Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ziehen ohne Zurücklegen

Inhaltsübersicht

Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge, Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge, Urnenmodell mit Zurücklegen ohne und mit Beachtung der Reihenfolge…

Bei so einem Buchstabensalat und den ganzen verschiedenen Urnenmodellen kommst du ganz durcheinander? In unseren Videos erklären wir dir anhand einfacher Beispiele, wie du Aufgaben zu „Ziehungen ohne Zurücklegen“ und „Ziehungen mit Zurücklegen“ lösen kannst.

Urnenmodell

Ein Urnenmodell dient in der Stochastik zur vereinheitlichten Darstellung und Modellierung von Zufallsexperimenten.

Du kannst mithilfe eines Urnenmodells aber nicht nur die Frage beantworten „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit zwei weiße Kugeln zu ziehen?“, sondern zum Beispiel auch die Anzahl an Möglichkeiten bestimmen in welcher Reihenfolge die Kugeln gezogen werden. So lassen sich beispielsweise Alltagssituationen abbilden und man so kann die Wahrscheinlichkeit berechnen für die verschiedenen Szenarien.

Das Urnenmodell verwendet dazu einen Behälter, zum Beispiel eine Kiste, in der sich verschiedene, sagen wir schwarze und weiße Kugeln befinden. Nun werden aus der Kiste, ohne hineinzusehen, Kugeln gezogen und es wird notiert, ob diese schwarz oder weiß sind. Dabei gibt es verschiedene Varianten wie dieses Zufallsexperiment durchgeführt wird. Man unterscheidet, ob eine gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird  und ob die Reihenfolge eine Rolle spielt oder nicht.

Kombinatorik Urnenmodell

Generell unterschiedet man in der Kombinatorik zwischen Stichproben mit Reihenfolge, die dann Variation genannt werden, und Stichproben ohne Reihenfolge, die Kombination genannt werden. Je nachdem, ob man die Kugeln dann noch zurück legt oder nicht, ergeben sich dann die verschiedenen Urnenmodelle.

Kombinatorik, Variation, Kombination, Ziehen ohne Zurücklegen
Kombinatorik Variation Kombination

H3 Urnenmodell Beispiele

Anstelle von Zurücklegen, kannst du problemlos auch Wiederholung sagen. Im Folgenden betrachten wir zuerst Urnenmodelle ohne Zurücklegen, also ohne „Wiederholung“.

Kombinatorik, Variation, Kombination, Ziehen ohne Zurücklegen
Ziehen ohne Zurücklegen

Genauer gesagt beginnen wir mit Kombinationen ohne Zurücklegen und dann behandeln dann Variationen ohne Zurücklegen, bei denen die Reihenfolge einen Unterschied macht. Die Erklärung von Urnenmodellen mit  Ziehen mit Zurücklegen folgen dann im Anschluss in einem separaten Beitrag.

 

Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge

So los geht es mit Kombination ohne Wiederholung. Du hast es also mit dem Szenario zu tun, dass die Reihenfolge der Ergebnisse des Zufallsexperimentes eine Rolle spielt und das Ergebnis nicht erneut eintreten kann, wenn es bereits aufgetreten ist.

Urnenmodell ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge

Schauen wir uns das Ganze gleich anhand eines praktischen Beispiels an. Stell dir vor du hast eine Kiste mit 8 schwarzen und 4 weißen Kugeln. Nun nimmst du nacheinander 4 Kugeln aus der Kiste, ohne sie danach zurückzulegen.

Jetzt möchtest du wissen, wie viele mögliche Ergebnisse du bei dieser Ziehung erhalten kannst. Das bestimmst du mit Hilfe des Binomialkoeffizienten. Hier zur Wiederholung nochmal die Formel:

\binom{N}{k}=\frac{N!}{k!\ast(N-k)!}

N steht hierbei für die Anzahl an Elementen insgesamt und klein k für die Anzahl an Ziehungen. Wir rechnen also:

Kombinatorik, Variation, Kombination, Ziehen ohne Zurücklegen
Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge

Es gibt also 495 Möglichkeiten die Kugeln aus der Urne zu ziehen.

Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge

Als nächstes möchtest du die Wahrscheinlichkeit bestimmen, genau eine schwarze Kugel zu ziehen. Um das zu berechnen, musst du wissen, dass diesem Zufallsexperiment die hypergeometrische Verteilung zugrunde liegt. Mithilfe der Formeln der Verteilung kannst du diese Aufgabe lösen. Genauer gesagt verwenden wir die Funktion für die Dichte der hypergeometrischen Verteilung, denn diese Wahrscheinlichkeitsfunktion gibt ja die Wahrscheinlichkeit im diskreten Fall dafür an, genau einen Wert x zu erhalten. Zur Wiederholung hier nochmal die Formel der Funktion:

f(x)=\frac{\binom{M}{x}\binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}}

N ist dabei die Anzahl der Elemente insgesamt, bei uns gilt also N ist gleich 12. M gibt die Anzahl derjenigen Elemente an, die als „Erfolg“ gesehen werden. Da wir uns ja für die schwarzen Kugeln interessieren, gilt M gleich 8. Klein n steht für die Anzahl an Elementen, die für das Zufallsexperiment gezogen werden, bei uns ist also klein n gleich 4.

Kombinatorik, Variation, Kombination, Ziehen ohne Zurücklegen
Hypergeometrischen Verteilung Urnenmodell

Wenn du nun wissen möchtest mit welcher Wahrscheinlichkeit genau eine schwarze Kugel gezogen wird, musst du einfach die Wahrscheinlichkeit für x gleich 1 berechnen. Wenn wir alles einsetzen, erhalten wir folgende Berechnung:

Kombinatorik, Variation, Kombination, Ziehen ohne Zurücklegen
Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge

Die Wahrscheinlichkeit genau eine schwarze Kugel zu ziehen liegt also bei ungefähr 6,46%.

Hier findest du nochmal die wichtigsten Formeln für Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge im Überblick:

  1. Binomialkoeffizient (Anzahl an Möglichkeiten berechnen)
  2. Wahrscheinlichkeitsfunktion (Wahrscheinlichkeit genau x schwarze Kugeln zu ziehen)
  3. Verteilungsfunktion (Wahrscheinlichkeit weniger als x schwarze Kugeln zu ziehen)
Kombinatorik, Variation, Kombination, Ziehen ohne Zurücklegen
Ziehen ohne Zurücklegen Formel

Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge

Jetzt weißt du wie du Aufgaben zum Ziehen aus der Urne ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge lösen kannst. Bisher hat es keinen Unterschied gemacht, in welcher Reihenfolge die Kugeln gezogen wurden, also zum Beispiel erst zwei schwarze und dann zwei weiße oder anders herum. Nun betrachten eine Variation ohne Wiederholung, also den Fall, dass die Reihenfolge eine Rolle spielt.

 

Ziehen ohne Wiederholung ohne Zurücklegen: Variation
Ziehen ohne Wiederholung ohne Zurücklegen: Variation

Urnenmodell ohne Zurücklegen mit Reihenfolge

In diesem Fall legen wir die Kugeln also nicht nur zurück, sondern die Reihenfolge ist entscheidend für das Ergebnis. Ein anschauliches Beispiel hierfür ist zum Beispiel, wie viele Möglichkeiten es gibt die ersten drei Plätze bei einem Beerpong-Turnier mit 15 teilnehmenden Gruppen zu besetzen. Hier macht es nämlich natürlich einen Unterschied, ob eine Gruppe auf dem ersten oder auf dem dritten Platz landet.

Ziehen ohne zurücklegen mit Reihenfolge Beispiel
Ziehen ohne zurücklegen mit Reihenfolge Beispiel

Die Formel, um die Anzahl an Möglichkeiten zu berechnen, können wir uns ganz einfach selbst logisch herleiten.

Wir haben 15 Teams, die den ersten Platz belegen können. Nachdem dieser vergeben wurde, bleiben noch 14 Teams, die eine Chance auf den zweiten Platz haben. Danach bleiben schließlich noch 13 Teams, die den dritten Platz belegen können. Um die Gesamtanzahl an Möglichkeiten zu berechnen, rechnest du also 15 mal 14 mal 13 gleich 2.730 Möglichkeiten.

Formel Anzahl an Möglichkeiten

Die allgemeine Formel lautet bei Ziehungen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge N Fakultät geteilt durch N minus k Fakultät.

\frac{N!}{(N-k)!}

Groß N steht dabei für die Anzahl an Elementen insgesamt, in unserem Fall sind das die 15 Teams, und klein k steht für Anzahl an Ziehungen, in unserem Fall gilt also k gleich 3 da wir ja die ersten 3 Plätze belegen möchten. Wenn wir diese Angaben einsetzen, erhalten wir auch wieder genau die 2.730 Möglichkeiten.

Das war auch schon alles, was du zu Variationen ohne Zurücklegen wissen musst! Abschließend hier nochmal die allgemeine Formel zur Berechnung der Anzahl an Möglichkeiten:

Ziehen ohne zurücklegen mit Reihenfolge: Formel Anzahl Möglichkeiten
Ziehen ohne zurücklegen mit Reihenfolge: Formel Anzahl Möglichkeiten

Aber was ist mit Variationen und Kombinationen mit Wiederholung? Unsere Videos zu Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge und Ziehen mit Zurücklegen mit Reihenfolge machen dein Wissen zu Urnenmodellen komplett!

 

 


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