Statistik Wahrscheinlichkeit

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

In diesem Video veranschaulichen wir dir den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit anhand eines einfachen Beispiels!

Berechnung der gesamten Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A berechnen, wenn man nur die bedingte oder gemeinsame Wahrscheinlichkeit abhängig von einem zweiten Ereignis B gegeben hat. Es geht also darum, die gesamte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A zu berechnen. Mathematisch wird der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit meistens so aufgeschrieben:

P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\bar{B})=P(B)\ast P(A|B)+P(\bar{B})\ast P(A|\bar{B})

Berechnung anhand eines Beispiels

Anhand eines Beispiels wird das ganze gleich viel verständlicher. Stell dir vor, in einer Urne befinden sich 3 rote und 7 blaue Kugeln. Jetzt ziehst du zwei Kugeln ohne Zurücklegen aus der Urne heraus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine der beiden Kugeln blau ist?

Ziehen aus einer Urne

Am besten veranschaulichen wir uns das Zufallsexperiment anhand eines Baumdiagramms. Wenn du dir damit noch unsicher bist, schau dir am besten unser passendes Video dazu an.

Mit Hilfe des Baumdiagramms, können wir ganz einfach die Werte in unsere Formel eintragen und erhalten:

P(„genau einmal blau“)=P(blau)*\ P(rot|blau)+P(rot)*P(blau|rot) = \frac{7}{10}\ast\frac{3}{9}+\frac{3}{10}\ast\frac{7}{9}=\frac{42}{90}=46,6%

Addition der Pfadwahrscheinlichkeiten

Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit besagt also nichts anderes, als dass du, um die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, die verschiedenen Pfadwahrscheinlichkeiten, die zu diesem Ergebnis führen, addieren musst.

Addition der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfads

Die Berechnung erfolgt ganz einfach mit Hilfe der zweiten Pfadregel, die du auch schon aus unserem Video zum Baumdiagramm kennst.

So, das wars auch schon zum Satz der totalen Wahrscheinlichkeit! Zum Abschluss findest du hier nochmal die allgemeine Formel:

P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\bar{B})=P(B)\ast P(A|B)+P(\bar{B})\ast P(A|\bar{B})

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