Statistik Wahrscheinlichkeit

Binomialverteilung

Du möchtest die wichtigsten Eigenschaften der Binomialverteilung kennen? Los geht‘s!

Binomialverteilung: Die N-fache Wiederholung eines Bernoulli Experiments

Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten diskreten Verteilungen. Ein binomialverteiltes Zufallsexperiment entsteht durch n-fache Wiederholung eines Bernoulli Experiments. Man unterscheidet also auch bei der Binomialverteilung nur zwischen Erfolg und Nicht-Erfolg. Ein klassisches Beispiel für ein binomialverteiltes Zufallsexperiment ist die Ziehung von Kugeln aus einer Urne, wobei beispielsweise das Ziehen einer roten Kugel als Erfolg und das Ziehen einer schwarzen Kugel als Nicht-Erfolg gewertet wird.

Binomialverteilung
Binomialverteilung

Mathematisch drückt man ein binomialverteiltes Zufallsexperiment wie folgt aus:

X~B(n,p)

Der Parameter n steht dabei für die Anzahl der Ziehungen und p für die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs. Die Dichte der Binomialverteilung lautet im allgemeinen Fall:

f(x)= \binom{n}{k}\ast\ p^k\ast(1-p)^{n-1}

Der Parameter k repräsentiert die Anzahl der Treffer. Der Wert \binom{n}{k} steht für den Binomialkoeffizienten. Dieser wird auch in der Kombinatorik verwendet, auf die wir in einer gesonderten Playlist näher eingehen. Du kannst ihn mit folgender Formel berechnen:

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\ast(n-k)!}

Zahlenbeispiel zur Binomialverteilung findest du übrigens in unserer Playlist „Kombinatorik“ im Video Ziehen mit Zurücklegen.

Verteilungsfunktion der Binomialverteilung

Für die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung gibt es keine einfache Formel. Du musst die Wahrscheinlichkeiten also entweder von Hand berechnen oder, falls vorhanden, aus der Verteilungstabelle ablesen. Wenn du also zum Beispiel wissen möchtest, mit welcher Wahrscheinlichkeit du höchstens zwei Treffer erzielst, musst du die Wahrscheinlichkeiten für 0 Treffer, 1 Treffer und 2 Treffer summieren:

P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

Der Erwartungswert der Binomialverteilung lässt sich ganz einfach mit folgender Formel berechnen:

E(X)= n*p

Du multiplizierst also die Anzahl an Ziehungen mit der Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg.
Die Formel zur Berechnung der Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariable sieht wie folgt aus:

V(X)= n*p*(1-p)

Auch diese kannst du also einfach durch Einsetzen der Parameter n und p berechnen.

Das war auch schon alles Wichtige zur Binomialverteilung! Im Folgenden sind nochmal alle Formeln zusammengefasst:

Formeln Binomialverteilung
Überblick Formeln

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