Statistik Wahrscheinlichkeit

Poisson Verteilung

Inhaltsübersicht

Ein Posisson Verteilung Beispiel mit Erklärung und der Formel für die Dichte, Tipps zur Berechnung der Verteiungsfunktion, des Erwartungswerts & der Varianz. Kurz gesagt beinhaltet diese Zusammenfassung alles, was zur Verteilung nach Poisson wissen musst.

Noch besser als dieser Artikel ist aber unser Video, welches dir die wichtigsten Eigenschaften der Poisson Verteilung in 0,nichts erklärt!

Poisson Verteilung Statistik

Die Poisson Verteilung gehört zu den diskreten Verteilungen. Sie wird vor Allem dann gebraucht, wenn in einem Zufallsexperiment die Häufigkeit eines Ereignisses über eine gewisse Zeit betrachtet wird.

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Poisson Verteilung

Mathematisch ausgedrückt sieht die Verteilung nach Poisson wie folgt aus:

X\ ~\ Po(\lambda)

Lamda steht dabei für die durchschnittlich zu erwartende Anzahl an Ereignissen.

Poisson Verteilung Beispiel

Im Alltag ergeben sich unzählige Situationen, welche mit Hilfe der Poisson Verteilung berechnet werden können. generell wird diese benutzt, wenn n sehr groß ist und p klein. In diesem Fall wäre die Berechnung des Binomialkoeffizienten sehr aufwendig. Somit dient die Verteilung nach Poisson zur zu Annäherung an die kompliziertere Binomialverteilung.

Ein Beispiel hierfür wäre die Frage, wie viele Studenten zwischen 12.00 und 12.15 Uhr in den Vorlesungssaal kommen. Folglich ist also die zu erwartende Anzahl an Studenten gesucht.

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Poission Verteilung Beispiel

Wenn wir davon ausgehen, dass im Schnitt 10 Studenten die Vorlesung zwischen 12.00 und 12.15 betreten, würden wir das also wie folgt aufschreiben:

X\ ~\ Po(10)

Poisson Verteilung Formel

Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der gesuchten Zufallsvariable solltest du dir die folgenden Formeln und Zusammenhänge einprägen.

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Poisson Verteilung Formel

Poisson Verteilung Dichte

Die Formel für die Dichte in diesem Zusammenhang sieht etwas ungemütlich aus, ist aber eigentlich nicht sehr kompliziert:

f(x)=\frac{\lambda^x}{x!}\ast\ e^{-\lambda}

Damit könnte man in unserem Beispiel die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass genau 12 Studenten den Vorlesungssaal zwischen 12.00 und 12.15 Uhr betreten. Dazu setzt du einfach x gleich 12 und lamda gleich 10 in die Gleichung ein. Du erhältst eine Wahrscheinlichkeit von ungefähr 9,5%.

f(12)=\frac{{10}^{12}}{12!}\ast\ e^{-10}=0,0948

Poisson Verteilung Verteilungsfunktion

Für die Verteilungsfunktion gibt es leider mal wieder keine bequeme Formel. Du musst hier die einzelnen Werte der Dichtefunktion aufsummieren:

F(x)=P(X\le\ x)=\sum_{k=0}^{x}{f(k)}

Poisson Verteilung Erwartungswert

Der Erwartungswert der Poisson Veteilung ist sehr einfach zu bestimmen: dieser wird ganz einfach durch den Wert lamda beschrieben. Das ist ja auch logisch, da der Erwartungswert den zu erwartenden Wert beschreibt und lamda genau das ausdrückt. Manchmal notiert man diesen auch  mit dem kleinen griechischen Buchstaben µ. Unter anderem kann der Erwartungswert in diesem Zusammenhang auch als Intensitätsparameter bezeichnet werden.

Poisson Verteilung Varianz

Die Standardabweichung σ und Varianz σ² werden  wie gewohnt direkt mit Hilfe des Erwartungswerts berechnet. Die Poisson Veteilung Varianz entspricht wieder dem Wert lamda. Betrachten wir die Standardabweichung ergibt sich diese logischerweise aus der Wurzel des Erwartungswertes.

Jetzt ist die Poissonverteilung kein Problem mehr für dich!


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