Wahrscheinlichkeitsrechnung

Verteilungsfunktion

Inhaltsübersicht

Wir zeigen dir wie man eine Verteilungsfunktion bestimmen und mit dieser rechnen kann. Zuerst betrachten wir den diskreten und dann den stetigen Fall und es werden jeweils Beispiele für die gängigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen gegeben.

Unsere Videos zu den Themen diskrete Verteilungsfunktion und zu stetige Verteilungsfunktion erklären dir alles zu Verteilungsfunktionen verständlich und in Kürze, sodass du die eingesparte Zeit auf andere Aktivitäten verteilen kannst.

Verteilungsfunktion einfach erklärt

Die Verteilungsfunktion gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ergebnis des Zufallsexperiments kleiner oder gleich eines bestimmten Wertes ist. Dafür werden alle Ergebnisse bis zu diesem Wert aggregiert, also „aufaddiert“. Deshalb spricht man auch oft von einer kumulativen Verteilungsfunktion. Allgemein wird die Verteilungsfunktion mathematisch mit P(X≤x) dargestellt und mit F(x) abgekürzt. Klein x ist dabei der Wert, bis zu dem aggregiert wird. Um eine konkrete Verteilungsfunktion bestimmen zu können, muss man als erstes klären, ob es sich um diskrete Zufallsvariablen oder stetige Zufallsvariablen handelt. Dazu betrachtet man die möglichen Ergebnisse und deren Dichte.

Verteilungsfunktion Dichtefunktion

Liegen uns stetige Zufallsvariablen vor, so wird anhand dieser die Dichtefunktion bestimmt. Bei diskreten Zufallsvariablen hingegen, ermittelt man die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Im diskreten Fall wird so die Wahrscheinlichkeit für ein ganz konkretes Ergebnis angegeben.

Wahrscheinlichkeitsfunktion: P(X=x) ≙ „Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis/ Intervall dem Wert x entspricht“

Mit der Dichtefunktion im stetigen Fall lassen sich keine konkreten Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Diese gibt lediglich die Dichte, also die Verteilung innerhalb des Intervalls an. Um die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Abschnitt des Intervalls zu bestimmen, benötigt man die Verteilungsfunktion.

Die kumulative Verteilungsfunktion dagegen gibt also an, mit welcher Wahrscheinlichkeit alle Werte bis zu einem bestimmten Punkt eintreten können. Also zum Beispiel mit welcher Wahrscheinlichkeit du eine Zahl würfelst, die kleiner oder gleich 5 ist.

Verteilungsfunktion: P(X≤x) ≙ „Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis X kleiner gleich dem Wert x ist“

Der Unterschied zwischen Dichte und Verteilungsfunktion liegt also darin, dass die Dichte aussagt, wie die Wahrscheinlichkeiten konkret verteilt sind und die Verteilungsfunktion in einem weiteren Schritt das Integral über alle diese Wahrscheinlichkeiten bildet. Wenn du also die Dichte deiner Zufallsvariablen kennst, kannst du auch ganz einfach die Verteilungsfunktion bestimmen.

Quantil Verteilungsfunktion

Anhand der Verteilungsfunktion kannst du außerdem relativ einfach die Werte deiner Verteilung für verschiedene Quantile ablesen. Das Quantil von Zufallsvariablen sagt inhaltlich eigentlich genau dasselbe aus, wie das empirische Quantil von bereits gemessenen Daten. Es teilt den Wertebereich also in 2 Teile, den Bereich „Links“ und den Bereich „rechts“ vom Quantil. Das 50%-Quantil ist also zum Beispiel genau der Wert, der den Wertebereich so aufteilt, dass die Hälfte der Werte kleiner und die andere Hälfte größer als das Quantil sind.

Diskrete Verteilungsfunktion

Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten  P(X=x) von diskreten Variablen  sind wie gesagt durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben. Um die diskrete Verteilungsfunktion zu erhalten, werden schrittweise alle Wahrscheinlichkeitswerte kumuliert. Das heißt, man bildet das Integral unter der Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Beispielsweise beim Würfelwurf ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Augenzahl kleiner gleich 5 gewürfelt wird \frac{5}{6} . Um den Funktionswert der Verteilungsfunktion an diesem Punkt zu erhalten, summierst du einfach die Wahrscheinlichkeiten für alle x von 1 bis 5.

P(X=1)\ +\ P(X=2)\ +\ P(X=3)\ +\ P(X=4)\ +\ P(X=5)\ =

\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}

(P(X\le5) =\ \frac{5}{6})

 

Diskrete Verteilungsfunktion zeichnen

Haben wir die kumulierten Werte der Verteilungsfunktion bestimmt, können wir diese auch zeichnen. Die zugehörige Verteilungsfunktion sieht dann für das Würfelbeispiel so aus:

Verteilungsfunktion Darstellung diskrete Zufallsvariablen
diskrete Verteilungsfunktion

Der Erwartungswert lässt sich am Graph der Verteilungsfunktion nicht ablesen. Dazu muss man den Graphen der Wahrscheinlichkeits- oder Dichtefunktion betrachten.

Diskrete Verteilungsfunktion berechnen

Um mit der diskreten Verteilungsfunktion zu rechnen, braucht man aber nicht unbedingt die Abbildung des Graphen. Nehmen wir an wir ziehen zwei Lose hintereinander. Ein Los kann entweder ein Gewinn G oder eine Niete N sein. Im Lostopf befinden sich je 2 Gewinnlose und 2 Nieten. Die Regeln des Glückspiels sehen wie folgt aus:

x_1 Zieht man 2x Niete, verliert man 2€.
x_2 Zieht man 1x Gewinn, erhält man 1€.
x_3 Wenn 2x Gewinn zieht, erhält man 2€.

Nun stellen wir uns folgende Frage:

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalte ich höchstens 1€?
Unser Ergebnisraum mit der Mächtigkeit 4 sieht also wie folgt aus:

\Omega=\ \left\{NN,NG,GN,GG\right\}
\left|\Omega\right|=\ 4

 

Nun kannst du die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Fälle berechnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass du 2€ verlierst ist 25%. Die Wahrscheinlichkeit für wird folgendermaßen berechnet:

E_1\left(X=-2\right)=\left\{NN\right\}
\left|E_1\right|=\ 1
P\ (X=-2)=\frac{\left|E_1\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{1}{4}

 

Da der Ergebnisraum bei x_2 , welcher zu 1€ Gewinn führt, aus 2 Elementen besteht, ist die Wahrscheinlichkeit in diesem Fall 50%.

E_2(X=1)=\left\{NG,GN\right\}
\left|E_2\right|=\ 2
P\ (X=-1)=\frac{\left|E_2\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{2}{4}

 

Die Wahrscheinlichkeit für x_3 errechnet sich analog zum ersten Fall.

E_3\left(X=2\right)=\left\{GG\right\}
\left|E_3\right|=\ 1
P\ (X=2)=\frac{\left|E_3\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{1}{4}

Da du nun die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse weißt, kannst du auch die kumulative Verteilungsfunktion bestimmen. Dazu summierst du die einzelnen Werte schrittweise auf und notierst die Verteilungsfunktion abschnittsweiße.

F(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}0 & \mbox{f\"ur} & x<-2 \\ \ 0,25& \mbox{f\"ur} & -2\leq x < 1 \\ 0,75 & \mbox{f\"ur} & 1\leq x <2 \\1 &\mbox{f\"ur} &\geq 2\end{array}\right

Auf den ersten Blick scheint diese Schreibweise etwas verwirrend. Wenn wir jedoch 2€ verlieren zu -2€ „gewinnen“ umformulieren, wird das Ganze schon etwas verständlicher. Die Funktion sagt dir also, dass du zu 100% maximal 2 € gewinnen und schlimmstenfalls 2€ verlieren kannst. Die Wahrscheinlichkeit mehr oder weniger zu „gewinnen“ ist immer gleich 0.

Mit Hilfe dieser Funktion, lässt sich unsere Frage nun ganz einfach beantworten. Wir machen mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% höchstens 1€ Gewinn. Dazu summierst du die Wahrscheinlichkeit -2€ zu „gewinnen“ und 1€ zu gewinnen.

Hier musst du genau auf die Formulierung der Frage aufpassen. Wäre nach der Wahrscheinlichkeit dafür gefragt worden genau 1€ zu erhalten, so wäre diese 50%!

Wie man anhand dieser Beispiele sehen kann, ist es im diskreten Fall möglich zwischen der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion wählen, wenn man Wahrscheinlichkeiten berechnen will.

Empirische Verteilungsfunktion

Ein Sonderfall ist die empirische Verteilungsfunktion. Wie der Name schon vermuten lässt, handelt es sich um empirische, also tatsächlich beobachtete Werte. Daher ist diese auch als Verteilungsfunktion der Stichprobe bekannt.

Formal betrachtet handelt es sich um die Verteilungsfunktion einer diskreten Gleichverteilung zu den Punkten (x_1,...,x_n). Konkret ordnet die empirische Verteilungsfunktion jedem Wert x den Anteil der Werte der Stichprobe zu, die kleiner oder gleich x sind.

Folglich werden alle relativen Häufigkeiten summiert, die kleiner oder gleich x sind, wobei das x nicht unbedingt Teil der Stichprobe sein muss.

Verteilungsfunktion Beispiel: diskret

Aber nicht nur für die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus dem vorherigen Rechenbeispiel lässt sich eine Verteilungsfunktion bestimmen. Im Folgenden sind einige wichtige diskrete Verteilungen mit ihren dazugehörigen Verteilungsfunktionen aufgelistet.

Verteilungsfunktion Binomialverteilung

Für die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung gibt es wie in dem Rechenbeispiel keine wirkliche Formel.  Manchmal ist eine Verteilungstabelle gegeben, aus welcher du die kumulierten Wahrscheinlichkeiten ablesen kannst. Ist das nicht der Fall, musst du die Wahrscheinlichkeiten selbst aufaddieren. Wenn du also zum Beispiel wissen möchtest, mit welcher Wahrscheinlichkeit du höchstens zwei Treffer erzielst, musst du die Wahrscheinlichkeiten für 0 Treffer, 1 Treffer und 2 Treffer aufsummieren:

P(X\le2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

Verteilungsfunktion geometrische Verteilung

Die geometrische Verteilung ist unter anderen auch unter der Bezeichnung „Verteilung des Wartens auf den ersten Erfolg“ bekannt. In diesem Ausdruck spiegelt sich auch schon ihre Grundidee wider. Es handelt sich um ein Bernoulli Experiment mit der Wahrscheinlichkeit p vor und man stellt sich die Frage, wie oft man dieses Experiment ausführen muss, bis der erste Erfolg eintritt. Die dazugehörige Verteilungsfunktion lässt sich deshalb ganz einfach mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit herleiten. Dieses ist nämlich ganz einfach das Produkt der Fehlversuche. Da die Regel gilt, dass die Wahrscheinlichkeit 1 minus die Gegenwahrscheinlichkeit ist, ergibt sich somit folgende Verteilungsfunktion.

F(x)=P(X\le\ x)=1-P(X>x)=1-(1-{p)}^x

 

Poisson Verteilung Verteilungsfunktion

Für die Verteilungsfunktion der Poisson Verteilung gibt es erneut keine bequeme Formel. Du musst also wieder die einzelnen Werte der Dichtefunktion aufsummieren:

F(x)=P(X\lex)=\sum_{k=0}^{x}{f(k)}

Stetige Verteilungsfunktion

Hat man es mit stetigen Zufallsvariablen zu tun, so kann zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten nur die entsprechende Verteilungsfunktion verwendet werden, welche man durch Integration der Dichtefunktion erhält.

Stetige Verteilungsfunktion zeichnen

Zur Veranschaulichung wird im Folgenden eine einfache Verteilungsfunktion gezeichnet. Es ist dieser Graph einer Dichtefunktion gegeben. Die Wahrscheinlichkeit P(X\le4) entspricht der blau markierten Fläche.

%Bild

Man bildet also das Integral von -\infty bis 4 und erhält so den Funktionswert der Verteilungsfunktion an der Stelle x=4 . Analog kann so jeder einzelne Punkt der kumulativen Verteilungsfunktion bestimmt werden.

Stetige Verteilungsfunktion berechnen

Allgemein gilt für Berechnungen mit stetigen Verteilungen, dass es keine Rolle spielt ob die Intervallgrenzen zum Intervall gehören oder nicht. Dies wird anhand folgender Rechenregeln deutlich, welche du auf jeden Fall im Kopf behalten solltest.

1, Es gilt P\left(X\le\ x\right)=P\left(X<x\right) . Das liegt daran, dass ein einzelner Wert x die Wahrscheinlichkeit von 0 hat.

2, Außerdem gilt für die Wahrscheinlichkeit eines Intervalls P(a<X\le\ b)=P(X\le\ b)-P(X\le\ a)=F(b)-(a). Diese Bedingung musst du beachten, wenn du Wahrscheinlichkeiten berechnen möchtest, welche zwischen zwei Werten liegen.

3, Man betrachtet das Gegenereignis, wenn man die Wahrscheinlichkeit für > Aussagen berechnen möchte: P(X>x)=1-P(X\le\ x)=1-F(x)

Für unser Rechenbeispiel ist folgende stetige Verteilungsfunktion gegeben:

F(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}0 & \mbox{f\"ur} & x<2 \\ \frac{1}{2} x-1& \mbox{f\"ur} & 2\leq x \leq 4 \\ 1 & \mbox{f\"ur} & x<4 \end{array}\right

Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner als 3,5 ist. Um das Ergebnis zu erhalten, setzten wir die Intervallgrenze, also den konkreten Wert in die Verteilungsfunktion ein.

P\left(X<3,5\right)=F\left(3,5\right)

\frac{1}{2}\cdot3,5-1=0,75

=75\%

Nun ist die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit das X zwischen 2,2 und 2,8 liegt. Hier kommt die zweite Rechenregel zur Anwendung. Wir rechnen also:

P\left(2,2<X<2,8\right)=F\left(2,8\right)-F\left(2,2\right)=

\left(\frac{1}{2}\cdot2,8-1\right)-\left(\frac{1}{2}\cdot2,2-1\right)

0,4\ -\ 0,1=0,3

=30\%

Als letztes wollen wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass X größer als 3,6 ist. Hier greift die 3.Rechenregel. Wir rechnen also mit der Gegenwahrscheinlichkeit:

P\left(X>3,6\right)=1-P\left(X\le3,6\right)

1-F\left(3,6\right)=

1-\ \left(\frac{1}{2}\cdot3,6-1\right)=

1-\ 0,8=0,2

20\%

Ein weiteres Rechenbeispiel findest du auch in unserem Video zur Dichtefunktion. Dort erfährst du auch, wie du die gesuchten Wahrscheinlichkeiten nicht nur berechnen, sondern die gesuchten Werte aus der Verteilungstabelle ablesen kannst.

Verteilungsfunktion Beispiel: stetig

Wie bereits erwähnt kann zu jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung, egal ob diskret oder stetig, eine Verteilungsfunktion gebildet werden. Im Folgenden wird eine Übersicht über die wichtigsten stetigen Verteilungen mit den dazugehörigen Verteilunsfunktionen gegeben.

Verteilungsfunktion Normalverteilung

Die Formel der Verteilungsfunktion der Normalverteilung sieht sehr ungemütlich aus.

Verteilungsfunktion Normalverteilung

Sie summiert alle einzelnen Werte von -\infty bis zum Wert x auf und bildet das Integral über die Werte der Dichtefunktion.

Aber keine Sorge, da wir es in der Realität mich unendlich vielen stetigen Werten zu tun haben, benutzt man die Verteilungstabelle der Standardnormalverteilung, aus welcher man die gesuchten Wahrscheinlichkeiten nur noch ablesen musst.

Stetige Gleichverteilung Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion der stetigen Gleichverteilung gibt man ebenso wie im diskreten Fall aufgeteilt in Abschnitte an:

Stetige Gleichverteilung Verteilungsfunktion

Verteilungsfunktion Exponentialverteilung 

Ebenso wie bei der Dichtefunktion der Exponentailverteilung lassen sich Wahrscheinlichkeiten mit der kumulierten Verteilungsfunktion in diesem Zusammenhang nur für Werte aus dem positiven Bereich berechnen.

Verteilungsfunktion Exponentialverteilung

 


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