Statistik Wahrscheinlichkeit

Ziehen ohne Zurücklegen – mit Reihenfolge

Hier zeigen wir dir, mit welcher Formel du die Anzahl an Möglichkeiten bei Variationen ohne Zurücklegen berechnen kannst!

Berechnung der Anzahl der möglichen Kombinationen

In der Kombinatorik unterscheidet man zwischen Stichproben mit Reihenfolge, die dann Variation genannt werden, und Stichproben ohne Reihenfolge, die Kombination genannt werde. In diesem Video betrachten wir Variationen, genauer gesagt Ziehungen ohne Zurücklegen, bei denen die Reihenfolge einen Unterschied macht.

Reihenfolge als Unterschied zu den bisherigen Berechnungen

In den vorigen beiden Beiträgen haben wir das Urnenmodell genauer betrachtet. Hier hat es keinen Unterschied gemacht, in welcher Reihenfolge die Kugeln gezogen wurden, also zum Beispiel erst zwei schwarze und dann zwei weiße oder anders herum.

Reihenfolge
Variation

Bei Variationen hingegen, macht die Reihenfolge der Elemente sehr wohl einen Unterschied.

Erklärung an Hand eines sehr anschaulichen Beispiels

Ein anschauliches Beispiel hierfür ist zum Beispiel, wie viele Möglichkeiten es gibt die ersten drei Plätze bei einem Beerpong-Turnier mit 15 teilnehmenden Gruppen zu besetzen. Hier macht es nämlich natürlich einen Unterschied, ob eine Gruppe auf dem ersten oder auf dem dritten Platz landet.

Bierpong, Variation
Veranschaulichung des Beispieles

Die Formel, um die Anzahl an Möglichkeiten zu berechnen, können wir uns ganz einfach selbst logisch herleiten.

Herleitung der Formel um die Anzahl der Möglichkeiten herauszufinden

Wir haben 15 Teams, die den ersten Platz belegen können. Nachdem dieser vergeben wurde, bleiben noch 14 Teams, die eine Chance auf den zweiten Platz haben. Danach bleiben schließlich noch 13 Teams, die den dritten Platz belegen können. Um die Gesamtanzahl an Möglichkeiten zu berechnen, rechnest du also 15 mal 14 mal 13 gleich 2.730 Möglichkeiten.

Die allgemeine Formel lautet bei Ziehungen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge N Fakultät geteilt durch N minus k Fakultät.

\frac{N!}{(N-k)!}

Groß N steht dabei für die Anzahl an Elementen insgesamt, in unserem Fall sind das die 15 Teams, und klein k steht für Anzahl an Ziehungen, in unserem Fall gilt also k gleich 3 da wir ja die ersten 3 Plätze belegen möchten. Wenn wir diese Angaben einsetzen, erhalten wir auch wieder genau die 2.730 Möglichkeiten.

Das war auch schon alles, was du zu Variationen ohne Zurücklegen wissen musst! Abschließend hier nochmal die allgemeine Formel zur Berechnung der Anzahl an Möglichkeiten:

Variation
Wiederholung der Formel

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