Warum muss man beim Flächeninhalt noch durch 2 teilen?

Du teilst beim Flächeninhalt durch 2, weil der Betrag des Kreuzprodukts die Fläche des Parallelogramms angibt, das von den beiden Vektoren aufgespannt wird. Das Dreieck aus denselben beiden Seiten ist genau die Hälfte dieses Parallelogramms, daher kommt der Faktor .

Wie bestimmt man die beiden Spannvektoren, wenn ein Dreieck durch drei Punkte gegeben ist?

Du bestimmst die Spannvektoren, indem du einen Eckpunkt als Startpunkt wählst und zu den beiden anderen Eckpunkten jeweils einen Vektor bildest (Koordinaten: Ziel minus Start). Beispiel: , , ⇒ und .

Was ist der Flächeninhalt, wenn die beiden Vektoren parallel sind?

Der Flächeninhalt ist 0, wenn die beiden Vektoren parallel sind. Parallele Vektoren spannen keine Fläche auf, weil sie in dieselbe oder entgegengesetzte Richtung zeigen und damit nur eine Linie entsteht. Deshalb hat das Kreuzprodukt den Betrag 0 und die Dreiecksfläche ist ebenfalls 0.

Video

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Flächeninhalt Dreieck Vektoren

Wichtige Inhalte in diesem Video

Flächeninhalt Dreieck Vektoren berechnen

(00:14)

Flächeninhalt Dreieck Vektoren — Beispiel

(00:31)

Die Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Dreiecks erhältst du, indem du die Hälfte des Betrages vom Kreuzprodukt beider Vektoren berechnest. Wie genau das funktioniert, erfährst du hier und im Video !

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Inhaltsübersicht

Flächeninhalt Dreieck Vektoren berechnen

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(00:14)

Wenn zwei Vektoren $\vec{\textcolor{blue}{a}}$ und $\vec{\textcolor{blue}{b}}$ ein Dreieck aufspannen, kannst du den Flächeninhalt des Dreiecks mit einer Formel bestimmen.

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Du berechnest zuerst das Kreuzprodukt beider Vektoren. Den Betrag des Ergebnisses multiplizierst du dann mit ½:

A = $\frac{1}{2}$ • | $\vec{\textcolor{blue}{a}} \times \vec{\textcolor{blue}{b}}$ |

Flächeninhalt Dreieck Vektoren — Beispiel

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(00:31)

Du hast die folgenden zwei Vektoren gegeben:

$\vec{\textcolor{blue}{a}}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 7 \end{array}\right)$ und $\vec{\textcolor{blue}{b}}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ 8 \\ 1 \end{array}\right)$

Nun sollst du den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen, das von ihnen aufgespannt wird. So gehst du dabei vor:

Kreuzprodukt der Vektoren $\vec{\textcolor{blue}{a}}$ und $\vec{\textcolor{blue}{b}}$ berechnen:

$\begin{align*}\vec{\textcolor{blue}{a}} \times \vec{\textcolor{blue}{b}} &= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 7 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} 3 \\ 8 \\ 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 4 \cdot 1 - 7 \cdot 8 \\ 7 \cdot 3 - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 8 - 4 \cdot 3 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 4 - 56 \\ 21 - 2 \\ 16 - 12 \end{array}\right)\\ &= \left( \begin{array}{c} -52 \\ 19 \\ 4 \end{array}\right) \end{align*}$
Fläche des aufgespannten Dreiecks mithilfe des Betrags berechnen:

A = $\frac{1}{2} \cdot \left| \left( \begin{array}{c} -52 \\ 19 \\ 4 \end{array}\right) \right| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-52)^2 + 19^2 + 4^2} = \frac{1}{2} \cdot 55,51 =$ 27,76 FE

Die beiden Vektoren $\vec{\textcolor{blue}{a}}$ und $\vec{\textcolor{blue}{b}}$ spannen also ein Dreieck mit dem Flächeninhalt von 27,76 FE auf. Da du keine konkreten Einheiten gegeben hast, nutzt du Flächeneinheiten FE.

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Flächeninhalt Dreieck Vektoren — häufigste Fragen

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Warum muss man beim Flächeninhalt noch durch 2 teilen?

Du teilst beim Flächeninhalt durch 2, weil der Betrag des Kreuzprodukts die Fläche des Parallelogramms angibt, das von den beiden Vektoren aufgespannt wird. Das Dreieck aus denselben beiden Seiten ist genau die Hälfte dieses Parallelogramms, daher kommt der Faktor $\tfrac{1}{2}$ .
Wie bestimmt man die beiden Spannvektoren, wenn ein Dreieck durch drei Punkte gegeben ist?

Du bestimmst die Spannvektoren, indem du einen Eckpunkt als Startpunkt wählst und zu den beiden anderen Eckpunkten jeweils einen Vektor bildest (Koordinaten: Ziel minus Start). Beispiel: , , ⇒ $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}1\\3\\3\end{pmatrix}$ .
Was ist der Flächeninhalt, wenn die beiden Vektoren parallel sind?

Der Flächeninhalt ist 0, wenn die beiden Vektoren parallel sind. Parallele Vektoren spannen keine Fläche auf, weil sie in dieselbe oder entgegengesetzte Richtung zeigen und damit nur eine Linie entsteht. Deshalb hat das Kreuzprodukt den Betrag 0 und die Dreiecksfläche ist ebenfalls 0.

Kreuzprodukt

Prima, du kannst jetzt den Flächeninhalt eines Dreiecks mit Vektoren berechnen. Willst du mehr über das Kreuzprodukt erfahren? Dann schau direkt im Video dazu vorbei.