Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zufallsvariable

Inhaltsübersicht

 

Was ist eine Zufallsvariable? Dieser Artikel befasst sich mit Zufallsvariablen und behandelt Zufallsgrößen im diskreten und stetigen Fall. Außerdem erklären wir, wie man die Wahrscheinlichkeit oder den Erwartungswert einer Zufallsvariable berechnen kann.

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Zufallsvariable Definition

Eine Zufallsvariable, auch Zufallsgröße genannt, ist nicht einfach wie der Name vermuten lässt eine einfache Variable. Es ist eine Zuordnungsvorschrift der Stochastik, welche jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Größe zuordnet.

Was ist eine Zufallsvariable?

Eine Zufallsvariable ist also eine Art Funktion, die jedem Ergebnis ω deines Zufallsexperiments genau eine Zahl x zuordnet. Man sagt Variable, weil deine Zahl, die du am Ende erhältst, eben variabel ist.

Diese Zuordnungsvorschrift, ordnet also den Ergebnissen eines Zufallsexperiments reelle Zahlen zu. Sie beschreibt sozusagen das Ergebnis eines Zufallsexperiments, das noch nicht durchgeführt wurde.

Zufallsvariable X

Stell dir zum Beispiel vor, du wirfst einen Würfel. Die zugehörige Zufallsvariable nennen wir X und sie steht hier für die möglichen Augensummen.

 

diskrete Zufallsvariablen Würfel
Zufallsvariable X

Es ist wichtig zwischen X und x zu unterscheiden. X bezeichnet also die tatsächliche Zufallsvariable, welche keinen festen Wert hat. Sie bildet das derzeit unbekannte Ergebnis eines Zufallsexperiments ab. Klein x dagegen ist das Ergebnis nach dem Experiment und steht ist somit eine konkrete Zahl.

Man muss dabei beachten, dass die Werte der Zufallsvariablen immer Zahlen sind. Handelt es sich um andere Unterscheidungskriterien wie Kopf oder Zahl bei einem Münzwurf, müssen die Werte kodiert werden. Konkret heißt das, dass den Ereignissen Zahlenwerte zugeordnet werden, wie zum Beispiel  Kopf=1 und Zahl=0. Die Erklärung hierfür ist ganz einfach. Damit man eine Zufallsvariable berechnen kann, benötigt man Zahlenwerte. Möchte man beispielsweise den Mittelwert beim Münzwurf bestimmen, fällt sofort auf, dass es wenig sinnvoll ist diesen für Kopf und Zahl zu bilden. Der Mittelwert von 1 und 0 hingegen ist 0,5.

Generell unterscheidet man zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen, weshalb wir auf die beiden Fälle nun getrennt eingehen.

Diskrete Zufallsvariable

Eine Zufallsvariable wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt. „Abzählbar unendlich“ heißt ganz einfach, dass die Menge der Ausprägungen durchnummeriert werden kann. Ein Beispiel für eine diskrete Zufallsvariable, die abzählbar unendlich ist, wäre zum Beispiel wie viele Liter Bier im Jahr getrunken werden. Hier ist zu beachten, dass man nur von ganzen Litern ausgeht, damit die Werte diskret sind. Theoretisch sind beliebig hohe Werte möglich, aber die Anzahl an Litern bleibt immer abzählbar.

Erwartungswert Zufallsvariable: diskret

Obwohl man nicht weiß, welches Ergebnis bei dem Zufallsexperiment erzielt wird, kann man berechnen welches Ergebnis man im Mittel erwarten kann. Dieses Ergebnis nennt man den Erwartungswert, der oft auch mit dem griechischen Buchstaben µ abgekürzt wird. Die Formel dazu sieht so aus:

E(X)= \sum_{i}{x_i\astf(x_i)}

Der Erwartungswert für das Ergebnis beim Werfen eines Würfels wäre also 3,5.

E(X)=\ 1\times\frac{1}{6}+2\times\frac{1}{6}+3\times\frac{1}{6}+4\times\frac{1}{6}+5\times\frac{1}{6}+6\times\frac{1}{6}=3,5

 

Diskrete Zufallsvariable Varianz

Mit Hilfe des Erwartungswertes kannst du nun auch die Varianz deiner Zufallsvariable berechnen. Die Varianz gibt nämlich die erwartete quadratische Abweichung vom Mittelwert an und wird mit dem griechischen Buchstaben \sigma^2 abgekürzt. Die Formel für die Varianz lautet:

 

Varianz Standardabweichung diskrete Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariable Varianz

Da das Ergebnis der Varianz aber relativ schwer zu interpretieren ist, wird häufig die Standardabweichung berechnet. Diese erhältst du ganz einfach, indem du die Wurzel aus der Varianz ziehst. Sie wird meist mit dem Buchstaben \sigma abgekürzt.

 

\sigma=\sqrt{Var\left(X\right)}

 

Zusammenfassend hier nochmal die wichtigsten Formeln im Zusammenhang mit diskreten Zufallsvariablen:

Erwartungswert: E(X)= \sum_{i}{x_i\timesf(x_i)}

Varianz: Var(X) = E[(X-µ)2] = i(xi -µ)2×f(xi)

Standardabweichung: \sigma=\sqrt{Var(X)}

Stetige Zufallsvariable

Eine stetige Zufallsvariable ist überabzählbar, also nimmt unendlich viele, nicht abzählbare Werte an. Das ist meistens bei Messvorgängen der Fall. Wie zum Beispiel: Zeit, Längen oder Temperatur. Beschrieben werden Zufallsvariablen meist mit X. Hierbei handelt es sich um das noch unbekannte Ergebnis, da wir unser Zufallsexperiment noch nicht durchgeführt haben.

Stetige Zufallsvariable Definition, Stetige Zufallsvariable Beispiel
Stetige Zufallsvariable

Verteilungsfunktion stetige Zufallsvariable

Mit diesem Wissen wird auch klar, dass wir im stetigen Fall die Wahrscheinlichkeit nur für Intervalle und nicht für genaue Werte bestimmen können. Du fragst dich warum? Na, es gibt doch unendlich viele Werte, also ist es unmöglich, ein exaktes Ergebnis festzulegen.

Verteilungsfunktion stetige Zufallsvariable, stetige zufallsvariable beispiel
Stetige Zufallsvariable Intervalle

Deshalb benutzt man im stetigen Fall die Verteilungsfunktion zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Mit dieser kannst du so zum Beispiel folgende Fragestellungen beantworten:

Mit welcher Wahrscheinlichkeit läuft ein Sprinter die 100 Meter in unter 12 Sekunden?

Oder

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig gewählte Studentin zwischen 165cm und 170cm groß?

Zufallsvariable Beispiel

Je nachdem wie um welche Werte der Zufallsvariable zugrunde liegen, sehen die Formeln zur Berechnung anders aus. Es ist dabei also ausschlaggebend um welche Wahrscheinlichkeitsverteilung es sich handelt.

Gleichverteilte Zufallsvariable

Es gibt gleichverteilte Zufallsvariablen sowohl im diskreten als auch im stetigen Fall. Bei einer Gleichverteilung ist zu unterscheiden, dass im diskreten Fall alle möglichen Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit haben und im stetigen Fall die Dichte konstant ist.

Wenn man einen Würfel wirft, so ist jedes Ergebnis diskret und gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit eine 1 zu würfeln ist , ebenso wie die Wahrscheinlichkeit für eine 6. Betrachtest du dagegen die Wartezeit auf den Bus und hast nur die Information, dass dieser alle 10 Minuten fährt, so sind alle Wartezeiten zwischen 0 und 10 Minuten über das komplette Intervall gleichverteilt. Das heißt es ist genauso wahrscheinlich, dass du 0,324674 Minuten oder 9,2374394 Minuten auf deinen Bus warten musst.

Binomialverteilte Zufallsvariable

Bei einer Binomialverteilung hast du es mit diskreten Zufallsvariablen zu tun. Man unterscheidet hier nur zwischen Erfolg und Nicht-Erfolg, also in zahlen kodiert beispielsweiße zwischen 1 oder 2. Generell handelt es sich um ein binomialverteiltes Zufallsexperiment, wenn man ein Bernoulli Experiment beliebig oft wiederholt.

Ein Beispiel für binomialverteilte Zufallsvariablen ist die mehrmalige Ziehung von Kugeln aus einer Urne, wobei beispielsweise das Ziehen einer roten Kugel als Erfolg und das Ziehen einer schwarzen Kugel als Nicht-Erfolg gewertet wird.

 

Normalverteilte Zufallsvariable

Normalverteile Zufallsvariablen begegnen uns häufig im Alltag. Genau genommen sind die meisten messbaren Werte durch die Normalverteilung abbildbar. Da generell alle Werte gemessen werden, handelt es sich um eine stetige Verteilung.

Ein Beispiel ist die Körpergröße. Betrachtest du beispielsweise alle Schüler im Klassenzimmer, oder alle Studenten im Vorlesungssaal, so wird der Großteil der Personen annähern so groß sein wie der Durchschnitt. Die Dichtefunktion der Normalverteilung ist am Erwartungswert stetiger Zufallsvariablen also am dichtesten. Nur wenige sind extrem groß oder extrem klein, sodass sich die charakteristische glockenförmige Verteilung ergibt, da nach außen hin die Dichte abnimmt.

 

 


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