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Flächeninhalt Dreieck Vektoren

Wichtige Inhalte in diesem Video

Flächeninhalt Dreieck Vektoren berechnen

Flächeninhalt Dreieck Vektoren — Beispiel

Die Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Dreiecks erhältst du, indem du die Hälfte des Betrages vom Kreuzprodukt beider Vektoren berechnest. Wie genau das funktioniert, erfährst du hier und im Video !

Inhaltsübersicht

Flächeninhalt Dreieck Vektoren berechnen

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Wenn zwei Vektoren $\vec{\textcolor{blue}{a}}$ und $\vec{\textcolor{blue}{b}}$ ein Dreieck aufspannen, kannst du den Flächeninhalt des Dreiecks mit einer Formel bestimmen.

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Du berechnest zuerst das Kreuzprodukt beider Vektoren. Den Betrag des Ergebnisses multiplizierst du dann mit ½:

A = $\frac{1}{2}$ • | $\vec{\textcolor{blue}{a}} \times \vec{\textcolor{blue}{b}}$ |

Flächeninhalt Dreieck Vektoren — Beispiel

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Du hast die folgenden zwei Vektoren gegeben:

$\vec{\textcolor{blue}{a}}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 7 \end{array}\right)$ und $\vec{\textcolor{blue}{b}}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ 8 \\ 1 \end{array}\right)$

Nun sollst du den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen, das von ihnen aufgespannt wird. So gehst du dabei vor:

Kreuzprodukt der Vektoren $\vec{\textcolor{blue}{a}}$ und $\vec{\textcolor{blue}{b}}$ berechnen:

$\begin{align*}\vec{\textcolor{blue}{a}} \times \vec{\textcolor{blue}{b}} &= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 7 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} 3 \\ 8 \\ 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 4 \cdot 1 - 7 \cdot 8 \\ 7 \cdot 3 - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 8 - 4 \cdot 3 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 4 - 56 \\ 21 - 2 \\ 16 - 12 \end{array}\right)\\ &= \left( \begin{array}{c} -52 \\ 19 \\ 4 \end{array}\right) \end{align*}$
Fläche des aufgespannten Dreiecks mithilfe des Betrags berechnen:

A = $\frac{1}{2} \cdot \left| \left( \begin{array}{c} -52 \\ 19 \\ 4 \end{array}\right) \right| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-52)^2 + 19^2 + 4^2} = \frac{1}{2} \cdot 55,51 =$ 27,76 FE

Die beiden Vektoren $\vec{\textcolor{blue}{a}}$ und $\vec{\textcolor{blue}{b}}$ spannen also ein Dreieck mit dem Flächeninhalt von 27,76 FE auf. Da du keine konkreten Einheiten gegeben hast, nutzt du Flächeneinheiten FE.

Flächeninhalt Dreieck Vektoren — häufigste Fragen

Wie berechnet man den Flächeninhalt von Dreiecken mit Vektoren?
Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du, indem du den Betrag des Kreuzproduktes der beiden Vektoren mit ½ multiplizierst.
Welche Fläche spannen zwei Vektoren auf?
Zwei Vektoren spannen eigentlich ein Viereck auf, dessen Flächeninhalt du mit dem Betrag des Kreuzproduktes berechnen kannst. Willst du aber die Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Dreiecks ermitteln, dann multiplizierst du den Betrag des Kreuzproduktes mit ½.

Kreuzprodukt

Prima, du kannst jetzt den Flächeninhalt eines Dreiecks mit Vektoren berechnen. Willst du mehr über das Kreuzprodukt erfahren? Dann schau direkt im Video dazu vorbei.

Zum Video: Kreuzprodukt

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