Algebra Schüler
Matrix - Grundlagen
 – Video

Du fragst dich, welche Bedeutung Matrizen eigentlich haben und wie du mit ihnen rechnen kannst? Dann bist du hier genau richtig. Eine schnelle Erklärung dazu findest du in unserem Video

Matrizen einfach erklärt

Was ist überhaupt eine Matrix? Matrizen bestehen aus Zahlen, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. Man spricht dann von einer (m x n) – Matrix bzw. einer Matrix der Dimension (m x n).

    \[A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}\]

Dabei steht bei den Matrixeinträgen a_{ij} der Index i für die Zeile und j für die Spalte der Matrix, in der sich der Eintrag befindet.

Im Prinzip ist eine (m x n) – Matrix eine vereinfachte Darstellung eines Linearen Gleichungssystems (LGS) mit m Gleichungen und n Variablen. Wenn du dann ein LGS als Matrix darstellen möchtest, verwendest du für die Matrixeinträge einfach die Koeffizienten des LGS.

    \begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + x_3 & = & 0 \\ 9x_1 + 3x_2 + x_3 & = & 0 \\ 25x_1 + 5x_2 + x_3 & = & 1 \end{eqnarray*}

Dieses LGS kannst du also mit Matrizen schreiben:

    \[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \\ 25 & 5 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Dabei hat die Matrixschreibweise exakt dieselbe Bedeutung wie das LGS.

Matrix Mathe

Besondere Matrizen sind zum Beispiel:

  • Quadratische Matrix: m = n
  • Diagonalmatrix: Enthält nur Nulleinträge – außer auf der Hauptdiagonalen.
    Eine Diagonalmatrix ist eine quadratische Matrix, die auf der Hauptdiagonalen beliebige reelle Zahlen und ansonsten nur Nulleinträge enthält.

        \[A = \begin{pmatrix} \textcolor{blue}{1} & 0 \\ 0 & \textcolor{blue}{3} \\ \end{pmatrix} \; \; \[B = \begin{pmatrix} \textcolor{blue}{\pi} & 0 & 0 \\ 0 & \textcolor{blue}{0} & 0  \\ 0 & 0 & \textcolor{blue}{7} \\ \end{pmatrix} \]

  • Nullmatrix: Jeder Eintrag einer Nullmatrix ist Null.
    Die Nullmatrix 0_n hat die Dimension (n x n) und ist das neutrale Element der Matrizenaddition.

    \[ 0_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \; \; 0_n = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \]

 

  • Einheitsmatrix: Die Einträge der Hauptdiagonalen sind gleich 1, alle anderen Einträge sind gleich 0.
    Die Einheitsmatrix E_n ist eine Diagonalmatrix der Dimension n \times n und sie ist das neutrale Element der Matrizenmultiplikation.

    \[E_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &\dots \\ 0 & 1 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & 1 & \dots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}\]

  • Transponierte Matrix : Die Transponierte A^T der Matrix A erhältst du durch Vertauschen von Zeilen und Spalten. Das heißt, die erste Spalte von A^T ist die erste Zeile von A, die zweite Spalte von A^T ist die zweite Zeile von A und so weiter.
    Viele Eigenschaften wie die Spur , die Determinante , die Eigenwerte und der Rang einer Matrix bleiben unter der Transponierung unverändert (invariant).

    \[A = \begin{pmatrix} \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{3} \\ \textcolor{blue}{4} & \textcolor{blue}{5}& \textcolor{blue}{6} \\ \end{pmatrix} \Rightarrow \[A^T = \begin{pmatrix} \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{4} \\ \textcolor{red}{2} & \textcolor{blue}{5} \\ \textcolor{red}{3} & \textcolor{blue}{6} \\ \end{pmatrix}\]

  • Symmetrische Matrix: Wenn A = A^T gilt, so ist A (und damit auch A^T) symmetrisch.

    \[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 7 & 4  \\ 3 & 4 & 5 \\ \end{pmatrix} = A^T\]

Matrizenrechnung 

Doch natürlich willst du auch  Matrizen berechnen können.

Matrizen addieren und subtrahieren

Zwei Matrizen A und B kannst du nur dann addieren oder subtrahieren, wenn beide Matrizen gleich groß sind. Als Ergebnis erhältst du erneut eine Matrix C derselben Größe. Ihre Einträge c_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij} entstehen aus den Summen bzw. Differenzen der beiden entsprechenden Einträge aus A und B.

    \[\textcolor{red}{A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix}} \; \; \textcolor{blue}{B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 7 & 8 & 9  \\ \end{pmatrix}} \]

Dann gilt:

    \[\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} = \begin{pmatrix} \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{3} & \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{2} & \textcolor{red}{3} + \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{7} & \textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{8} & \textcolor{red}{6} + \textcolor{blue}{9} \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 4 \\ 11 & 13 & 15 \\ \end{pmatrix}} \]

und

    \[\textcolor{red}{A} - \textcolor{blue}{B} = \begin{pmatrix} \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{3} & \textcolor{red}{2} - \textcolor{blue}{2} & \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{4} - \textcolor{blue}{7} & \textcolor{red}{5} - \textcolor{blue}{8} & \textcolor{red}{6} - \textcolor{blue}{9} \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ -3 & -3 & -3 \\ \end{pmatrix}} \]

Die beiden Matrizen A und C kannst du nicht addieren – wegen der unterschiedlichen Größen ist das nicht möglich.

    \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix} \; \; C = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}} \]

Die Matrizenaddition ist außerdem kommutativ und assoziativ.

Matrix mal Zahl

Du kannst eine Matrix A mit jeder beliebigen Zahl r (auch Skalar genannt) multiplizieren, indem du jeden Eintrag von A einzeln mit r multiplizierst.

    \[\textcolor{blue}{r} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 11 & 13 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} \textcolor{blue}{r} & \textcolor{blue}{r} \cdot 5  \\ \textcolor{blue}{r} \cdot 11 & \textcolor{blue}{r} \cdot 13 \\ \textcolor{blue}{r} \cdot 5 & \textcolor{blue}{r} \cdot 2 \end{pmatrix}} \]

Matrix mal Vektor

Damit du eine Matrix-Vektor-Multiplikation zwischen der Matrix A und dem Vektor v durchführen kannst, muss die Spaltenanzahl von A mit der Länge von v übereinstimmen. Du kannst eine (m x n)-Matrix also mit jedem n-dimensionalen Vektor multiplizieren. Als Ergebnis erhältst du dann einen m-dimensionalen Vektor.

    \[\textcolor{red}{A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 4 & 7 & 3 \\ \end{pmatrix}} \; \; \textcolor{blue}{v = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}} \]

    \[ \textcolor{red}{A} \cdot \textcolor{blue}{v} = \textcolor{red}{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 4 & 7 & 3 \\ \end{pmatrix}} \cdot \textcolor{blue}{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{1} +  \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{0} \cdot \textcolor{blue}{2}\\ \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{1} + \textcolor{red}{7} \cdot \textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{blue}{2} \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{3} \\ \textcolor{orange}{24} \end{pmatrix}} \]

Erläuterung der Rechung:

Da A so viele Spalten hat wie v Einträge, ist die Multiplikation hier möglich. Und weil A zwei Zeilen hat, erhältst du als Ergebnis einen zweidimensionalen Vektor. Um den ersten Eintrag des Ergebnisvektors zu erhalten, betrachtest du die erste Zeile von A und multipliziert den ersten Eintrag dieser Zeile mit dem ersten Eintrag von v, den zweiten Eintrag der ersten Zeile von A mit dem zweiten Eintrag von v und dasselbe mit dem dritten Eintrag der ersten Zeile von A und dem dritten Eintrag von v. Die Summe dieser drei Produkte ergibt den ersten Eintrag des Ergebnisvektors. Den zweiten Eintrag des Ergebnisvektors erhält man, wenn man für die zweite Zeile von A analog vorgeht.

Weitere Beispiele:

    \begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 1 & 3 & 2 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 7 \\ 12 \\ 10 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 8 & 7 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 20 \end{pmatrix} = 20 \end{eqnarray*}

Matrix mal Matrix

Zwei Matrizen kannst du genau dann miteinander multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt. Immer dann also, wenn A \in \textcolor{orange}{m} \times \textcolor{olive}{n} und B \in \textcolor{olive}{n} \times \textcolor{magenta}{k}. Du erhältst dann als Ergebnis eine Matrix der Dimension (m x k).

    \[\textcolor{red}{A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 4 & 7 & 3 \\ \end{pmatrix}} \; \; \textcolor{blue}{B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}} \]

A hat genauso viele Spalten wie B Zeilen, also ist die Matrizenmultiplikation A \cdot B durchführbar. Weil A zwei Zeilen und B zwei Spalten hat, erhältst du eine (2 x 2)-Matrix als Ergebnis.

Für den ersten Eintrag der ersten Spalte der Ergebnismatrix betrachtest du die erste Zeile von A und die erste Spalte von B. Dann gehst du vor wie bei der Matrix-Vektor-Multiplikation – du rechnest also „Zeile mal Spalte“.

    \[\textcolor{red}{A} \cdot \textcolor{blue}{B} = \textcolor{red}{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 4 & 7 & 3 \\ \end{pmatrix}} \cdot \textcolor{blue}{ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{1} +  \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{0} \cdot \textcolor{blue}{2} & *\\ * & * \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 3 & *\\ * & * \end{pmatrix}} \]

Den ersten Eintrag der zweiten Spalte erhältst du, wenn du die erste Zeile von A und die zweite Spalte von B betrachtest und die gleichen Rechenschritte durchführst.

    \[\textcolor{red}{A} \cdot \textcolor{blue}{B} = \textcolor{red}{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 4 & 7 & 3 \\ \end{pmatrix}} \cdot \textcolor{blue}{ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 3 & \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{3} +  \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{4} + \textcolor{red}{0} \cdot \textcolor{blue}{0}\\ * & * \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 3 & 7\\ * & * \end{pmatrix}} \]

Um den zweiten Eintrag der ersten Spalte der Ergebnismatrix zu berechnen, multipliziere die zweite Zeile von A mit der ersten Spalte von B.

    \[\textcolor{red}{A} \cdot \textcolor{blue}{B} = \textcolor{red}{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 4 & 7 & 3 \\ \end{pmatrix}} \cdot \textcolor{blue}{ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 3 & 7\\ \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{1} + \textcolor{red}{7} \cdot \textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{blue}{2} & * \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 3 & 7\\ 24 & * \end{pmatrix}} \]

Und für den zweiten Eintrag der zweiten Zeile der Ergebnismatrix multipliziere die zweite Spalte von A mit der zweiten Spalte von B.

    \[\textcolor{red}{A} \cdot \textcolor{blue}{B} = \textcolor{red}{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 4 & 7 & 3 \\ \end{pmatrix}} \cdot \textcolor{blue}{ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 3 & 7\\ 24 & \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{3} +  \textcolor{red}{7} \cdot \textcolor{blue}{4} + \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{blue}{0} \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 3 & 7\\ 24 & 40 \end{pmatrix}} \]

Das ist das Ergebnis der Matrizenmultiplikation A \cdot B.

Du solltest dabei aber immer bedenken, dass die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist.

Beispielrechnungen:

    \begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0  \\ 3 & 2 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 2 \\ \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 4 & 1\\ 12 & 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 & 1  \\ 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 27 \\ 24 \\ 18 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 & 1  \\ 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1  \\ 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} & = &  \lightning \end{eqnarray*}

Die Division, wie wir sie aus den reellen Zahlen kennen, ist mit Matrizen übrigens nicht möglich. Statt durch eine Matrix A zu dividieren, musst du mit ihrer Inversen Matrix A^{-1} multiplizieren (falls es diese gibt).

Determinante

Jetzt kennst du dich mit der Bedeutung und der Berechnung von Matrizen aus. Für deine nächste Prüfung könnte es aber auch sehr hilfreich sein, dir unseren Artikel über Determinanten von Matrizen anzusehen.

Zum Video: Determinante berechnen
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