Statistik Wahrscheinlichkeit

Venn-Diagramm

Hier erklären wir dir anhand eines einfachen Beispiels, was ein Venn-Diagramm ist, welche Operatoren es gibt und wie du es anwenden kannst!

Veranschaulichung von Zusammenhängen zwischen Ereignissen

Venn-Diagramme werden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung dazu verwendet, Zusammenhänge zwischen verschiedenen Ereignissen graphisch darzustellen. Außerdem kannst du dir damit Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung sehr einfach veranschaulichen. Dazu zeichnet man sich überlappende Kreise, um logische Beziehungen zwischen zwei oder mehr Mengen zu visualisieren. Das „Basis“-Venn-Diagramm für zwei Mengen A und B sieht so aus:

Venn-Diagramm
Basis-Venn-Diagramm

Historischer Hintergrund

Den Namen haben die Venn-Diagramme vom britischen Logiker John Venn angenommen. Er erwähnte die Diagramme erstmals in seinem Artikel „On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propostistions and Reasonings“, welches 1880 im Journal of Science und im Philosophical Magazine erschien.

Forschungen zufolge gehen die Ursprünge der Venn-Diagramme jedoch sehr viel weiter zurück. Bereits im 13. Jahrhundert verwendete der Philosoph und Logiker Ramon Llull wohl eine ähnliche Art Diagramm. Später im 18. Jahrhundert erfand dann der Schweizer Mathematiker Leonard Euler das, was heute als Euler-Diagramm bezeichnet wird – den direkten Vorgänger zum Venn-Diagramm.

Anwendung anhand eines Beispiels

Das Rechteck steht dabei für den Raum aller Mengen, auch Grundmenge oder Grundgesamtheit genannt. Die beiden Kreise A und B stehen für zwei bestimmte Ergebnismengen. Am besten veranschaulichen wir uns das Ganze gleich anhand eines Beispiels. Stell dir vor, du wirfst einen Würfel. Die Ergebnismenge A beinhaltet alle geraden Zahlen und die Ergebnismenge B beinhaltet alle Zahlen von 4 bis 6. Die Zahlen 1 und 3 schließlich sind weder in A noch in B enthalten.

Diese Mengen können wir nun in das Venn-Diagramm eintragen. Das sieht dann so aus:

Venn-Diagramm
Ergebnismengen im Venn-Diagramm

Schnittmengen und Operatoren

Du siehst also, mit Hilfe des Venn-Diagramms kannst du auch sehr einfach Schnittmengen zwischen zwei Ergebnismengen veranschaulichen. Um diese Schnittmenge formal auszudrücken, schreibt man A\ \cap B. Das Zeichen, das die beiden Mengen verbindet wird auch „Und-Operator“ genannt. In unserem Fall sind in der Schnittmenge „A geschnitten B“ die Zahlen 4 und 6 enthalten. In der Grafik lässt sich die Schnittmenge wie folgt darstellen:

Venn-Diagramm
„Und“-Operator

Neben dem „Und-Operator“ gibt es auch einen „Oder-Operator“. Dieser beinhaltet alle Ergebnisse, die entweder in A oder in B oder in beiden Mengen enthalten sind. In unserem Beispiel gilt also:

Venn-Diagramm
„Oder“-Operator

Außerdem gibt es auch noch einen „Nicht-Operator“ – auch Komplement genannt. Dieser wird entweder durch einen Querstrich über der Ergebnismenge abgebildet oder durch ein hochgestelltes c. Wenn wir also die gesamte Menge an Ergebnissen, außer die Ergebnisse der Menge A abbilden wollen, erhalten wir:

Venn-Diagramm
„Nicht“-Operator

Schließlich ist es noch möglich, die Differenz zweier Mengen zu bilden. Wenn wir also die Menge A abzüglich der Menge B abbilden wollen, sieht das im Mengendiagramm so aus:

Venn-Diagramm
Differenz zweier Mengen

Keine Beziehung zwischen den Mengen

Die Ergebnismengen können auch keine Beziehung zueinander haben. So sind die Menge A_1 und A_2 zueinander disjunkt, wenn beispielsweise A_1 die Menge aller weiblichen Studenten einer Universität widerspiegelt und A_2 die Menge aller männlichen Studenten. Das Venn-Diagramm sieht dann so aus:

A1 und A2 sind zueinander disjunkt

 

Das waren auch schon die wichtigsten Eigenschaften von Venn-Diagrammen. Zum Abschluss findest du hier nochmal eine Zusammenfassung der wichtigsten Operatoren:

„Und-Operator“: A\ \cap B
„Oder-Operator“: A\cup B
„Nicht-Operator“: \bar{A\ } oder A^c\bigm

Differenz zweier Mengen: A\setminus B

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