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Geometrische Verteilung

Du möchtest wissen, welchen Zufallsexperimenten eine geometrische Verteilung zugrunde liegt und was diese aussagt? Dann bist du hier richtig!

Geometrische Verteilung oder „Verteilung des Wartens auf den ersten Erfolg“

Die geometrische Verteilung wird oft als „Verteilung des Wartens auf den ersten Erfolg“ bezeichnet. In diesem Ausdruck spiegelt sich auch schon ihre Grundidee wieder. Es liegt ein Bernoulli-Experiment mit der Wahrscheinlichkeit p vor und man fragt sich, wie oft man dieses Experiment ausführen muss, bis der erste Erfolg eintritt.

Geometrische Verteilung
Geometrische Verteilung

Ein klassisches Beispiel hierfür ist „Mensch ärgere dich nicht“. Um mit seiner Figur auf das Spielfeld gehen zu dürfen, muss man eine sechs Würfeln. Nun kann man sich fragen, wie oft man würfeln muss, um eine sechs zu erhalten. Jeder Versuch eine sechs zu würfeln ist dabei ein Bernoulli-Experiment mit der Wahrscheinlichkeit p=\frac{1}{6} .
Mathematisch drückt man die geometrische Verteilung wie folgt aus:

X~G(p)

Beziehungsweise in unserem Beispiel:

X~G(\frac{1}{6})

Dichte- und Verteilungsfunktion

Die Dichtefunktion der geometrischen Verteilung lautet wie folgt:

f(x)={(1-p)}^{x-1}\ \ast\ p

Warum die Dichtefunktion so aussieht, kann man sich ganz einfach selbst herleiten. Wenn man beispielsweise die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen will, dass man mit dem zweiten Versuch eine 6 würfelt, also f(2), muss man die Wahrscheinlichkeit, dass man im ersten Versuch keine 6 gewürfelt hat, also (1-p), mit der Wahrscheinlichkeit dass man eine 6 würfelt, also p, multiplizieren. Die Wahrscheinlichkeit im zweiten Versuch eine 6 zu würfeln beträgt also circa 13,89%.

f(x)=(1-p)\ast\ p=\ \frac{5}{6}\ \ast\ \frac{1}{6}\ =\ 0,1389

Die Verteilungsfunktion der geometrischen Verteilung lässt sich am einfachsten über die Gegenwahrscheinlichkeit bestimmen. Wir suchen ja die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als x Versuche benötigt werden, um eine 6 zu würfeln. Dazu müsste man jede einzelne Wahrscheinlichkeit aufsummieren. Das kann man sich aber sparen, indem man ganz einfach die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis, also P(X>x) bestimmt. Denn es gilt ja die Regel, dass die Wahrscheinlichkeit 1 minus die Gegenwahrscheinlichkeit ist.

F(x)=P(X\le\ x)=1-P(X>x)=1{-(1-p)}^x

Erwartungswert und Varianz

Der Erwartungswert der geometrischen Verteilung lässt sich ebenfalls sehr einfach bestimmen:

E(X)=\frac{1}{p}

Bei einer Wahrscheinlichkeit von p=\frac{1}{6} , braucht man also im Durchschnitt 6 Versuche um eine 6 zu würfeln.
Die Formel für die Bestimmung der Varianz sieht wie folgt aus:

V(X)=\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p}

Super! Das wars auch schon zur geometrischen Verteilung! Hier sind noch einmal alle wichtigen Formeln zusammengefasst:

Geometrische Verteilung Formeln
Wichtige Formeln

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