Wahrscheinlichkeitsrechnung

Hypergeometrische Verteilung

Inhaltsübersicht

Dieser Artikel erklärt die hypergeometrische Verteilung einfach und verständlich. Außerdem findest du hier eine Übersicht über alle relevanten Formeln vom Erwartungswert bis hin zur Dichte. Das anschauliche Beispiel hilft dir dabei das Thema zu verstehen. Außerdem wird der Unterschied zur Binomialverteilung deutlich.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit verstehst alles in weniger als 3 Minuten? Nach unserem Video zur hypergeometrischen Verteilung kannst du diese Frage hundertprozentig mit „zu 100%“ beantworten!

Hypergeometrische Verteilung einfach erklärt

Die hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Von der Idee her ist sie sehr nahe mit der Binomialverteilung verwandt. Auch sie verwendet man für Zufallsexperimente mit nur zwei möglichen Ergebnissen, Erfolg oder Nicht-Erfolg. Während die Binomialverteilung Experimente mit Zurücklegen beschreibt, wird die hypergeometrische Verteilung für Experimente ohne Zurücklegen verwendet.

Hypergeometrische Verteilung
Hypergeometrische Verteilung

Hypergeometrische Verteilung Formel

Mathematisch ausgedrückt sieht die hypergeometrische Verteilung so aus:

X ~ HG(N,M,n)

N ist dabei die Anzahl der Elemente insgesamt. M gibt die Anzahl derjenigen Elemente an, die als „Erfolg“ gesehen werden. Klein n steht für die Anzahl an Elementen, die für das Zufallsexperiment gezogen werden. Die wichtigsten wichtigen Formeln in Verbindung mit der hypergeometrischen Verteilung haben wir hier für dich zusammengefasst:

Hypergeometrische Verteilung Formeln
Hypergeometrische Verteilung Formel

Hypergeometrischen Verteilung Dichte

Die Formel zur Berechnung der Dichte der hypergeometrischen Verteilung lautet wie folgt:

f(x)=\frac{\binom{M}{x}\binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}}

Um die Dichte zu berechnen, benötigst du wieder die Formel zur Berechnung des Binomialkoeffizienten, die du schon aus unserem Video zur Binomialverteilung kennst. Zur Wiederholung hier noch einmal die Formel:

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\ast(n-k)!}

Wie auch bei der Binomialverteilung, hat die Verteilungsfunktion der hypergeometrischen Verteilung keine einfache Formel. Man muss also auch hier alle möglichen Wahrscheinlichkeiten der Ausprägungen aufsummieren

F(x)=P(X≤x)=\sum_{k=1}^{x}{f(k)}

Erwartungswert Hypergeometrische Verteilung

Der Erwartungswert der lässt sich relativ leicht berechnen. Man erhält ihn wie auch bei der Binomialverteilung, indem man den anfänglichen Anteil an Treffern, also M geteilt durch N, mit der Anzahl an Ziehungen multipliziert:

E(X)= n * \frac{M}{N}

Die Formel für die Varianz ist etwas komplizierter, aber auch nicht sonderlich schwierig zu berechnen.

V(X)= n*\frac{M}{N}\ (1-\frac{M}{N})\ \frac{N-n}{N-1}

Hypergepmetrische Verteilung Beispiel

Im Normalfall werden Zufallsexperimente betrachtet, bei denen es nur zwei Arten von Kugeln beziehungsweise Möglichkeiten gibt. Ein ausführliches Beispiel zu solchen Ziehungen ohne Zurücklegen findest du in unserem passenden Video zu Urnenmodellen. Hier spielt die Binomialverteilung eine zentrale Rolle. Mit der hypergeometrischen Verteilung können wir aber auch die Wahrscheinlichkeit für mehrere unterschiedliche Elemente berechen. Somit kann mit dieser diskreten Verteilung auch die Frage geklärt werden, wie wahrscheinlich es ist einen Sechser im Lotto zu bekommen. N ist in diesem Fall 49, da sich 49 Kugeln in der Trommel befinden. M steht für die Anzahl an „Richtigen“, also Zahlen welche einem den Traum zum Millionär erfüllen. In unserem Lotto Beispiel ist M also gleich 6. Klein n sagt uns, wie viele Kugeln wir ziehen und x gibt an wie viele der gezogenen Zahlen „richtig“ sein müssen. Beide Parameter sind wieder 6 in diesem Beispiel. Würden wir die Wahrscheinlichkeit für 3 „Richtige“ berechnen,  so wäre x=3.
Setzt man die Werte nun in die Formel ein so erhält man:

f(x)=\frac{\binom{6}{6}\binom{49-6}{6-6}}{\binom{49}{6}}

Die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser im Lotto beträgt also in etwa 0,00000715%.


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