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Zweite Ableitung

Du fragst dich, wie die zweite Ableitung dir bei einer Kurvendiskussion hilft? Hier findest du alle wichtigen Informationen dazu.

Inhaltsübersicht

Die Zweite Ableitung — einfach erklärt

In der Mathematik kannst du Funktionen ableiten. Doch diese erste Ableitung kannst du nochmal ableiten. Dadurch erhältst du dann die zweite Ableitung deiner Funktion.

Die zweite Ableitung hat mehrere verschiedene Aufgaben. Sie zeigt dir beispielsweise die Art der Extrema, das Krümmungsverhalten und mögliche Wendepunkte deiner ursprünglichen Funktion.

Die Schreibweise der zweiten Ableitung ist f''(x) . Um sie zu berechnen, gehst du genauso vor, wie bei der Bildung der ersten Ableitung. Du multiplizierst also jede Potenz einer Variable mit der Zahl vor der Variable und verringerst dann ihren Exponenten um eins. Hat eine Zahl keine Variable dahinter, verschwindet sie durch das Ableiten.

Zum Beispiel:
$f(x) = x^{3} + 2x^{2} - 1$
$f'(x) = 3x^{2} + 4x$ f''(x) = 6x + 4

Zusammenhang von Funktion 1. und 2. Ableitung

Bevor wir uns die zweite Ableitung genauer anschauen, ist es wichtig zu verstehen, wie sie mit der ursprünglichen Funktion und der ersten Ableitung zusammenhängt.

Funktion:
Die Funktion beschreibt eine Kurve in einem Koordinatensystem. Sie gibt an, welchen Wert y die Funktion für einen bestimmten Wert x hat.
Erste Ableitung:
Die erste Ableitung beschreibt die Steigung der Funktion . Eine positive Steigung bedeutet, dass die Funktion steigt. Eine negative Steigung bedeutet, die Funktion fällt. Ist die Steigung Null ist, liegt ein Extrempunkt (Maximum oder Minimum) vor.
Zweite Ableitung:
Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung der Funktion . Eine positive zweite Ableitung bedeutet, dass die Funktion rechtsgekrümmt (konvex) ist. Eine negative zweite Ableitung bedeutet, sie ist linksgekrümmt (konkav). Ist die zweite Ableitung Null, liegt meist ein Wendepunkt vor. Das ist ein Punkt, an dem sich das Krümmungsverhalten z. B. von links- zu rechtsgekrümmt ändert.

Zusammenfassung:

Die Funktion gibt den Funktionsgraphen an.
Die erste Ableitung gibt die Steigung des Graphen an.
Die zweite Ableitung gibt die Krümmung des Graphen an.

2. Ableitung und Extrempunkte

Mit der zweiten Ableitung kannst du feststellen, ob bei deiner Funktion ein Extrempunkt (Minimum oder Maximum) vorliegt. Denn existiert die zweite Ableitung, dann hat deine Funktion mindestens einen Extrempunkt. Extrempunkte sind Punkte auf dem Funtkionsgraphen, an dem die Funktion einen Hoch– oder Tiefpunkt hat.

Erklärung:

Wenn die zweite Ableitung ist, liegt ein Minimum vor.
Wenn die zweite Ableitung ist, liegt ein Maximum vor.

Beispiel:

Nehmen wir die Funktion $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$ .

Berechne die erste Ableitung:

$f'(x) = 3x^{2} - 6x$
Berechne die zweite Ableitung:

$f''(x) = 6x - 6$
Berechne die Punkte, an denen die erste Ableitung Null wird. Dies sind deine kritischen Punkte.
- Setze :
  
  $3x^{2} - 6x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0$
  
  $x = 0 \text{ oder } x = 2$
Setze die kritischen Punkte in die zweite Ableitung ein. So bestimmst du, ob und welches Extremum vorliegt:
- Bestimme und :
- Für :
  $f''(0) = 6*(0) - 6 = -6 \Rightarrow <0\:\text{Maximum}$
- Für :
  $f''(2) = 6*(2) - 6 = 6 \Rightarrow >0\:\text{Minimum}$

Du hast also an der Stelle f(0) einen Hochpunkt und bei f(2) einen Tiefpunkt.

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2. Ableitung und Krümmungsverhalten

Die zweite Ableitung zeigt auch das Krümmungsverhalten einer Funktion. Die Krümmung zeigt dir, wie stark eine Funktion an einer bestimmten Stelle nach links oder rechts gekrümmt ist.

Das kannst du dir vorstellen wie die Position eines Lenkrades, wenn du die Kurven des Funktionsgraphen abfähren würdest. Solange wie du das Lenkrad nach links steuern würdest, ist der Funktionsgraph auch linksgekrümmt. Ebenso ist die Funktion rechtsgekrümmt, solange du dein Lenkrad nach rechts einschlagen würdest.

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Erklärung:

Eine positive zweite Ableitung bedeutet, dass die Funktion in diesem Bereich des Grapfen (Intervall) rechtsgekrümmt ist (konvex).
Das heißt, die Funktion steigt dort immer schneller an und fällt immer langsamer.
Eine negative zweite Ableitung bedeutet, dass die Funktion in diesem Bereich linksgekrümmt ist (konkav).
Das heißt, die Funktion fällt dort immer schneller ab oder steigt immer langsamer.

Beispiele:

Nehmen wir die Funktion f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 .

Berechne die erste Ableitung:

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4$
Berechne die zweite Ableitung:

$f''(x) = 12x^2 - 24x + 12$
Setze , um die kritischen Punkte zu finden:
$12x^2 - 24x + 12 = 0$

$\leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = 0$

$\leftrightarrow (x - 1)^2 = 0$

$\leftrightarrow x = 1$

Hinweis:
Untersuche das Krümmungsverhalten in den Intervallen um den kritischen Punkt :
- Für , ist , also ist die Funktion in diesem Intervall rechtsgekrümmt.
- Für , ist , also ist die Funktion in diesem Intervall linksgekrümmt.

Schauen wir uns dazu den Funktionsgraphen an:

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Du kannst sehen, dass die Funktion links von x = 1 linksgekrümmt ist. Hier steuerst du also dein Lenkrad bis zum Punkt x = 1 nach links. Und rechts von x = 1 bleibt dein Lenkrad immer nach rechts eingeschlagen. Die Funktion ist dort also rechtsgekrümmt. An der Stelle x = 1 selbst bleibt dein Lenkrad allerdings genau in der Mitte. Hier könnte also ein Wendepunkt sein.

2. Ableitung und Wendepunkte

Wendepunkte sind die Punkte des Funktionsgraphen, an denen sich das Krümmungsverhalten der Funktion ändert. Das bedeutet, die Funktion wechselt dort von linksgekrümmt zu rechtsgekrümmt oder umgekehrt.

Du kannst dir das als den Punkt auf dem Graphen vorstellen, wo du beim Entlangfahren dein Lenkrad mittig halten und einfach geradeaus fahren würdest.

Erklärung:

Damit ein Wendepunkt vorliegt, müssen die notwendige und die hinreichende Bedingung erfüllt sein. Dafür brauchst du neben der zweiten auch die dritte Ableitung.

Notwendige Bedingung: Die zweite Ableitung muss an der Stelle Null sein, also
Hinreichende Bedingung: Die dritte Ableitung muss an derStelle ungleich Null sein, also $f'''(x) \neq 0$

Beispiel:

Nehmen wir wieder die Funktion f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 .

Berechne die zweite Ableitung:

$f''(x) = 6x - 6$
Setze die zweite Ableitung gleich Null, und erfülle so die notwendige Bedingung des Wendepunkts:

$6x - 6 = 0$

$x = 1$
Berechne die dritte Ableitung:
$f'''(x) = 6$
Setze in die dritte Ableitung ein und prüfe die hinreichende Bedingung des Wendepunkts:
$f'''(1) = 6$

Da $f'''(1) \neq 0$ ist, liegt bei ein Wendepunkt vor.

Schauen wir uns noch den Funktionsgraphen dazu an:

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Der Wendepunkt befindet sich in (1|0).

zweite Ableitung — häufigste Fragen

Was gibt die zweite Ableitung an?
Die zweite Ableitung benutzt du oft, um das Krümmungsverhalten einer Funktion zu bestimmen. Denn wenn ist, bedeutet das, die Funktion ist im betrachteten Intervall rechtsgekrümmt. Wenn gilt ist sie dort linksgekrümmt.
Was ist, wenn die zweite Ableitung gleich null ist?
Wenn die zweite Ableitung ist, ist die Funktion konstant. Sie ist im betrachteten Intervall also weder rechts- noch linksgekrümmt. Denn die Ableitung von konstanten Funktionen ist immer gleich Null.
Was verbindet Wendepunkt und Ableitung?
Die zweite und dritte Ableitung sind essenziell zum Berechnen von Wendepunkten. Denn nur wenn an der Stelle x und $f'''(x) \neq 0$ gelten, liegt dort ein Wendepunkt vor.

Kurvendiskussion

Nun hast du alle wichtigen Verwendungszwecke für die zweite Ableitung kennengelernt. Wenn du dich noch näher mit der Kurvendiskussion beschäftigen willst, schau hier in unseren Beitrag.

Zum Video: Kurvendiskussion

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