pq Formel einfach erklärt

pq Formel einfach erklärt

Mit der pq Formel kannst du quadratische Gleichungen in Normalform lösen. Eine quadratische Gleichung in Normalform kann unterschiedlich aussehen:

Hast du eine Gleichung in einer der vier Formen, kannst du die pq Formel anwenden. Sie lautet: 

Schau dir gleich an einem Beispiel an, wie du beim Lösen der Gleichung genau vorgehst! Eine Schritt-für-Schritt-Anleitung findest du auch in unserem Video !

Gleichung mit pq Formel lösen

Um mit der pq Formel eine Gleichung zu lösen, gehst du so vor: 

1. Bringe die Gleichung durch Umformen in Normalform (falls nötig)
2. Finde p und q heraus.
3. Setze p und q in die pq Formel ein.
4. Berechne die beiden Ergebnisse.
5. Schreibe die Lösungsmenge auf.

Schau dir die Schritte am Beispiel x² + 4x + 3 = 0 an. 

1. Gleichung in Normalform bringen

Bei x² + 4x + 3 = 0 hast du schon eine Normalform. Du kannst Schritt 1 also überspringen. 

Anders sieht es bei diesen Beispielen aus:

• x² + 4x = –3 → hier musst du zuerst die –3 auf die andere Seite bringen. Rechne dazu auf beiden Seiten +3.
  

     

• 2x² + 4x + 3 = 0 → hier steht eine Zahl vor dem x². Um eine Normalform zu bekommen, teilst du auf beiden Seiten durch 2.
  

     

• –x² + 4x + 3 = 0 → hier steht ein Minus vor dem x². Um eine Normalform zu bekommen, rechnest du auf beiden Seiten mal (-1).  Dabei ändern sich einfach alle Vorzeichen — aus jedem Plus wird ein Minus und umgekehrt.
  

     

2. p und q herausfinden

p und q herauszufinden ist einfach: p ist die Zahl vor dem x und q ist die Zahl ohne x. Im Beispiel x² + 4x + 3 = 0 ist also p = 4 und q = 3.

Manchmal fehlt in der Gleichung aber die Zahl vor dem x oder die Zahl ohne x. Dann kannst du einige Merkregeln beachten, um p und q trotzdem zu finden: 

• Kein px in der Gleichung → p = 0
  Beispiel: x² + 3 = 0
• Keine Zahl vor dem x → p = 1
  Beispiel: x² + x + 3 = 0
  
• Minus vor dem x → p = -1
  Beispiel: x²– x + 3 = 0
• Kein q in der Gleichung → q = 0
  Beispiel: x² + 4x = 0
  

Übrigens: Ist p oder q in deiner Gleichung 0, kannst du natürlich die pq Formel anwenden. Es gibt in diesen Fällen aber auch leichtere Lösungsverfahren. Schau dir in unserem Video an, wie du dabei vorgehen kannst.

3. p und q in die pq Formel einsetzen

Setze im Beispiel p = 4 und q = 3 in die pq Formel ein: 

4. Ergebnisse der pq Formel berechnen

Meistens erhältst du mit der pq Formel zwei Ergebnisse. Für die erste Lösung x₁ schreibst du ein Plus vor die Wurzel, für die zweite Lösung x₂ ein Minus:

5. Lösungsmenge aufschreiben

Zum Schluss gibst du noch die Lösungsmenge an. Dafür schreibst du einfach die beiden Lösungen x₁ = -1 und x₂ = -3 in geschweifte Klammern. Die Lösungsmenge bezeichnest du dann mit dem Buchstaben L:

L = {-1, -3}

Wichtig! Nicht immer gibt es bei der pq Formel zwei Lösungen! Manchmal gibt es auch nur eine Lösung oder überhaupt keine. Schau dir diese Fälle an Beispielen an.

Beispiel 1: pq Formel mit einer Lösung

Löse die quadratische Gleichung x² – 4x + 4 = 0 mithilfe der pq Formel.

1. Gleichung in Normalenform bringen
   Die Gleichung ist schon in Normalform.
   
   
2. p und q herausfinden
   p = -4 und q = 4
   
   
3. p und q in die pq Formel einsetzen
   

      

4. Ergebnisse der pq Formel berechnen
   

      

   
   → Du bekommt hier beides Mal das gleiche Ergebnis. Es gibt also nur eine Lösung, nämlich x = 2.
   
   
5. Lösungsmenge aufschreiben
   Die Lösungsmenge ist also L = {2}.

Wie kannst du schon vor dem Rechnen herausfinden, ob es nur eine Lösung gibt? Dafür gibt es einen Trick.

Merke: Wenn bei der pq Formel unter der Wurzel eine 0 herauskommt, gibt es nur eine Lösung. Du kannst also einfach vor dem eigentlichen Rechnen den Teil unter der Wurzel ermitteln. Ergibt das 0, hat die Gleichung nur eine Lösung. Du nennst den Term unter der Wurzel auch Diskriminante .

Beispiel 2: pq Formel ohne Lösung

Löse die Gleichung 2x² – 2x + 4 = 0 nach x auf.

1. Gleichung in Normalenform bringen
   Teile alles durch 2, um die Gleichung auf Normalform zu bringen:

      

2. p und q herausfinden
   p = -1 und q = 2
   
   
3. p und q in die pq Formel einsetzen
   

      

4. Ergebnisse der pq Formel berechnen
   

      

   
   

      

   
   → Unter der Wurzel steht eine Minuszahl. Die Wurzel aus negativen Zahlen kannst du aber gar nicht ziehen! Deshalb hat die Gleichung keine Lösung.
   
   
5. Lösungsmenge aufschreiben
   Die Lösungsmenge ist also L = { }.

Merke: Wenn bei der pq Formel unter der Wurzel eine Minuszahl herauskommt, gibt es keine Lösung. 

pq Formel Herleitung

Woher kommen die pq Formeln eigentlich? Das siehst du an der Herleitung der pq Formel. Schau dir dafür zunächst eine allgemeine Gleichung in Normalform an. Du willst sie nach x auflösen. Bringe dazu als Erstes das q auf die andere Seite:

x² + px + q = 0           | – q

x² + px = – q

Mache nun eine quadratische Ergänzung  auf der linken Seite. Dazu schreibst du zuerst px als um. Wozu das gut ist, siehst du später in der Rechnung. Dann addierst du auf beiden Seiten .

Nun kannst du die linke Seite mit der ersten binomischen Formel vereinfachen:

Im letzten Schritt musst du nur noch die Wurzel ziehen :

Wenn du noch auf die andere Seite bringst, erhältst du als Ergebnis erhältst du die pq Formeln:

pq Formel — häufigste Fragen

• Wie kommt man auf die pq Formel? 
  Um auf die pq Formel zu kommen, schaust du dir eine allgemeine quadratische Gleichung in Normalform an: x² + px + q = 0. Die löst du mit quadratischer Ergänzung. Dein Ergebnis ist die pq Formel. 
  
  
• Wie lautet die allgemeine pq Formel?
  Die pq Formel erhältst du so: Löse eine quadratische Gleichung in Normalform x²+px+q=0 mit quadratischer Ergänzung nach x auf. Das Ergebnis ist die allgemeine pq Formel.
  
  
• Wann pq Formel einsetzen?
  Du kannst die pq Formel immer dann verwenden, wenn vor dem x² keine Zahl (Koeffizient) steht oder eine 1.

Mitternachtsformel

Wenn vor dem x² eine Zahl steht, musst du deine Gleichung nicht unbedingt umformen. Du kannst auch die Mitternachtsformel anwenden. Wie das genau geht, erfährst du hier!