Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ziehen mit Zurücklegen-ohne Reihenfolge

Inhaltsübersicht

Du suchst ein einfaches Beispiel für Ziehungen mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge? Dann bleib dran!

Lösung des Zufallsexperiments mit Hilfe der Binominalverteilung

In der Kombinatorik unterscheidet man zwischen verschiedenen Szenarien. Zum einen unterscheidet man zwischen Stichproben mit Reihenfolge, die dann Variation genannt werden, und Stichproben ohne Reihenfolge, die Kombination genannt werde.

Variation, Kombination
Übersicht zur Kombinatorik

In diesem Beitrag betrachten wir Kombinationen, genauer gesagt Ziehungen mit Zurücklegen.

Wir betrachten ein Beispiel an Hand des Urnenmodells

Wie schon bei den Ziehungen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge, betrachten wir auch hier ein Beispiel anhand eines Urnenmodells. Gehen wir wieder davon aus, dass wir eine Kiste mit 8 schwarzen und 4 weißen Kugeln haben. Wir ziehen daraus wieder, ohne hineinzusehen, 4 Kugeln, nur dass wir sie diesmal nach jedem Zug wieder hineinlegen.

Kombination
Ziehungen aus der Urne

Es befinden sich also nach jedem Zug gleich viele Kugeln in der Urne. Jetzt möchtest du wissen, wie viele mögliche Ergebnisse du bei den 4 Ziehungen erzielen kannst, zum Beispiel nur weiße Kugeln, nur schwarze Kugeln, 2 weiße und 2 schwarze und so weiter.

Die Binominalverteilung Formel – leicht abgewandelt

Um die Anzahl an Möglichkeiten zu berechnen benötigst du eine leicht abgewandelte Form des Binomialkoeffizienten:

\binom{N+k-1}{k}=\frac{\left(N+k-1\right)!}{\left(N-1\right)!\ast k!}

Einsetzen von Werten in die Formel

Groß N steht dabei wieder für die Anzahl an Kugeln insgesamt und klein k für die Anzahl an Ziehungen. Wenn wir die gegebenen Werte einsetzen, erhalten wir also:

\binom{12+4-1}{4}=\frac{\left(12+4-1\right)!}{\left(12-1\right)!\ast4!}=365=1365

Es gibt also 1365 verschiedene mögliche Ergebnisse. Als nächstes möchtest du noch die Wahrscheinlichkeit bestimmen, genau eine schwarze Kugel zu ziehen. Dazu musst du wissen, welche Verteilung diesem Zufallsexperiment zugrunde liegt. Bei Ziehungen mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge ist das die Binomialverteilung.

Die Dichtefunktion der Binominalverteilung

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen benötigen wir also die Dichtefunktion der Binomialverteilung, die du vielleicht schon aus unserem passenden Video kennst. Zur Wiederholung hier noch einmal die Formel:

ZIehungen, Dichtefunktion
Formel für die Dichtefunktion der Binominalverteiliung

Klein k steht wieder für Anzahl an Ziehungen. Klein p steht für die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen. Da 8 von 12 Kugeln schwarz sind, gilt p=\frac{2}{3}  . Da wir nach jedem Zug die Kugel wieder zurück legen bleibt diese Wahrscheinlichkeit immer gleich. Jetzt können wir alle Werte einsetzen:

f(1)=\binom{4}{1}\ast\left(\frac{2}{3}\right)^1\ast(1-\frac{2}{3})^{4-1}=4\ast\frac{2}{3}\ast(\frac{1}{3})^3=0,09877

Die Wahrscheinlichkeit genau eine schwarze Kugel zu ziehen liegt also bei ungefähr 9,9

Zusammenfassend solltest du dir merken, dass Zufallsexperimente mit Ziehungen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge einer Binomialverteilung folgen. Das heißt, du musst die Formeln der Binomialverteilung zur Lösung solcher Aufgaben verwenden.

Die wichtigsten Formeln im Überblick

Hier findest du nochmal die wichtigsten Formeln im Überblick:

Binominalverteilung, Dichtefunktino, Verteilungsfunktion
Die wichtigsten Formeln

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