Statistik Wahrscheinlichkeit

Kombinatorik
Ziehen ohne Zurücklegen – ohne Reihenfolge

Bei den ganzen verschiedenen Formeln zum Urnenmodell kommst du ganz durcheinander? In diesem Video erklären wir dir anhand eines einfachen Beispiels, wie du Aufgaben zu „Ziehungen ohne Zurücklegen“ lösen kannst.

Variation und Kombination

In der Kombinatorik unterscheidet man zwischen Stichproben mit Reihenfolge, die dann Variation genannt werden, und Stichproben ohne Reihenfolge, die Kombination genannt werden. Hier betrachten wir nun Kombinationen, genauer gesagt Ziehungen ohne Zurücklegen.

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Stichproben mit und ohne Reihenfolge

Das Urnenmodell genau erklärt

Eine klassische Aufgabenstellung zu Kombinationen ist das Urnenmodell. Das Urnenmodell verwendet einen Behälter, zum Beispiel eine Kiste, in der sich verschiedene, sagen wir schwarze und weiße Kugeln befinden. Nun werden aus der Kiste, ohne hineinzusehen, Kugeln gezogen und es wird notiert, ob diese schwarz oder weiß sind. Die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, spielt in diesem Fall keine Rolle.

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Das Urnenmodell

Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge – Beispiel

Schauen wir uns das Ganze gleich anhand eines praktischen Beispiels an. Stell dir vor, du hast eine Kiste mit 8 schwarzen und 4 weißen Kugeln. Nun nimmst du nacheinander 4 Kugeln aus der Kiste, ohne sie danach zurückzulegen. Jetzt möchtest du wissen, wie viele mögliche Ergebnisse du bei dieser Ziehung erhalten kannst. Das bestimmst du mit Hilfe des Binomialkoeffizienten. Hier zur Wiederholung nochmal die Formel:

\binom{N}{k}=\frac{N!}{k!\ast(N-k)!}

Groß N steht hierbei für die Anzahl an Elementen insgesamt und klein k für die Anzahl an Ziehungen. Wir rechnen also:

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Anzahl an Möglichkeiten zu Ziehen

Es gibt also 495 Möglichkeiten die Kugeln aus der Urne zu ziehen.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel

Als nächstes möchtest du die Wahrscheinlichkeit bestimmen, genau eine schwarze Kugel zu ziehen. Um das zu berechnen, musst du wissen, dass diesem Zufallsexperiment die hypergeometrische Verteilung zugrunde liegt. Mithilfe der Formeln der Verteilung kannst du diese Aufgabe lösen. Genauer gesagt verwenden wir dafür die Dichtefunktion der Hypergeometrischen Verteilung, denn diese gibt ja die Wahrscheinlichkeit dafür an, genau einen Wert x zu erhalten. Zur Wiederholung hier nochmal die Formel der Dichtefunktion:

f(x)=\frac{\binom{M}{x}\binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}}

N ist dabei die Anzahl der Elemente insgesamt, bei uns gilt also N ist gleich 12. M gibt die Anzahl derjenigen Elemente an, die als „Erfolg“ gesehen werden. Da wir uns ja für die schwarzen Kugeln interessieren, gilt M gleich 8. Klein n steht für die Anzahl an Elementen, die für das Zufallsexperiment gezogen werden, bei uns ist also klein n gleich 4.

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Dichtefunktion der hypergeometrischen Verteilung

Wenn wir nun wissen möchten, mit welcher Wahrscheinlichkeit genau eine schwarze Kugel gezogen wird, müssen wir einfach die Dichte für x gleich 1 berechnen. Wenn wir alles einsetzen, erhalten wir folgende Berechnung:

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Wahrscheinlichkeit genau eine schwarze Kugel zu ziehen

Die Wahrscheinlichkeit genau eine schwarze Kugel zu ziehen liegt also bei ungefähr 6,46%.

Formeln zur hypergeometrischen Verteilung

Zusammenfassend solltest du dir merken, dass Zufallsexperimente mit Ziehungen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge einer hypergeometrischen Verteilung folgen. Das heißt, du musst die Formeln der hypergeometrischen Verteilung zur Lösung solcher Aufgaben verwenden. Hier findest du nochmal die wichtigsten Formeln im Überblick:

  1. Binomialkoeffizient (Anzahl an Möglichkeiten berechnen)
  2. Dichtefunktion (Wahrscheinlichkeit genau x schwarze Kugeln zu ziehen)
  3. Verteilungsfunktion (Wahrscheinlichkeit weniger als x schwarze Kugeln zu ziehen)
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Wichtige Formeln

Jetzt weißt du wie du Aufgaben zum Ziehen aus der Urne ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge lösen kannst. Im nächsten Video schauen wir uns einen weiteren Fall an.

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