Mikroökonomie

Grenzprodukt und Grenzrate der technischen Substitution

Du sitzt schon seit gefühlt 100 Stunden an Deinen Unterlagen zu Mikroökonomie, weil du einfach den Sinn von Grenzprodukt und Grenzrate der technischen Substitution nicht verstehst? Kein Problem! Im folgenden Beitrag erklären wir dir alles, was du dazu wissen musst!

Das Grenzprodukt und die Grenzrate der technischen Substitution anschaulich und einfach erklärt: Was ist das Grenzprodukt?

Beginnen wir mit dem Grenzprodukt: das Grenzprodukt, auf Englisch „Marginal Product“ (MP), gibt Dir an, wie sich der Output Deines Start-ups verändert, wenn sich die Menge einer der beiden Inputfaktoren verändert.
Wir gehen davon aus, dass wir nur zwei Inputfaktoren haben.

Beispiel abnehmendes Grenzprodukt
Beispiel abnehmendes Grenzprodukt

In diesem Fall handelt es sich um ein abnehmendes Grenzprodukt. Das siehst Du daran, dass sich der Outputzuwachs immer weniger erhöht je mehr Du bereits von dem Input eingesetzt hast. Ein gutes Beispiel wäre, wenn das x_1 für die Pflücker eines Weinbauern stehen würden. Der erste Pflücker bringt dem Bauern besonders viel Ertrag, da er sich die besten Pflanzen mit den meisten Trauben aussuchen kann. Der zweite Pflücker muss sich dann schon mit den weniger ertragreichen Pflanzen genügen und bringt dem Bauern weniger Ertrag als der erste Pflücker. Der dritte Pflücker erntet noch weniger Trauben usw.. Der Output sinkt also um jede zusätzlich eingesetzte Inputfaktoreinheit.
Die Menge für den anderen Inputfaktor x_2, z.B. leere Weinflaschen, ist schon festgelegt und lässt sich nicht verändern. In diesen Fall geht es allein um die Auswirkung auf den Output bei der Veränderung von x_1.

Auswirkung auf den Output
Auswirkung auf den Output

 

Das Grenzprodukt berechnen

Im nächsten Schritt zeigen wir Dir, wie Du das Grenzprodukt berechnest. Das ist auch gar nicht so schwer!
Du brauchst zunächst eine Produktionsfunktion. Bei uns lautet sie:

y\left(x_{1,}x_2\right)={x_1}^{0,25}\ast{x_2}^{0,5}.

Dann setzten wir noch die Menge der Weinflaschen auf \bar{x_2}=100 fest, da wir ja nur das Grenzprodukt der Pflücker x_1 berechnen wollen. Jetzt können wir auch schon mit Rechnen anfangen! Setzen wir die 100 für x_2 in unsere Formel ein, bekommen wir die Funktion

y\left(x_{1,}\ \bar{x_2}\right)=10{x_1}^{0,25}.

Für den Grenznutzen musst Du jetzt nur noch die Nutzenfunktion nach x_1 ableiten. Das sieht dann so aus:

{MP}_1=\frac{\partial y\left(x_{1,}\bar{x_2}\ \right)}{\partial x_1} = 2,5{x_1}^{-0,75}.

Wenn du jetzt noch einen Wert für x_1, z.B. 29 einsetzt, hast du auch schon Dein Grenzprodukt bestimmt. In dem Fall wäre es jetzt bei

{MP}_1=0,2.

Beispiel Grenzprodukt
Beispiel Grenzprodukt

Was ist die Grenzrate der technischen Substitution?

So, weiter geht’s auch schon mit der Grenzrate der technischen Substitution, auf Englisch „Technical Rate of Substitution“ (TRS). Sie ist die Steigung der Isoquante und gibt Dir an, in welchem Verhältnis Du 2 Inputfaktoren gegeneinander austauschen kannst, ohne, dass sich Deine Outputmenge, ändert. Klingt erstmal schwer, ist aber eigentlich ganz einfach. Da sich die Inputfaktoren von vorhin für eine Erklärung nicht ganz eignen, nehmen wir uns hier etwas andere Inputfaktoren zur Hilfe: Gehen wir also wieder von der Weinproduktion aus. Diese braucht für das Abfüllen von Weinflaschen Arbeiter und Maschinen. Da Maschinen meist schneller als Menschen arbeiten können, nehmen wir einfach an, dass eine Maschine in der gleichen Zeit doppelt so viele Weinflaschen abfüllt wie ein Arbeiter. Das Austauschverhältnis ist also 1:2 bzw. \frac{1}{2}.

Grenzrate der technischen Substitution
Grenzrate der technischen Substitution

Die Steigung der Isoquante wäre dann -2 in diesem Punkt. Diese ändert sich aber natürlich je nachdem wo Du Dich auf der Isoquante befindest. Wichtig ist, dass die Grenzrate der technischen Substitution immer negativ ist, was Du an dem fallenden Verlauf der Isoquante erkennen kannst.
Damit du Dir das auch hier besser vorstellen kannst, haben wir für dich wieder eine kleine Graphik vorbereitet!

Verlauf der Isoquante
Verlauf der Isoquante

Du siehst hier an den roten Tangenten, in welchen Verhältnis du Arbeiter und Maschinen gegeneinander austauschen könntest, um trotzdem noch die gleiche Outputmenge zu erhalten also auf der gleichen Isoquante zu bleiben. Die Grenzrate der technischen Substitution hat aber natürlich in beiden Punkten verschiedene Werte.
Im oberen Punkt hast du wesentlich mehr Maschinen als Arbeiter für das Abfüllen der Weinflaschen eingeplant. Da Dir eben wenige Arbeiter zur Verfügung stehen, musst Du umso mehr Maschinen einsetzten, um auf die gleiche Outputmenge zu kommen. Im unteren Punkt ist es genau umgekehrt.

Grenzrate der technischen Substitution: Beispiel

Schauen wir uns das Ganze mal rechnerisch an: Zunächst brauchst Du natürlich wieder eine Produktionsfunktion, wir nehmen eine Funktion imperfekter Substitute:

y\left(x_{1,}x_2\right)={x_1}^\frac{1}{2}\ast{x_2}^\frac{1}{3}

Für die Grenzrate der technischen Substitution musst Du auch hier wieder den Grenznutzen ausrechnen. Nur diesmal von beiden Gütern. Du leitest die Produktionsfunktion also einmal nach x_1 und einmal nach x_2 ab. Damit erhältst Du das Grenzprodukt für Arbeiter

{MP}_1=\ \frac{1}{2}{x_1}^{-\frac{1}{2\ \ }}*{x_2}^\frac{1}{3}

und für Maschinen

 {MP}_2=\ \frac{1}{3}{x_1}^\frac{1}{2\ \ }*{x_2}^{-\frac{2}{3}}

Um dann die Grenzrate der technischen Substitution auszurechnen, musst Du nur noch die Grenzprodukte durcheinander teilen.Also

\frac{{MP}_1}{{MP}_2} = -\frac{3}{2\ }\ast\frac{x_2}{x_1}

Wenn du jetzt auch noch Werte für x_1 und x_2 gegeben hast, kannst Du durch Einsetzten auch schon ein konkretes Austauschverhältnis berechnen.
Nehmen wir z. B. an, Du hast ein Inputfaktorbündel

X^{1\ }=\ \left\{x_1=9,\ x_2=8\ \right\}

Das heißt, Du hast 9 Arbeiter eingestellt und 8 Maschinen in Betrieb, dann wäre Dein Austauschverhältnis durch Einsetzten in Deine ausgerechnete Grenzrate der technischen Substitution = -\frac{4}{3}. Du würdest also 4 Maschinen für 3 Arbeiter tauschen. Hier scheinen also die Arbeiter eine höhere Outputmenge zu produzieren als die Maschinen. Besser zu verstehen ist das vielleicht, wenn Du Dir auch das einmal graphisch anschaust. Ergänzen wir also unsere vorherige Graphik durch unser Güterbündel.

Beispiel zu Grenzrate der technischen Substitution
Beispiel zu Grenzrate der technischen Substitution

Hier siehst Du, dass Du zu Beginn eben 9 Arbeiter eingestellt hast und 8 Maschinen besitzt. Deine Grenzrate der technischen Substitution ist also -\frac{4}{3}.

Kurze Zusammenfassung

Um zu erfahren, wie sich die Outputmenge in Abhängigkeit eines Inputfaktors verändert, berechnest Du das Grenzprodukt. Dieses lässt sich ganz leicht durch das Ableiten der Produktionsfunktion nach einem der beiden Inputfaktoren ermitteln. Etwas komplizierter ist die Grenzrate der technischen Substitution: Sie gibt Dir das Austauschverhältnis zweier Inputfaktoren an durch das Du die gleiche Produktionsmenge erhältst, also auf der gleichen Isoquante bleibst. Die Grenzrate der technischen Substitution errechnest Du Dir einfach indem Du die beiden Grenzprodukte in ein Verhältnis setzt, also dividierst, und dann die Werte Deines Faktorbündels einsetzt.

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