Statistik Wahrscheinlichkeit

Diskret
Diskrete Dichte- und Verteilungsfunktion

Du willst wissen, wie du diskrete Zufallsvariablen mit der Dichte- bzw. Verteilungsfunktion beschreiben kannst? Dann bleib dran!

Erklärung anhand des Würfelexperiments

Um die Dichtefunktion von diskreten Zufallsvariablen zu erklären, betrachten wir wieder die Zufallsvariable X, die die möglichen Augensummen bei dem Wurf eines Würfels beschreibt. Die Dichtefunktion ordnet nun einfach jedem möglichen Ergebnis x eine Wahrscheinlichkeit zu. Mathematisch wird die Dichtefunktion mit P(X=x) dargestellt und mit f(x) abgekürzt. In unserem Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit für jedes mögliche Ergebnis 1/6, wir können also schreiben:

f\left(x\right)=\frac{1}{6} , falls x\ \in\left\{1,2,3,4,5,6\right\}

Graphisch dargestellt würde die Dichtefunktion dann so aussehen:

Dichtefunktion Darstellung diskrete Zufallsvariablen Würfelexperiment
Darstellung Dichtefunktion

Aus der graphischen Darstellung kannst du ganz einfach die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis deines Zufallsexperiments ablesen.

Verteilungsfunktion

Eine andere Möglichkeit eine Zufallsvariable zu beschreiben ist die sogenannte Verteilungsfunktion. Diese gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ergebnis des Zufallsexperiments kleiner oder gleich eines bestimmten Wertes ist. Also zum Beispiel mit welcher Wahrscheinlichkeit du eine Zahl würfelst, die kleiner oder gleich 5 ist. Mathematisch wird die Verteilungsfunktion mit P(X≤x) dargestellt und mit F(x) abgekürzt.
Wenn du die Dichte deiner Zufallsvariablen kennst, kannst du auch ganz einfach die Verteilungsfunktion berechnen. Beim Würfelwurf ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Augenzahl kleiner gleich 5 gewürfelt wird 5/6.

(P(X\le5) =\ \frac{5}{6})

Die zugehörige Verteilungsfunktion sieht dann so aus:

Verteilungsfunktion Darstellung diskrete Zufallsvariablen
Verteilungsfunktion

Anhand der Verteilungsfunktion kannst du außerdem relativ einfach die Werte deiner Verteilung für verschiedene Quantile ablesen. Das Quantil von Zufallsvariablen sagt inhaltlich eigentlich genau dasselbe aus, wie das empirische Quantil von bereits gemessenen Daten. Es teilt den Wertebereich also in 2 Teile, den Bereich „Links“ und den Bereich „rechts“ vom Quantil. Das 20%-Quantil ist also zum Beispiel genau der Wert, der den Wertebereich so aufteilt, dass 20% der Werte kleiner und 80% größer als das Quantil sind.
Um beispielsweise das 20%-Quantil in unserer Grafik zu bestimmen, musst du also nur an der y-Achse von der Wahrscheinlichkeit 0,2 aus waagerecht nach rechts gehen und landest so bei deinem Ergebnis. In unserem Fall eines Würfelwurfs wäre das 20%-Quantil also 2. Das heißt, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% ein Wert kleiner 2 auftritt und mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% ein Wert größer 2.

Quantile diskrete Zufallsvariablen
Bestimmung 20%-Quantil

Das wars auch schon! Zum Abschluss hier noch einmal die allgemeine Schreibweise der diskreten Dichte- und Verteilungsfunktion:

Dichtefunktion: P(X=x) ≙ „Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis X dem Wert x entspricht“
Verteilungsfunktion: P(X≤x) ≙ „Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis X kleiner gleich dem Wert x ist“

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