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Cournotscher Punkt

In diesem Artikel erklären wir dir, was man unter dem Begriff „Cournotscher Punkt“ versteht und welche Bedingungen für ihn gelten. Anschließend berechnen wir ihn in einem ausführlichen Beispiel.

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Inhaltsübersicht

Cournotscher Punkt Definition

Als Cournotscher Punkt ist diejenige Kombination aus Cournot Preis und gewinnmaximaler Menge auf der Preis-Absatz-Funktion definiert, bei der ein Unternehmen, das als Monopolist auftritt, sein Gewinnmaximum erzielt. Der Cournotsche Punkt ist damit das Ergebnis einer Monopolpreisbildung.

Du kannst das Gewinnmaximum berechnen, indem du den Grenzumsatz mit den Grenzkosten gleichsetzt und so den Cournotschen Punkt erhältst. Benannt wurde der Punkt nach dem französischem Wirtschaftstheoretiker Antoine-Augustin Cournot.

Cournotscher Punkt einfach erklärt

Im Monopol kann ein Unternehmen, im Gegensatz zur vollkommenen Konkurrenz, wo es den Gleichgewichtspreis akzeptieren muss, den Preis beliebig festlegen. Diese monopolistische Preisbildung hängt damit zum einen von der Nachfrage der Konsumenten bei unterschiedlichen Preisen und zum anderen von den Kosten des Produkts ab.

Im Gewinnmaximum wird dann eine geringere Menge abgesetzt als im Erlösmaximum: Grafisch gesehen liegt der Cournot Punkt damit links vom Erlösmaximum.

Bedingungen für das Cournot-Modell

Für das Cournot-Modell müssen einige Voraussetzungen erfüllt sein:

Es ist wichtig, dass in diesem Modell keine Preisdiskriminierung betrieben wird. Für alle Nachfrager existiert also derselbe Preis, da der Monopolist nicht auf ihre individuelle Zahlungsbereitschaft achtet.
Kapazitätsbeschränkungen werden ebenfalls vernachlässigt. Sollte also genügend Bedarf existieren, kann er bis ins Unendliche produzieren und verkaufen.
Außerdem verhält sich der Monopolist rational, d.h. er will seinen Gewinn stets maximieren.
Wir gehen davon aus, dass sowohl die Preis-Absatz-Funktion als auch die Kostenfunktion bekannt sind.

Cournotscher Punkt Formel

Da wir den Gewinn maximieren möchten, benötigen wir den Grenzgewinn, also die 1. Ableitung des Gewinns und setzen diese gleich null. Wir leiten also nach x ab:

$\frac{dG\left(x\right)}{dx}=0$

Der Gewinn setzt sich aus Umsatz und Kosten zusammen. Du kannst ihn also auch wie folgt beschreiben:

$G\left(x\right)=U\left(x\right)-K\left(x\right)=0$

Das setzen wir nun in unsere Ableitung der Gewinnfunktion ein und stellen anschließend um:

$\frac{dU\left(x\right)}{dx}-\frac{dK\left(x\right)}{dx}=0\ <=>\ \frac{dU\left(x\right)}{dx}=\frac{dK\left(x\right)}{dx}\ \left$

Nun wird deutlich, dass die gewinnmaximale Menge immer dort liegt, wo der Grenzumsatz bzw. Grenzerlös gleich den Grenzkosten ist. Der zusätzliche Umsatz, beim Verkauf einer weiteren Einheit, entspricht also exakt den zusätzlichen Kosten, die bei der Produktion einer weiteren Einheit entstehen.

Cournotscher Punkt Formel einfach erklärt

Einfacher ausgedrückt: Solange der Monopolist durch den Verkauf einer weiteren Einheit einen Gewinn erzielen kann, der Grenzumsatz also größer den Grenzkosten ist, wird er das in jedem Fall tun. Sobald allerdings die Kosten für eine weitere Einheit den Erlös übersteigen, macht der Verkauf für ihn keinen Sinn mehr. Genau an dieser Schnittstelle befindet sich unser Cournotscher Punkt.

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Cournotscher Punkt berechnen

Sobald man sich die Formel hergeleitet hat, ist es nicht mehr schwer den Cournotschen Punkt zu berechnen. Wir lösen die Gleichung Grenzkosten = Grenzumsatz einfach nach x auf und erhalten unsere Cournot-Menge x_c , also die gewinnmaximale Menge.

Setzen wir x_c anschließend in die bekannte Preis-Absatz-Funktion ein, erhalten wir den Cournot Preis p_c bzw. den gewinnmaximalen Preis.

Multiplizierst du nun beides miteinander $(x_c\times p_c)$ erhältst du den Umsatz. Ziehen wir davon noch die Kosten ab, ergibt sich der maximale Gewinn.

Abschließend überprüfen wir noch, ob es sich tatsächlich um ein Gewinnmaximum handelt. Dafür muss die zweite Ableitung der Gewinnfunktion kleiner als null sein.

$\frac{d^2G(x)}{dx^2}$ < 0

Die Funktion ist also rechtsgekrümmt oder konkav und es handelt sich bei unserem Cournotschen Punkt um einen Hochpunkt.

Cournotscher Punkt Beispiel

Zum Abschluss wollen wir den Cournotschen Punkt für ein konkretes Beispiel berechnen.

1. Preis-Absatz- und Kostenfunktion

Betrachten wir dafür die Preis-Absatz-Funktion eines Monopolisten:

p=30-x

Die dazugehörige Kostenfunktion laute:

$K\left(x\right)=10+4x$

Sie setzt sich zusammen aus Fixkosten i.H.v. 10€ und variable Kosten i.H.v. 4€.

2. Umsatzfunktion herleiten

Um den Grenzumsatz bestimmen zu können, benötigen wir zunächst die Umsatzfunktion. Dafür
multiplizieren wir einfach die PAF mit x und erhalten:

$U\left(x\right)=x\cdot p=x\cdot\left(30-x\right)=30x-x^2$

3. Grenzumsatz und Grenzkosten bestimmen

Diese leiten wir nach x ab und erhalten den Grenzumsatz:

$\frac{dU\left(x\right)}{dx}=30-2x$

Analog lässt sich die Grenzkostenfunktion berechnen. Wir leiten die Kostenfunktion nach x ab und erhalten:

$\frac{dK\left(x\right)}{dx}=4$

In diesem Beispiel handelt es sich also um konstante Grenzkosten. Die Kosten für jede weitere produzierte Einheit sind immer gleich.

4. Gewinnmaximale Menge und Cournot Preis bestimmen

Grenzumsatz- und Grenzkostenfunktion setzen wird nun gleich und lösen dann nach x auf:

$\frac{dU\left(x\right)}{dx}=\frac{dK\left(x\right)}{dx}\ <=>30-2x=4\ <=>x_c=13$

Unsere Cournot-Menge beträgt also 13 Mengeneinheiten.

Der Monopolpreis oder Cournot Preis ergibt sich, indem wir x_c in die Preis-Absatz-Funktion von oben einsetzen:

p=30-13=17=p_c

Wir erhalten also einen Cournot Preis von 17. Damit liegt der Cournotsche Punkt bei (13/17).

5. Gewinnmaximum berechnen

Um jetzt noch den Gewinn zu berechnen, müssen wir zuerst den Umsatz und die Kosten herausfinden. Dafür setzen wir x_c und p_c jeweils in die Umsatz- und Kostenfunktion ein.

$U\left(x\right)=x\cdot p=17\cdot 13=221€$

$K\left(x\right)=10+4x=10+4\cdot 13=62€$

Wir haben also einen Umsatz in Höhe von 221€ und Kosten von 62€. Ziehen wir das nun voneinander ab, beträgt der maximale Gewinn 159€.

221€-62€=159€

Abschließend überprüfen wir noch die Krümmung der Gewinnfunktion:

$\frac{d^2G\left(x\right)}{dx^2}=\frac{d^2U\left(x\right)}{dx^2}-\frac{d^2K\left(x\right)}{dx^2}=-2<0$

Da die 2. Ableitung negativ ist, handelt es sich tatsächlich um ein Gewinnmaximum. Dies erkennt man umso deutlicher, wenn man sich die Graphen dazu anschaut.

Unsere Gewinnfunktion ist konkav. Der Gewinn ist genau dann null, wenn die Kostenfunktion gleich der Umsatzfunktion ist. Außerdem erkennen wir, dass unser Erlösmaximum rechts vom Gewinnmaximum liegt. Entscheidend ist allerdings, dass das Gewinnmaximum auf der Höhe der x-Achse liegt, an dem Cournot Preis und gewinnmaximale Menge die PAF schneiden.

Wichtig: Der Cournotsche Punkt liegt immer auf der Preis-Absatz-Funktion. Nicht zu verwechseln mit dem Schnittpunkt von Grenzumsatz und Grenzkosten! Er bestimmt lediglich die horizontale Position des Punktes.

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Quiz zum Thema Cournotscher Punkt

Zusammenfassung

Cournotscher Punkt: Schnittpunkt von Cournot Preis und gewinnmaximaler Menge im Gewinnmaximum eines Monopolisten
Um ihn zu berechnen, setzen wir den Grenzumsatz gleich den Grenzkosten
Hierfür müssen PAF und Kostenfunktion gegeben sein
Sei dir bewusst, dass die Schritte zur Berechnung des Cournotschen Punktes immer die gleichen sind.

zur Videoseite: Cournotscher Punkt

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