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Lineare Funktionen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Lineare Funktionen – Was ist das?

Lineare Funktionen Formel: y = mx+b

Lineare Funktionen Graf: Gerade

Lineare Funktionsgleichung bestimmen

Besonderheiten waagrechter und senkrechter Geraden

Lage von Geraden

Du willst alles über Lineare Funktionen wissen? Hier in diesem Artikel erklären wir dir alles zur Funktionsgleichung, zur Steigung und zu den Spezialfällen. Am Ende des Textes findest du einige Aufgaben mit Lösungsvorschlägen zum selber üben.

Statt einen langen Text zu lesen, willst du lineare Funktionen lieber schnell verstehen? Dann schau dir einfach dieses Video an.

Inhaltsübersicht

Lineare Funktionen einfach erklärt

Lineare Funktionen gehören zu den einfachsten Funktionstypen. Sie veranschaulichen einen linearen Zusammenhang zwischen der Definitionsmenge und dem Wertebereich . Du kannst diesen Zusammenhang immer in Form einer Gerade graphisch darstellen. Dabei gibt es verschiedene Arten von Geraden: Sie können steigen, fallen, senkrecht oder waagrecht im Koordinatensystem liegen. Letzteres schauen wir uns später genauer an. Linear bedeutet aber in jedem dieser Fälle, dass du eine gleichmäßige Zu- oder Abnahme gegeben hast.

Gerade lineare Funktion Koordinatensystem — Funktionsgraph einer linearen Funktion: Gerade

Hinweis: Einen leichteren Einstieg ins Thema findest du in unserem Beitrag Lineare Funktionen einfach erklärt .

Lineare Funktionen – Was ist das?

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Was genau lineare Funktionen sind, kann man sich am besten an einem Beispiel im Supermarkt vorstellen. Angenommen, eine Tafel Schokolade kostet 1,20€. Kaufst du zwei Tafeln dieser Schokolade, so musst du 2,40€ bezahlen. Es besteht also ein direkter Zusammenhang zwischen der Anzahl an Schokoladentafeln und dem Preis. Diesen Zusammenhang kannst du auf verschiedene Arten darstellen. Die einfachste Möglichkeit ist eine Wertetabelle.

Wertetabelle Zusammenhang zwischen Anzahl der gekauften Schokoladentafeln und Preis

Anzahl	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Preis	0	1,20€	2,40€	3,60€	4,80€	6,00€	7,20€	8,40€	9,60€	10,80€	12,00€

Du kannst die Werte auch graphisch veranschaulichen. Dazu zeichnest du alle Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatensystem, das die Anzahl an Tafeln auf der x-Achse abträgt und den Preis auf der y-Achse. Wenn du die Punkte verbindest, bekommst du eine Ursprungsgerade mit Steigung 1,2 .

lineares Wachtum Gerade Anzahl Euro — Linearer Zusammenhang zwischen Anzahl und Preis

Diesen Zusammenhang kann man mathematisch auch in Formeln ausdrücken:

Preis = 1,20€ mal Anzahl

y = 1,20 € $\cdot\quad x$

Lineare Funktionen Formel: y = mx+b

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Allgemein kann man lineare Funktionen darstellen mit

Funktionsgleichung: Lineare Funktionen

$f(x) = m \cdot x + b$

Das gibt hier die Steigung an, während den y-Achsenabschnitt darstellt. In unserem Schokoladen-Beispiel war somit m=1,2 und b=0 .

Steigung

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Die Steigung einer linearen Funktion gibt an, wie schnell sich die Funktionswerte verändern. Dabei gibt es drei verschiedene Möglichkeiten:

: Die Gerade steigt.
: Du erhältst eine waagerechte Gerade.
: Die Gerade fällt.

Den Fall m=0 werden wir genauer im Abschnitt zu den waagrechten und senkrechten Geraden untersuchen. Jetzt nehmen wir an, dass die Steigung immer positiv oder negativ ist. Um sie zu bestimmen, gibt es verschiedene Möglichkeiten.

Am einfachsten ist es direkt am Funktionsgraphen mithilfe eines Steigungsdreiecks .

Steigungsdreieck, lineare Funktion, Gerade — Steigungsdreieck von linearen Funktionen

Dazu wählst du zwei beliebige Punkte P(x_1|y_1) und Q(x_2|y_2) auf der Geraden und zeichnest das dadurch festgelegte rechtwinklige Dreieck ein. Die Steigung der linearen Funktion kannst du nun als Differenzenquotient berechnen:

Steigung mit dem Steigungsdreieck berechnen

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$

In unserem Beispiel-Bild haben wir dazu die Punkte P(3|3) und Q(6|5) gewählt. Die Steigung beträgt daher

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{5-3}{6-3}=\cfrac{2}{3}$ .

Alternativ kannst du die Steigung von linearen Funktionen berechnen, wenn du zwei Punkte und gegeben hast, oder beispielsweise auch einen Punkt und den y-Achsenabschnitt . Wie genau, erklären wir dir im separaten Artikel Steigung berechnen .

Manchmal interessiert man sich in der Mathematik auch für den Steigungswinkel $\alpha$ . Das ist der positive Winkel, den die Funktion mit der x-Achse einschließt. Du kannst ihn mit dieser Formel berechnen:

Formel zur Berechnung des Steigungswinkels

$m = \tan(\alpha)$ und $\alpha = \arctan(m)$

Dabei ist der Arcustangens die Umkehrfunktion der Tangens-Funktion. In unserem vorherigen Beispiel mit Steigung $m=\frac{2}{3}$ beträgt der Steigungswinkel daher $\alpha = \arctan(\frac{2}{3})=33,69^\circ$ .

y-Achsenabschnitt

Nun wollen wir noch das in der Funktionsgleichung $f(x) = m \cdot x + b$ genauer untersuchen. Es gibt den y-Achsenabschnitt an, genauer gesagt den Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Wenn du also beispielsweise die Geradengleichung $f(x) = 2 \cdot x -3$ betrachtest, dann hat sie den y-Achsenabschnitt bei b= -3 .

Merke: Lineare Funktionen mit b=0 heißen Ursprungsgeraden. Sie veranschaulichen stets eine direkte Proportionalität.

Nullstellen berechnen: Lineare Funktionen

Wenn du wissen willst, wo lineare Funktionen die x-Achse schneiden, dann musst du ihre Nullstellen berechnen. Das heißt, du bestimmst

$0 = m\cdot x + b$

und löst nach auf. Für die Funktion y=-2x+1 erhältst du dann zum Beispiel

0=-2x+1

$\Rightarrow x=\frac{1}{2}.$

Somit hat die Funktion bei $(\frac{1}{2}|0)$ eine Nullstelle.

Ausführlich erklärt findest du das im Artikel Nullstellen berechnen . Dort zeigen wir dir auch mehrere Beispiele, wie du die Nullstellen berechnen kannst.

Lineare Funktionen Graf: Gerade

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Lineare Funktionen haben als Funktionsgraphen immer eine Gerade. Am einfachsten zeichnest du sie, indem du zwei Punkte auf der Geraden berechnest, und diese dann verbindest. Verwende dazu am besten den y-Achsenabschnitt mit den Koordinaten (0|b) .

Merke: Eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig definiert!

Alternativ kannst du auch einen Punkt wählen und hier die Steigung abtragen, indem du entsprechend viele Kästchen nach rechts beziehungsweise oben läufst. Im Bild bei einem y-Achsenabschnitt von b=-1 und einer Steigung m=0,5 bedeutet das, dass du zwei Kästchen nach rechts und ein Kästchen nach oben gehst, um den nächsten Punkt zu erhalten.

y-Achsenabschnitt Steigung lineare Funktion Gerade — Lineare Funktionen zeichnen: Gerade

Lineare Funktionsgleichung bestimmen

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Möchtest du lineare Funktionen anhand ihrer Funktionsgleichung untersuchen, so gehst du ganz unterschiedlich vor. Kennst du den Funktionsgraphen, also die Gerade, dann kannst du den Funktionsterm direkt ablesen, indem du und bestimmst. Aus den Koordinaten zweier Punkte kannst du die Funktionsgleichung auch einfach berechnen.

Alle Möglichkeiten, wie du dabei vorgehen kannst, erklären wir dir ausführlich im Artikel Funktionsgleichung .

Besonderheiten waagrechter und senkrechter Geraden

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senkrechte Gerade und waagrechte Gerade, lineare Funktion — Senkrechte und waagrechte lineare Funktionen

Eine Besonderheit stellen die waagrechten und die senkrechten Geraden im Koordinatensystem dar. Waagrechte lineare Funktionen haben immer die Steigung m=0 und damit die Funktionsgleichung f(x)=b . Hier kannst du kein Steigungsdreieck einzeichnen. Auch der Steigungswinkel ist hier konstant $\alpha = 0$ .

Das andere Extremum sind die senkrechten Geraden. Hierbei handelt es sich aber klassischerweise nicht um lineare Funktionen, da hier einem x-Wert alle y-Werte zugeordnet werden. Senkrechte Geraden haben also immer die Funktionsgleichung x=c . Ihre Steigung beträgt sozusagen unendlich und ihr Steigungswinkel ist immer $90^\circ$ .

Lage von Geraden

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Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, wie zwei lineare Funktionen in einem zweidimensionalen Koordinatensystem zueinander liegen können. Entweder sind zwei lineare Funktionen parallel oder sie haben einen eindeutigen Schnittpunkt. Dass zwei lineare Funktionen parallel sind, erkennst du immer daran, dass sie dieselbe Steigung haben.

lineare Funktionen, Geraden parallel — Zwei parallele lineare Funktionen

Hast du zwei parallele lineare Funktionen gegeben, so musst du lediglich unterscheiden, ob sie echt parallel sind oder identisch. Das erkennst du sofort am y-Achsenabschnitt. Ist er verschieden, haben die Geraden keinen einzigen gemeinsamen Punkt.

Dass die Geraden im Bild echt parallel sind, siehst du direkt am unterschiedlichen y-Achsenabschnitt in den Funktionsgleichungen

$f(x) = -\frac{1}4}\cdot x+4$

$g(x) = -\frac{1}4}\cdot x+2.$

Ob zwei lineare Funktionen identisch oder echt parallel sind, kannst du auch mit der Punktprobe überprüfen. Dazu setzt du einen Punkt der ersten Gerade in die zweite ein und überprüfst, ob du ein sinnvolles Ergebnis erhältst. Allgemein kannst du die Punktprobe immer dann verwenden, wenn du wissen willst, ob ein bestimmter Punkt auf der Gerade liegt, oder nicht.

Schnittpunkt zweier Geraden

Angenommen du hast zwei lineare Funktionen gegeben, und möchtest ihren Schnittpunkt bestimmen. Dann setzt du sie am besten gleich und berechnest f(x) = g(x) . Das zeigen wir dir ausführlich im Artikel Schnittpunkt zweier Geraden.

Schnittpunkt zweier Geraden, lineare Funktionen — Schnittpunkt zweier Geraden

Schnittwinkel zweier Geraden

Auch den Schnittwinkel kannst du für zwei lineare Funktionen berechnen, insbesondere, wenn sich die beiden Geraden in einem $90^\circ$ -Winkel schneiden. Das erkennst du an der Steigung: Hat die erst Gerade die Steigung , so ist die Steigung der zweiten linearen Funktion $-\frac{1}{m}$ .

Schnittwinkel lineare Funktion rechter Winkel Steigung 90° — Lineare Funktionen schneiden sich im 90°-Winkel

Lineare Funktionen Aufgaben

Im Folgenden findest du verschiedene Übungen mit Lösungen zum Thema Lineare Funktionen.

Aufgabe 1

a) Zeichne die Gerade durch die beiden Punkte P(-4|6) und Q(4|0) .

b) Bestimme die zugehörige Funktionsgleichung.

c) Berechne den Steigungswinkel der Funktion.

Aufgabe 2

Überprüfe zwei lineare Funktionen auf ihre Lage im Koordinatensystem. Berechne gegebenenfalls den Schnittpunkt. Schneiden sie sich in einem besonderen Winkel?

a) $f(x) = -2 \cdot x +3,5$ und $g(x) =\frac{1}{2}\cdot x -4$

b) $f(x) = \frac{3}{2} \cdot x +3$ und $g(x)= 1,5 \cdot x-1$

Lösung Aufgabe 1

Lineare Funktion Gerade Steigungswinkel Steigungsdreieck — Aufgabe 1 a): Lineare Funktionen zeichnen

b) Durch Ablesen sieht man sofort, dass b=3 gelten muss. Außerdem ist die Gerade fallend, weswegen m<0 sein muss. Um die Steigung zu berechnen, betrachten wir das Steigungsdreieck, das die Gerade mit den beiden Koordinatenachsen einschließt. Hier gehst du vier Schritte nach rechts und drei nach unten. Somit ist $m=-\frac{3}{4}$ und

$f(x) = -\frac{3}{4}\cdot x +3$ .

c) Der Steigungswinkel für eine Gerade mit negativer Steigung berechnet sich aus $\alpha = \arctan(m)+180^\circ$ . Hier ist daher

$\alpha = \arctan(-\frac{3}{4})+180^\circ \approx 143,13^\circ.$

Lösung Aufgabe 2

a) Die beiden Funktionen haben eine unterschiedliche Steigung, nämlich m_1 = 2 und $m_2 = -\frac{1}{2}$ . Anhand der Steigung erkennt man, dass die Geraden senkrecht aufeinander stehen. Um ihren Schnittpunkt zu berechnen, setzen wir sie gleich

$-2 \cdot x +3,5 = \frac{1}{2}\cdot x -4.$

Auflösen ergibt x=3 . Setzen wir diesen Wert in eine der beiden Gleichungen ein, erhalten wir y=-2,5 . Der Schnittpunkt liegt bei S(3|-2,5) .

b) Die Geraden sind echt parallel, da sie dieselbe Steigung, aber einen unterschiedlichen y-Achsenabschnitt haben.

Quadratische Funktionen

Neben den linearen, gibt es auch noch die quadratischen Funktionen. Du erkennst sie im Koordinatensystem daran, dass sie als Funktionsgraph eine Parabel haben. Schau dir unbedingt unser Video dazu an, um alles Wichtige über quadratische Funktionen zu erfahren!

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