiel

Sieh dir wieder die Punkte A (1, 3, 4) und B (-3 , 5, 6) an. Jetzt willst du den Mittelpunkt $\ M_{\textcolor {red}A\textcolor {blue}B}$ der Strecke [AB] bestimmen. Dafür nimmst du den Ortsvektor $\ \vec{\textcolor {red}{0A}}$ vom Punkt A und addierst dazu die Hälfte des Richtungsvektors $\ \vec{\textcolor {red}A\textcolor {blue}B}$ :

Für den Ortsvektor $\ \vec{\textcolor {red}{0A}}$ gilt:
$\vec{\textcolor {red}{0A}} = \begin{pmatrix} \textcolor {red}1 \\ \textcolor {red}3 \\ \textcolor {red}4\end{pmatrix}$
Jetzt brauchst du noch den Richtungsvektor $\ \vec{AB}$ . Den rechnest du so aus:
$\vec{\textcolor {red}A\textcolor {blue}B} = \begin{pmatrix} (\textcolor {blue}{-3})&-&\textcolor {red}1 \\ \textcolor {blue}5& -& \textcolor {red}3 \\ \textcolor {blue}6&-&\textcolor {red}4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \textcolor {violet}{-4} \\ \textcolor {violet} 2 \\ \textcolor {violet}2\end{pmatrix}$
Nun setzt du die beiden Vektoren in die Formel ein:
$\begin{align*} \vec{0M}&=\begin{pmatrix} \textcolor {red}1 \\ \textcolor {red}3 \\ \textcolor {red}4\end{pmatrix} + \frac {1}{2}\cdot \begin{pmatrix} \textcolor {violet}{-4} \\ \textcolor {violet} 2 \\ \textcolor {violet}2\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \textcolor {red}1 \\ \textcolor {red}3 \\ \textcolor {red}4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac {1}{2}&\cdot&(\textcolor {violet}{-4}) \\\frac {1}{2}&\cdot& \textcolor {violet}2 \\ \frac {1}{2}&\cdot& \textcolor {violet} 2\end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} \textcolor {red}1 \\ \textcolor {red}3 \\ \textcolor {red}4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2\\1\\1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \textcolor {red}{1}&+&(-2) \\ \textcolor {red}3& +&1 \\ \textcolor {red}4&+&1\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}-1\\4\\5 \end{pmatrix} \end{align*}$

Damit hast du den Ortsvektor $\vec{0M}=\begin{pmatrix}-1\\4\\5 \end{pmatrix}$ vom Mittelpunkt der Strecke [AB]. In der Punktschreibweise ist das:

M_AB = (-1, 4, 5)

Tipp: Falls du dir nochmal anschauen willst, wie du mit Vektoren rechnest, schau hier rein.

Herleitung der Linearkombination

Vektoren lassen sich als Kombination von anderen Vektoren darstellen. Du kannst dir das vorstellen, wie verschiedene Wege, die zum selben Punkt führen.

Das Bild zeigt die Herleitung des Mittelpunkts einer Strecke im dreidimensionalen Raum, indem die Vektoren von A nach M und von M nach B jeweils als Hälfte des Verbindungsvektors AB dargestellt werden und so visualisiert wird, dass der Mittelpunkt durch den halben Vektor AB vom Punkt A aus erreicht wird. — Mittelpunkt bestimmen mit Linearkombination

Du willst vom Koordinatenursprung zum Mittelpunkt der Strecke [AB] gelangen. Dazu könntest du entweder direkt den Vektor $\vec{0M}$ lang gehen oder du gehst erst den Vektor $\vec{0A}$ zum Punkt A und von da dann die Hälfte der Strecke [AB] in Richtung B. In beiden Fällen kommst du beim Mittelpunkt an.

Es gilt also:

$\vec{0M} =\ \vec{\textcolor {red}{0A}} + \frac {1}{2}\cdot \vec{\textcolor {red}A\textcolor {blue}B}$

Übrigens: Die Linearkombination geht natürlich auch andersherum: Du gehst erst zum Punkt B und dann die Hälfte der Strecke [BA].
Die Formel sieht dann so aus:

$\vec{0M} = \vec{0B} + \frac {1}{2}\cdot \vec{BA}$

Mittelpunkt einer Strecke berechnen — Übungsaufgaben

Aufgabe 1:
E(3,6,8) und F(5,4,10) sind zwei Punkte im Raum. Berechne den Mittelpunkt der Strecke [EF] mit der Mittelpunktformel.

Lösung:

$M_{AB} = ( \frac{3 + 5}{2}, \frac{6 + 4}{2}, \frac{8 + 10}{2} )= ( \frac{8}{2}, \frac{10}{2}, \frac{18}{2} )= (4,5,9)$

Aufgabe 2:
G(5,7,-2) und H(7,3,10) sind zwei Punkte im Raum. Berechne den Mittelpunkt der Strecke [GH] mithilfe einer Linearkombination.

Lösung:

$\begin{align*} \vec{0M}&=\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ -2\end{pmatrix} + \frac {1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 7&-&5\\ 3&-&7\\ 10&-&(-2)\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}5 \\ 7 \\ -2\end{pmatrix} + \frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\12\end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ -2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\-2\\6 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}6\\5\\4 \end{pmatrix} \end{align*}$

→ $\ M_{GH} = (6,5,4)$

Mittelpunkt einer Strecke berechnen — häufigste Fragen

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Was ist ein Mittelpunkt?

Ein Mittelpunkt ist der Punkt auf einer Strecke, der von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist. Du kannst dir das so vorstellen: Der Mittelpunkt teilt die Strecke genau in zwei gleich lange Hälften. Er liegt also genau „zwischen“ den beiden Punkten, nicht näher an dem einen oder dem anderen.
Wie berechnet man den Mittelpunkt eines Vektors?

Den Mittelpunkt eines Vektors zwischen zwei Punkten berechnest du, indem du die Koordinaten der beiden Punkte jeweils mittelt. Dazu addierst du bei jeder Koordinate die beiden Werte und teilst durch 2. Beispiel: $P\,(2,0,6)$ und $Q\,(6,4,2)\ \rightarrow\ M\!\left(\frac{2+6}{2},\frac{0+4}{2},\frac{6+2}{2}\right)=\left(4,2,4\right)$ .
Wie berechnet man den Verbindungsvektor: B minus A oder A minus B?

Den Verbindungsvektor von A nach B berechnest du als , weil der Vektor in Richtung von A zu B zeigen soll. Du ziehst die Koordinaten komponentenweise ab. Beispiel: $A\,(1,2,0),\ B\,(4,-1,5)\ \rightarrow\ \vec{AB}=\begin{pmatrix}4-1\\-1-2\\5-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-3\\5\end{pmatrix}$ , und $\vec{BA}=\begin{pmatrix}-3\\3\\-5\end{pmatrix}$ .

Flächeninhalt Dreieck Vektoren

Du weißt jetzt, wie man den Mittelpunkt einer Strecke berechnen kann. Mit Vektoren kannst du aber auch zum Beispiel den Flächeninhalt eines Dreiecks bestimmen! Wie das geht, erfährst du hier.