Algebra Schüler
Lösungsformeln für quadratische Gleichungen
 – Video

Du willst wissen, was es mit der abc Formel auf sich hat? Dann bist du bei unserem Video und Beitrag genau richtig!

abc Formel einfach erklärt

Die abc-Formel verwendest du, um Nullstellen von quadratischen Funktionen der Form f(x) = ax2 + bx + c (z.B. f(x) = 2x² + x – 1) zu bestimmen. Um das zu tun, setzt du deine quadratische Funktion gleich 0:

ax2 + bx + c = 0

abc Formel

Zum Berechnen der beiden Nullstellen x1 und x2 einer quadratischen Gleichung verwendest du die abc-Formel:

    \[ x_{1,2} = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

Den Teil unter der Klammer b– 4ac bezeichnest du als Diskriminante D. Mit ihr kannst du herausfinden, ob eine quadratische Gleichung eine, zwei oder keine Lösung hat:

  • D > 0:      Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen

  • D = 0:      Die quadratische Gleichung hat eine Lösung

  • D < 0:      Die quadratische Gleichung hat keine Lösung

abc Formel Aufgaben

Möchtest du die Nullstellen einer quadratischen Funktion mithilfe der abc Formel ausrechnen, kannst du unsere Schritt-für-Schritt-Anleitung befolgen. 

Beispiel 1: 2x2 – 16 = 4x 

  • Schritt 1: Gleichung gleich 0 setzen. Um die abc-Formel anzuwenden, muss auf einer Seite der Gleichung die Null stehen. Ggf. musst du die Gleichung umstellen.

2x2 – 16 = 4x          | – 4x

2x2 – 16 – 4x = 0

2x2 – 4x – 16 = 0

  • Schritt 2: Koeffizienten a, b und c ablesen

ax2 + bx + c = 0

2x2 – 4x – 16 = 0

a = 2,          b = -4,          c = -16

  • Schritt 3:  a, b und c in die Formel einsetzen

x_{1,2} = \cfrac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b}^2-4\textcolor{red}{a}\textcolor{olive}{c}}}{2\textcolor{red}{a}}

x_{1,2} = \cfrac{-(\textcolor{blue}{-4}) \pm \sqrt{(\textcolor{blue}{-4})^2-4\cdot \textcolor{red}{2}\cdot (\textcolor{olive}{-16}})}{2 \cdot \textcolor{red}{2}}

  • Schritt 4: Ergebnisse ausrechnen

x_{1,2} = \cfrac{4 \pm \sqrt{16-8 \cdot (-16)}}{4} = \cfrac{4 \pm \sqrt{16+128}}{4} = \cfrac{4 \pm \sqrt{144}}{4} =\cfrac{4 \pm 12}{4}

\Longrightarrow \quad  \quad  x_1 =\frac{4+12}{4}= 4     und     x_2 = \frac{4-12}{4}= -2

  • Schritt 5: Nullstellen aufschreiben

x1 = 4

x2 = -2

Beispiel 2: f(x) = x2 + 4x + 4 

  • Schritt 1: Gleichung gleich 0 setzen

x2 + 4x + 4 = 0

  • Schritt 2: a, b und c ablesen

a = 1,          b = 4,          c = 4

  • Schritt 3:  a, b und c in die Formel einsetzen

x_{1,2} = \cfrac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b}^2-4\textcolor{red}{a}\textcolor{olive}{c}}}{2\textcolor{red}{a}}

x_{1,2} = \cfrac{-\textcolor{blue}{4} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{4}^2-4\cdot\textcolor{red}{1}\cdot\textcolor{olive}{4}}}{2\cdot\textcolor{red}{1}}

  • Schritt 4: Ergebnisse ausrechnen

x_{1,2} = \cfrac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{2} = \cfrac{-4 \pm 0}{2}%hier fehlt die 2 im Nenner <span style="color: #ff00ff;">done</span>

\Longrightarrow \quad  \quad  x_1 =\frac{-4+0}{2}= -2     und     x_2 = \frac{-4-0}{2}= -2%hier fehlt das Minus vor der 4 <span style="color: #ff00ff;">done</span>

  • Schritt 5: Nullstellen aufschreiben

x1 = -2

x2 = -2

Deine Funktion hat bei x= -2 eine doppelte Nullstelle.

abc Formel Herleitung

Abschließend zeigen wir dir, wie du die abc Formel herleiten kannst. Das ist gar nicht so schwer, da hier die allgemeine Form lediglich nach x aufgelöst wird. Für die Herleitung benötigst du die quadratische Ergänzung und die erste binomische Formel .

    \begin{align*} ax^2+bx+c&=0  \qquad | -c\\ ax^2+bx&=-c       \qquad| \div a \\          x^2+\cfrac{b}{a}x &= -\cfrac{c}{a}\qquad        | \text{ quadratische Ergänzung}\\ x^2+\cfrac{b}{a}x +\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2&= -\cfrac{c}{a} + \left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\\ x^2+\cfrac{b}{a}x +\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2&= -\cfrac{c}{a} + \cfrac{b^2}{4a^2}\\ x^2+\cfrac{b}{a}x +\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2&=   \cfrac{b^2-4ac}{4a^2}\qquad       | \text{ erste binomische Formel}\\ \left(x+\cfrac{b}{2a}\right)^2&=   \cfrac{b^2-4ac}{4a^2} \qquad            |\sqrt\\ x+\cfrac{b}{2a} &=\pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}} \qquad | -\cfrac{b}{2a}\\ x & = -\cfrac{b}{2a}\pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}\\ x & = -\cfrac{b}{2a}\pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \Rightarrow x_{1,2} &= \cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \end{align*}

pq-Formel

Neben der abc-Formel kannst du zum Lösen von quadratischen Gleichungen auch die pq-Formel verwenden. Welche Formel das ist und wie du sie anwendest, zeigen wir dir in unserem Video!

pq Formel, quadratische Gleichungen lösen, Nullstellen berechnen
Zum Video: pq Formel

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.