Wahrscheinlichkeitsrechnung

Laplace Experiment

Inhaltsübersicht

In diesem Artikel dreht sich alles um Laplace. Von der Laplace Wahrscheinlichkeit bis hin zum Laplace Würfel wird dir alles zu Laplace Experimenten erklärt.

Du möchtest wissen – Was ist ein Laplace Experiment? – ohne diesen Artikel lesen zu müssen ? In unsrem Video erfährst du bequem und einfach was genau es bedeutet, wenn einem Zufallsexperiment die Laplace Bedingung zugrunde liegt.

Laplace Experiment Definition

Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle elementaren Ergebnisse die selbe Wahrscheinlichkeit haben. Die dazugehörige Laplace Wahrscheinlichkeit wird mit der Laplace Formel berechnet, welche sich durch die Division der Anzahl des Ereignisses durch alle möglichen Ergebnisse ergibt.

Laplace Experiment Erklärung

Generell unterscheidet man in der Statistik unterscheidet verschiedene Spezialfälle von Wahrscheinlichkeiten. Einer dieser Sonderfälle ist die Laplace Wahrscheinlichkeit. Diese liegt den dazugehörigen Laplace Experimenten zugrunde und setzt voraus, dass alle elementaren Ergebnisse des Zufallsexperimentes die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Einfach gesagt, muss jedes mögliches Szenario gleich wahrscheinlich sein, damit von Laplace die Rede sein kann.

Laplace Experiment Beispiele

Das gängigste Beispiel für einen Laplace Versuch ist das Werfen eines ungezinkten Würfels. Ungezinkt bedeutet, dass dieser nicht manipuliert ist und, dass alle sechs Seiten mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewürfelt werden. Bei einem Laplace Würfel fällt die 1 also genau gleich oft wie die 6, wenn man unendlich oft würfeln würde. Weitere Beispiele sind das Werfen einer Münze oder das drehen an einem Glücksrad. Die Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zu werfen beträgt dann nämlich jeweils genau 50%. Bei dem letzteren Beispiel muss zusätzlich beachten werden, dass alle möglichen Felder gleich häufig vorkommen müssen, damit die Laplace Bedingung erfüllt ist.

Laplace Wahrscheinlichkeit

Du weist jetzt, dass jedem Laplace Experiment die Laplace Wahrscheinlichkeit zugrunde liegt. Die Bedingung, dass alle Versuchsausgänge gleich wahrscheinlich sind muss also erfüllt sein. Aber woher weiß man, ob diese Grundbedingung gegeben ist oder nicht?

Kein Laplace Experiment?

Wenn du also die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis bestimmen sollst, prüfe zunächst ob es sich bei dem Zufallsexperiment überhaupt um einen Laplace Versuch handelt oder nicht. Hier spricht man auch vom sogenannten Elementarereignis ω, also einem Ereignis, für das die Eintrittswahrscheinlichkeit immer gleich hoch ist. Es gilt:

P(\omega)=\frac{1}{\left|\Omega\right|}

\left|\Omega\right| ist die Menge aller möglichen Ereignisse, die eintreten können. Ein Zufallsexperiment umfasst also genau so viele Elementarereignisse und die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten beträgt 1.

Laplace Formel

Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit in einem Laplace Experiment für ein Ereignis A durch die Laplace Formel wie folgt definiert:

Laplace Wahrscheinlichkeit
Laplace Formel

Dabei bezeichnet \left|A\right| die Anzahl der Elemente des Ereignisses A, und \left|\Omega\right| die Ergebnismenge.

Laplace Experiment Aufgaben

Abschließend schauen wir uns noch zwei praktische Beispiele von Laplace Experimenten an. So wird deutlich wie man die Wahrscheinlichkeit dieser Zufallsexperimente einfach mit der Laplace Formel berechnen kann.

Laplace Würfel

Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, mit einem sechsseitigen Laplace Würfel die Zahl 3 zu würfeln. Da der Würfel nur eine Seite mit der Augenzahl 3 hat gilt \left|A\right|=1. Da der Würfel insgesamt 6 Seiten hat, enthält die Ergebnismenge sechs Elemente – es gilt also \left|\Omega\right|=6. Wenn wir das nun in unsere Formel einsetzen erhalten wir folgendes:

Laplace Wahrscheinlichkeit
Laplace Würfel

Laplace Experiment Beispiel: Roulette

Etwas komplizierter wird es, wenn wir anstelle eines Würfels ein Roulette Spiel betrachten. Da auch hier jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist, handelt es sich wieder um ein Laplace Experiment. Diesmal sollst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, eine rote Zahl zu erhalten. Dazu musst du wissen, dass es beim Roulettespiel insgesamt 37 mögliche Ergebnisse gibt. Davon sind 18 Zahlen schwarz, 18 rot und die Zahl 0 ist farblos. Es gilt also \left|A\right|=18 und \left|\Omega\right|=37.

Laplace Wahrscheinlichkeit
Laplace Experiment Beispiel

Die Wahrscheinlichkeit eine rote Zahl zu würfeln liegt also bei ungefähr 49%.

Das war auch schon alles Wichtige ! Zur Wiederholung hier nochmal die zentrale Formel:

Laplace Wahrscheinlichkeit
Laplace Experiment Formel

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