Was bedeutet es, wenn das Spatprodukt 0 ist?

Ein Spatprodukt von 0 bedeutet, dass die drei Vektoren kein Volumen aufspannen. Dann ist der Spat sozusagen „zusammengedrückt“, weil alle drei Vektoren in derselben Ebene liegen oder einer der Vektoren sich aus den anderen zusammensetzen lässt. Das Ergebnis kann also auch ohne Rechenfehler 0 sein.

Ist ein Quader ein Spat?

Ein Quader ist ein spezieller Spat. Beim Spat sind die Seitenflächen Parallelogramme, und beim Quader sind diese Parallelogramme besondere Parallelogramme, nämlich Rechtecke. Deshalb kannst du jeden Quader als Spat sehen, nur mit lauter rechten Winkeln.

Ist ein Spat ein Prisma?

Ein Spat ist ein spezielles Prisma. Ein Prisma hat zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Grundflächen, und die Seitenflächen verbinden diese beiden Flächen. Beim Spat sind die Grundflächen Parallelogramme und auch die Seitenflächen sind Parallelogramme, deshalb passt die Einordnung als Prisma.

Video

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Spatprodukt

Name: Spatprodukt
Uploaded: 2026-04-08T16:48:28Z
Duration: 4 min
Description: In diesem Artikel erklären wir dir, was das Spatprodukt ist und wie du es berechnest. Du möchtest das Thema in kürzester Zeit verstehen? Dann schau dir unser Video dazu an.

Wichtige Inhalte in diesem Video

Spatprodukt einfach erklärt

(00:12)

Spatprodukt Beispiel

(00:33)

Spatprodukt Determinante

(02:05)

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Inhaltsübersicht

Spatprodukt einfach erklärt

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(00:12)

Mit dem Spatprodukt kannst du das Volumen berechnen, das von drei Vektoren eingespannt wird. Den Körper, den die drei Vektoren einspannen, nennt man Spat.

Spatprodukt

Das Spatprodukt der drei Vektoren $\vec{a}=\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{array}\right)$ , $\vec{b}=\left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{array}\right)$ und $\vec{c}= \left(\begin{array}{c} c_1 \\ c_2\\ c_3 \end{array}\right)$ berechnest du mit

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ oder mit
der Determinante $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ .

Beispiel: Betrachte die Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right)$ , $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -6 \\ 1 \end{array}\right)$ und $\vec{c} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)$ , dann erhältst du

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \left( \left(\begin{array}{c} -4 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 1 \\ -6 \\ 1 \end{array}\right) \right) \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = 51$

oder $\begin{vmatrix} -4 & 1 & -1 \\ 3 & -6 & 0 \\ -2 & 1 & 2 \end{vmatrix}=51$ .

Hinweis: Mit dem Skalarprodukt kannst du die Fläche berechnen, die von zwei Vektoren eingespannt wird.

Spatprodukt berechnen

Das Spatprodukt von drei Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ berechnest du mit der Formel $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ .

Dabei bezeichnest du mit $\vec{a} \times \vec{b}$ das Kreuzprodukt der beiden Vektoren und das Malzeichen stellt das Skalarprodukt zweier Vektoren dar.

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Spatprodukt Beispiel

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(00:33)

Betrachte zum Beispiel die Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ -6 \\ -5 \end{array}\right)$ , $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)$ und $\vec{c} = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right)$ . Zuerst benötigst du das Kreuzprodukt der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$

$\vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ -6 \\ -5 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -12 + 0 \\ 5 - 8 \\ 0 - 6 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -12 \\ -3 \\ -6 \end{array}\right).$

Danach berechnest du dann das Skalarprodukt von diesem Vektor mit dem Vektor $\vec{c}$

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \left(\begin{array}{c} -12 \\ -3 \\ -6 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 5 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right) = -12 \cdot 5 - 3 \cdot 5 - 6 \cdot 0 = -75.$

Der Betrag des Spatprodukts |-75|=75 ist dann das Volumen des Spats.

Was ist ein Spat in Mathe?

Ein Spat ist ein geometrischer Körper , der sechs Parallelogramme als Seitenflächen hat. Diese Parallelogramme sind deckungsgleich (paarweise kongruent). An sich ist ein Spat also nichts anderes als ein Quader, der statt Rechtecken Parallelogramme als Seitenflächen besitzt. Der Spat wird auch Parallelepiped genannt.

Spatprodukt Determinante

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(02:05)

Um das Spatprodukt dreier Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{array}\right)$ , $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right)$ und $\vec{c} = \left(\begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{array}\right)$ zu berechnen, kannst du auch die Determinante einer 3×3 Matrix verwenden. Dabei schreibst du die Vektoren einfach in eine Matrix und berechnest dann die Determinante

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}.$

Beispiel

Für die Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ -6 \end{array}\right)$ , $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right)$ und $\vec{c} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -6 \\ -4 \end{array}\right)$ lässt sich das Spatprodukt dadurch berechnen, in dem du die einzelnen Vektoren in eine Matrix schreibst und dann die Determinante berechnest

$\begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ -3 & 5 & -6 \\ -6 & 2 & -4 \end{vmatrix} = -1 \cdot 5 \cdot 4 + 6 \cdot 6 \cdot 6 - 1 \cdot 3 \cdot 2 + 6 \cdot 5 \cdot 1+ 2 \cdot 6 \cdot 1 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 160.$

Wir haben dabei die Regel von Sarrus verwendet.

Weitere Themen der Vektorrechnung

Neben dem Spatprodukt gibt es noch weitere Themen, die sich mit Vektoren beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:

Spatprodukt Aufgaben

Im folgenden Abschnitt geben wir dir zwei Aufgaben mit Lösungen, um das Berechnen des Spatprodukts zu üben.

Aufgabe 1: Spatprodukt berechnen

Berechne das Spatprodukt der drei Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)$ , $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)$ und $\vec{c} = \left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right)$ .

Lösung Aufgabe 1

Berechne zuerst das Kreuzprodukt der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$

$\vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 0+4 \\ 12+0 \\ 2-3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 12 \\ -1 \end{array}\right).$

Setzt du das in die Formel des Spatprodukts ein, dann erhältst du

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 12 \\ -1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) = - 4 \cdot 3 + 12 \cdot 4 - 1 \cdot 2 = 34.$

Aufgabe 2: Spatprodukt Volumen

Berechne das Volumen V_S des Spats, das durch die drei Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ -3 \end{array}\right)$ , $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right)$ und $\vec{c} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right)$ aufgespannt wird.

Spatprodukt — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was bedeutet es, wenn das Spatprodukt 0 ist?

Ein Spatprodukt von 0 bedeutet, dass die drei Vektoren kein Volumen aufspannen. Dann ist der Spat sozusagen „zusammengedrückt“, weil alle drei Vektoren in derselben Ebene liegen oder einer der Vektoren sich aus den anderen zusammensetzen lässt. Das Ergebnis kann also auch ohne Rechenfehler 0 sein.
Ist ein Quader ein Spat?

Ein Quader ist ein spezieller Spat. Beim Spat sind die Seitenflächen Parallelogramme, und beim Quader sind diese Parallelogramme besondere Parallelogramme, nämlich Rechtecke. Deshalb kannst du jeden Quader als Spat sehen, nur mit lauter rechten Winkeln.
Ist ein Spat ein Prisma?

Ein Spat ist ein spezielles Prisma. Ein Prisma hat zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Grundflächen, und die Seitenflächen verbinden diese beiden Flächen. Beim Spat sind die Grundflächen Parallelogramme und auch die Seitenflächen sind Parallelogramme, deshalb passt die Einordnung als Prisma.

Lösung Aufgabe 2

Das Volumen des Spats berechnest du mit der Formel $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$ , wofür du also das Spatprodukt der drei Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ benötigst. Das heißt, du berechnest zuerst das Kreuzprodukt von $\vec{a}$ und $\vec{b}$

$\vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 4 + 12 \\ 6 + 3 \\ 12 - 8 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 16 \\ 9 \\ 4 \end{array}\right).$

Für das Spatprodukt bekommst du damit

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \left(\begin{array}{c} 16 \\ 9 \\ 4 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right) = 16 \cdot 4 - 9 \cdot 2 - 4 \cdot 3 = 34$ .