Mikroökonomie

Grenznutzen und Grenzrate der Substitution

Der Grenznutzen und die Grenzrate der Substitution werden dir im Bereich der Mikroökonomie regelmäßig begegnen. Wir zeigen dir zunächst, wie du mit Hilfe der Cobb-Douglas Funktion den Grenznutzen berechnen kannst. Danach widmen wir uns dem zweiten Thema, und erklären dir anhand eines Beispiels, wie du über die Funktion imperfekte Substitute die Grenzrate der Substitution berechnen kannst.

Grenznutzen und Grenzrate der Substitution Definition und Beispiel

Bevor wir zur Grenzrate der Substitution kommen, wenden wir uns zunächst dem Grenznutzen zu: der Grenznutzen, auf Englisch „Marginal Utility“ (MU), gibt dir an, wie sich dein Nutzenniveau verändert, wenn sich die Menge eines Gutes verändert.

Wir gehen davon aus, dass wir nur zwei Güter haben. Das sieht dann graphisch so aus:

Grenznutzen, Grenzrate, MU, Nutzenniveau,Marginal Utility
Grenznutzen: Marginal Utility

In diesem Fall handelt es sich um einen abnehmenden Grenznutzen. Das siehst du daran, dass sich das Nutzenniveau immer weniger erhöht je mehr du bereits von dem Gut besitzt. Stell dir vor x_1 steht hier für Schokolade. Wenn du noch nicht so viel Schokolade gegessen hast, bist du eher bereit mehr für eine weitere Tafel zu zahlen. Wenn du aber bereits sehr viel Schokolade gegessen hast, lässt deine Lust auf eine Weitere nach. Du sprichst der Tafel Schokolade also anfangs einen höheren Nutzen zu.

Die Menge für das andere Gut x_2, z.B. Chips, ist hier schon festgelegt und verändert sich nicht. In diesen Fall geht es allein um die Auswirkung auf dein Nutzenniveau bei der Veränderung der Menge an Schokolade. Kommen wir mit diesem Wissen zum nächsten Schritt: Wir zeigen dir, die du ganz einfach den Grenznutzen berechnen kannst.

Grenznutzen berechnen – einfach erklärt

Dafür brauchst du zunächst eine Nutzenfunktion. In unserem Fall ist das eine Cobb-Douglas Funktion.

Diese sieht zum Beispiel so aus:

Cobb-Douglas-Funktion für Berechnung des Grenznutzens

Die Menge der Chips wollen wir auf  \overline{x_2} = 64 festglegen, da wir ja nur den Grenznutzen der Schokolade x_1 berechnen wollen. Setzen wir die 64 für x_2  in unsere Formel ein, bekommen wir die Funktion U(x_1,\overline {x_2}) = 8x_1 \ ^{0,5}.

Um den Grenznutzen berechnen zu können, musst du jetzt nur noch die Nutzenfunktion nach x_1  ableiten. Das sieht dann so aus:

MU_1= \frac {\partial U(x_1,\overline{x_2})}{\partial x_1}= 4x_1 \ ^{-0,5}

Wenn du jetzt noch einen Wert für x_1, z.B. 100 einsetzt hast du auch schon Deinen Grenznutzen bestimmt. In dem Fall wäre er jetzt bei MU_1=0,4.

Was ist die Grenzrate der Substitution?

Weiter geht’s auch schon mit der Grenzrate der Substitution, auf Englisch „Marginal Rate of Substitution“ (MRS). In der Vorlesung wird die Variable bei der Berechnung auch oft als GRS bezeichnet. Diese stellt die Steigung der Indifferenzkurve dar und gibt dir an, in welchem Verhältnis du zwei Güter gegeneinander austauschen kannst, ohne, dass sich Dein Nutzenniveau ändert. Klingt erstmal schwer, ist aber eigentlich ganz einfach: Wenn für dich z.B. zwei Tafeln Schokolade genauso viel wert sind wie fünf Tüten Chips, ist dein Austauschverhältnis 2 : 5 bzw. \frac {5}{2}.

Die Steigung in diesem Punkt wäre also -\frac{5}{2}. Die Steigung ändert sich aber natürlich je nachdem wo du dich auf der Kurve befindest.

Wichtig ist, dass die Grenzrate der Substitution immer negativ ist, was du an dem fallenden Verlauf der Indifferenzkurve erkennen kannst.

MRS
Grenzrate des Substitution muss immer negativ sein

Aber wieso hat die Indifferenzkurve eigentlich an unterschiedlichen Punkten eine unterschiedliche Steigung und was bedeutet das für die Grenzrate der Substitution?

Stell dir vor, du sitzt auf einem Berg Schokolade, hast also viel Schokolade zur Verfügung. Du bist also gern bereit, Schokoladentafeln gegen Chips einzutauschen. Hast du von Anfang an aber weniger Schokolade, dann ist deine Bereitschaft zu tauschen gesunken und du willst für eine Tafel Schokolade mehr Chipstüten haben als zuvor. Du hast also in jedem Punkt deiner Kurve eine andere Steigung und damit einen anderen Wert für die Grenzrate der Substitution.

Damit du dir das auch hier besser vorstellen kannst, haben wir für dich wieder eine kleine Graphik vorbereitet:

Grenzrate, Grenznutzen
Indifferenzkurve um Grenzrate der Substitution zu berechnen

Du siehst hier an den roten Tangenten, in welchen Verhältnis du Schokolade und Chips gegeneinander austauschen würdest, um trotzdem noch das gleiche Nutzenniveau zu behalten. Die Grenzrate der Substitution hat damit natürlich in beiden Punkten verschiedene Werte.

Weil du ja im oberen Punkt viel mehr Chipstüten hast, ist Schokolade für dich das knappere Gut und du weist ihr einen höheren Wert zu. Im unteren Punkt ist es genau umgekehrt: hier besitzt du viel weniger Chipstüten als Schokoladentafeln. Du würdest an diesem Punkt also mehr Schokolade für eine weitere Tüte Chips eintauschen.

Damit hätten wir auch diesen Punkt abgeschlossen. Schauen wir uns jetzt einmal an, wie sich die Grenzrate der Substitution berechnen lässt.

Grenzrate der Substitution berechnen

Zunächst brauchst du natürlich wieder eine Nutzenfunktion. Diesmal nehmen wir eine Funktion imperfekter Substitute: U(x_1,x_2)=x_1 \ ^\frac{1}{2}*x_2 \ ^\frac{1}{3}.

Für die Grenzrate der Substitution musst du auch hier wieder den Grenznutzen berechnen. Nur diesmal von beiden Gütern. Du leitest die Nutzenfunktion also einmal nach x_1  und einmal nach x_2 ab. Damit erhältst du die Grenznutzen für Schokolade MU_1= \frac{1}{2} x_1 ^{-\frac{1}{2}} * x_2 \ ^\frac{1}{3} und für Chips MU_2= \frac{1}{3}x_1 \ ^{\frac{1}{2}} * x_2 \ ^{-\frac{2}{3}}. Um dann die Grenzrate der Substitution auszurechnen musst du nur noch die Grenznutzen durcheinander teilen. Also \frac{MU_1}{MU_2} = -\frac{3}{2} * \frac{x_2}{x_1}. Wenn du jetzt auch noch Werte für x_1  und x_2  gegeben hast, kannst du durch einsetzten auch schon ein konkretes Austauschverhältnis berechnen.

Nehmen wir z.B. an, du hast ein Güterbündel X^1 = {x_1 = 9, x_2 = 8}. Das heißt, du besitzt neun Tafeln Schokolade und acht Tüten Chips. Dein Austauschverhältnis wäre dann durch einsetzen, in die ausgerechnete Grenzrate der Substitution -\frac{4}{3}.  Du würdest also vier Chipstüten für drei Tafeln Schokolade tauschen.

Zusammenfassung

Um zu erfahren, wie sich dein Nutzen in Abhängigkeit eines Gutes verändert, wenn du zwei Güter gegeneinander austauschst, berechnest du den Grenznutzen. Dieser lässt sich ganz leicht durch das Ableiten der Nutzenfunktion nach einem der beiden Gütern ermitteln.

MRS, MU, Grenzrate
Grenznutzen

Etwas komplizierter ist die Grenzrate der Substitution: Sie gibt dir das Austauschverhältnis zweier Güter an durch das du auf dem gleichen Nutzenniveau, also auf der gleichen Indifferenzkurve bleibst. Die Grenzrate der Substitution errechnest du dir einfach indem du die beiden Grenznutzen dividierst und dann die Werte deines Güterbündels einsetzt.

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