Statistik Wahrscheinlichkeit

Zentraler Grenzwertsatz

Dein Wissen in der Statistik ist eher grenzwertig? Keine Sorge, dieses Video wird dich in wenigen Sätzen mit zentralen Informationen versorgen.

Definition und mathematische Schreibweise

Die genaue Definition des zentralen Grenzwertsatz besagt, dass sich der Mittelwert einer beliebigen Verteilung von noder die Summe unabhängig und identisch verteilter Zufallsvariablen mit zunehmenden Stichprobenumfang nder Normalverteilung annähern.

Oder mathematisch ausgedrückt:

Zentraler Grenzwertsatz
Mathematischer Ausdruck

Glockenförmige Verteilung zufälliger Prozesse

Hä, du hast gerade absolut gar nichts verstanden? Keine Sorge, so geht es den meisten, deshalb ist hier nochmal eine Erklärung für Normalsterbliche:

Der zentrale Grenzwertsatz beschreibt das Phänomen, dass reale zufällige Prozesse in ihrer Summe häufig glockenförmige Verteilungen aufweisen. So sind zum Beispiel Wachstumsprozesse, wie die Körpergröße aller Männer oder Messvorgänge, wie beispielsweise die Sprungweite von Kängurus, immer normalverteilt.

Zentraler Grenzwertsatz
Glockenförmige Verteilung der Summe realer zufälliger Prozesse

Voraussetzung für den zentralen Grenzwert

Hast du also das Prinzip des zentralen Grenzwertsatzes verstanden, kannst du die Wahrscheinlichkeiten unbekannter Verteilungen approximativ anhand der Normalverteilung berechnen. Dadurch wird auch klar, warum diese die wichtigste Verteilung der Statistik darstellt. Sie ist schließlich Grundlage der meisten anderen Verteilungen.

Einzige Voraussetzung für den zentralen Grenzwert ist, dass du einen Stichprobenumfang n größer als 30 hast. Denn je größer dein n ist, desto besser nähert sich dein Grenzwert der Normalverteilung an. Bei allen Verteilungen mit einem n kleiner gleich 30, wäre die Annäherung an die Normalverteilung einfach zu schlecht.

Zentraler Grenzwertsatz
Wichtigste Voraussetzung: n>30

Verteilung der Wahrscheinlichkeiten für Augensummen

Der zentrale Grenzwertsatz lässt sich sehr gut durch das Werfen eines Würfels verdeutlichen. Unsere Zufallsvariable soll hier die Augensumme nach mehrmaligem Würfeln sein. Werfen wir den Würfel also zweimal, können Augensummen zwischen zwei, also zweimal die eins, oder zwölf, also zweimal die sechs entstehen. Wir haben hier insgesamt 6 * 6, also 36 mögliche Würfelkonstellationen.

Zentraler Grenzwertsatz
Werfen eines Würfels und Notieren der Augensumme

Die sieben beispielsweise kannst du durch sechs verschiedene Varianten erhalten:

1 & 6, 2 & 5, 3 & 4, 4 & 3, 5 & 2, 6 & 1

Sie kommt somit am häufigsten vor.

Die zugehörige Verteilung sieht dann so aus:

Zentraler Grenzwertsatz
Verteilung für zweimaliges Würfeln

Hm, bisher kann man die Glockenkurve der Normalverteilung irgendwie nur erahnen. Würfelst du jetzt aber nicht nur zweimal, sondern viermal, hast du schon 1296 Möglichkeiten und deine Verteilung sieht so aus:

 

Schon viel besser! Diese Verteilung ähnelt der Normalverteilung deutlich stärker.

Alles klar soweit? Sehr gut! Dann bist du jetzt bereit, alles über die verschiedenen Verteilungen zu lernen.

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