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Hypergeometrische Verteilung

Du möchtest wissen, was man unter der Hypergeometrischen Verteilung versteht und wie man sie berechnet? Dann bleib dran!

Hypergeometrische Verteilung: Verteilung für Experimente ohne Zurücklegen

Die Hypergeometrische Verteilung ist von der Idee sehr nahe mit der Binomialverteilung verwandt. Auch sie verwendet man für Zufallsexperimente mit nur zwei möglichen Ergebnissen, Erfolg oder Nicht-Erfolg. Während die Binomialverteilung aber Experimente mit Zurücklegen beschreibt, wird die hypergeometrische Verteilung für Experimente ohne Zurücklegen verwendet.

Hypergeometrische Verteilung
Hypergeometrische Verteilung

Ein ausführliches Beispiel zu solchen Ziehungen ohne Zurücklegen findest du in unserem passenden Video dazu in der Playlist „Wahrscheinlichkeitsrechnung-Kombinatorik“. Mathematisch ausgedrückt sieht die hypergeometrische Verteilung so aus:

X ~ HG(N,M,n)

N ist dabei die Anzahl der Elemente insgesamt. M gibt die Anzahl derjenigen Elemente an, die als „Erfolg“ gesehen werden. Klein n steht für die Anzahl an Elementen, die für das Zufallsexperiment gezogen werden.

Dichte- und Verteilungsfunktion

Die Dichtefunktion der Hypergeometrischen Verteilung lautet wie folgt:

f(x)=\frac{\binom{M}{x}\binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}}

Um die Dichte zu berechnen, benötigst du wieder die Formel zur Berechnung von Binomialkoeffizienten, die du schon aus unserem Video zur Binomialverteilung kennst. Zur Wiederholung hier noch einmal die Formel:

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\ast(n-k)!}

Wie auch bei der Binomialverteilung, hat die Verteilungsfunktion der Hypergeometrischen Verteilung keine einfache Formel. Man muss also auch hier alle möglichen Wahrscheinlichkeiten der Ausprägungen aufsummieren

F(x)=P(X≤x)=\sum_{k=1}^{x}{f(k)}

Erwartungswert und Varianz

Der Erwartungswert der Hypergeometrischen Verteilung lässt sich relativ leicht berechnen. Man erhält ihn wie auch bei der Binomialverteilung, indem man den anfänglichen Anteil an Treffern, also M geteilt durch N, mit der Anzahl an Ziehungen multipliziert:

E(X)= n * \frac{M}{N}

Die Formel für die Varianz ist etwas komplizierter, aber auch nicht sonderlich schwierig zu berechnen.

V(X)= n*\frac{M}{N}\ (1-\frac{M}{N})\ \frac{N-n}{N-1}

Das war auch schon alles, was du zur Hypergeometrischen Verteilung wissen musst! Wenn du noch ein praktisches Beispiel zu Ziehungen ohne Zurücklegen sehen möchtest, schau dir unser passendes Video dazu an.
Zum Schluss hier noch einmal alle wichtigen Formeln zusammengefasst:

Hypergeometrische Verteilung Formeln
Wichtige Formeln

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