Statistik Wahrscheinlichkeit

Diskret
Diskrete Zufallsvariablen

Du suchst nach einer einfachen Erklärung wie man den Erwartungswert und die Varianz von diskreten Zufallsvariablen berechnet? Dann bist du hier genau richtig!

Bestimmen des Erwartungswertes und der Varianz

Bevor wir tiefer in das Thema einsteigen, klären wir erst einmal, was Zufallsvariablen eigentlich genau sind. Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments reelle Zahlen zuordnet. Sie beschreiben sozusagen das Ergebnis eines Zufallsexperiments, das noch nicht durchgeführt wurde. Stell dir zum Beispiel vor, du wirfst einen Würfel. Die zugehörige Zufallsvariable nennen wir X und sie steht hier für die möglichen Augensummen.

diskrete Zufallsvariablen Würfel
Zufallsvariable X = Augensumme

Man unterscheidet zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen. Wir beginnen in diesem Video mit den wichtigsten Eigenschaften von diskreten Zufallsvariablen. Eine Zufallsvariable wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt. „Abzählbar unendlich“ heißt ganz einfach, dass die Menge der Ausprägungen durchnummeriert werden kann. Ein Beispiel für eine diskrete Zufallsvariable, die abzählbar unendlich ist, wäre zum Beispiel wie viele Liter Bier im Jahr getrunken werden. Theoretisch sind beliebig hohe Werte möglich, aber die Anzahl an Litern bleibt immer abzählbar.

Rechnung

So, nachdem wir die grundlegenden Begriffe geklärt haben schauen wir uns jetzt an, wie man den Erwartungswert und die Varianz von diskreten Zufallsvariablen berechnen kann. Obwohl man nicht weiß, welches Ergebnis bei dem Zufallsexperiment erzielt wird, kann man berechnen welches Ergebnis man im Mittel erwarten kann. Dieses Ergebnis nennt man den Erwartungswert, der oft auch mit dem griechischen Buchstaben µ abgekürzt wird. Die Formel dazu sieht so aus:

E(X)= \sum_{i}{x_i\astf(x_i)}

Der Erwartungswert für das Ergebnis beim Werfen eines Würfels wäre also 3,5.

E(X)=\ 1\times\frac{1}{6}+2\times\frac{1}{6}+3\times\frac{1}{6}+4\times\frac{1}{6}+5\times\frac{1}{6}+6\times\frac{1}{6}=3,5

Mit Hilfe des Erwartungswertes kannst du nun auch die Varianz deiner Zufallsvariable berechnen. Die Varianz gibt nämlich die erwartete quadratische Abweichung vom Mittelwert an und wird mit dem griechischen Buchstaben \sigma^2 abgekürzt. Die Formel für die Varianz lautet:

Varianz Standardabweichung diskrete Zufallsvariablen
Berechnung Varianz

Da das Ergebnis der Varianz aber relativ schwer zu interpretieren ist, wird häufig die Standardabweichung berechnet. Diese erhältst du ganz einfach, indem du die Wurzel aus der Varianz ziehst. Sie wird meist mit dem Buchstaben \sigma abgekürzt.

\sigma=\sqrt{Var\left(X\right)}

Zusammenfassend hier nochmal die wichtigsten Formeln im Zusammenhang mit diskreten Zufallsvariablen:

Erwartungswert: E(X)= \sum_{i}{x_i\timesf(x_i)}

Varianz: Var(X) = E[(X-µ)2] = i(xi -µ)2×f(xi)

Standardabweichung: \sigma=\sqrt{Var(X)}

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