Wahrscheinlichkeitsrechnung

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Inhaltsübersicht

Dieser Artikel befasst sich mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und veranschaulicht diesen anhand eines einfachen Beispiels!

Total einfach kannst du dir das Leben machen, indem du dir alles kurzerhand in unserem  Video zum Thema erklären lässt!

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A berechnen, wenn man nur die bedingte oder gemeinsame Wahrscheinlichkeit abhängig von einem zweiten Ereignis B gegeben hat. Manchmal ist auch vom so genannten Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit die Rede.

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit, Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Formel
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Formel

Es geht also darum, die gesamte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A zu berechnen. Mathematisch wird das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit meistens so aufgeschrieben:

P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\bar{B})=P(B)\ast P(A|B)+P(\bar{B})\ast P(A|\bar{B})

Beziehung zum Satz von Bayes

Außerdem begegnet in der Stochastik einem in der Verbindung mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit oft der so genannte Satz von Bayes. Mithilfe der Bayes Formel kann die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse bestimmt werden, welche im Anschluss zur Berechnung der totalen Wahrscheinlichkeit herangezogen wird.

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Beispiel

Anhand eines Beispiels wird das ganze gleich viel verständlicher. Stell dir vor, in einer Urne befinden sich 3 rote und 7 blaue Kugeln. Jetzt ziehst du zwei Kugeln ohne Zurücklegen aus der Urne heraus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine der beiden Kugeln blau ist?

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Beispiel

Am besten veranschaulichen wir uns das Zufallsexperiment anhand eines Baumdiagramms. Wenn du dir damit noch unsicher bist, schau dir am besten unser passendes Video dazu an.

Wahrscheinlichkeit berechnen

Nun können wir mit Hilfe des Baumdiagramms  ganz einfach die Werte in unsere Formel eintragen und erhalten:

P(„genau einmal blau“)=P(blau)*\ P(rot|blau)+P(rot)*P(blau|rot) = \frac{7}{10}\ast\frac{3}{9}+\frac{3}{10}\ast\frac{7}{9}=\frac{42}{90}=46,6%

Addition der Pfadwahrscheinlichkeiten

Zusammenfassend besagt der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit also, dass du die verschiedenen Pfadwahrscheinlichkeiten, die zu diesem Ergebnis führen, addieren musst.  So erhältst du die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Die Berechnung erfolgt ganz einfach mit Hilfe der zweiten Pfadregel, welche auch Summenregel genannt wird.

Summenregel

 

So, das wars auch schon! Zum Abschluss findest du hier nochmal die allgemeine Formel:

P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\bar{B})=P(B)\ast P(A|B)+P(\bar{B})\ast P(A|\bar{B})


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