Bernoulli Verteilung
Dieser Artikel behandelt die Bernoulli Verteilung und erklärt diese diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung durch das Bernoulli Verteilung Beispiel: Münzwurf. Außerdem findest du hier eine Zusammenfassung der wichtigsten Formeln.
Alles zu Bernoulli Experimenten erfährst du aber auch in Bernoulli Komma nichts in unserem Video ohne Leseaufwand!
Inhaltsübersicht
Bernoulli einfach erklärt
Die Bernoulli Verteilung beschreibt ein Zufallsexperiment, bei dem es nur zwei mögliche Ausgänge gibt. Meistens wird ein mögliches Ergebnis als „Erfolg“ bezeichnet und das andere als „Misserfolg“. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg wird durch den Buchstaben p beschrieben, die für einen Misserfolg mit dem Buchstaben q. Die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg berechnet sich dabei einfach als Gegenwahrscheinlichkeit für einen Erfolg, also q=1-p. Mathematisch drückt man eine bernoulli-verteilte Zufallsvariable wie folgt aus:
X~
Bernoulli Verteilung Beispiel
Ein alltägliches Beispiel für ein Bernoulli Experiment ist die Qualitätsprüfung von Produkten. Man kann davon ausgehen, dass in etwa 2% der hergestellten Teilen fehlerhaft sind. Diese unbrauchbaren Teile werden als Misserfolg betrachtet und somit durch den Buchstaben q beschrieben. Es gilt hier q= 0,02. Die Gegenwahrscheinlichkeit p= 0,98 sagt aus, dass man zu 98% ein einwandfreies Produkt erhält. Ein weiteres klassisches Beispiel für eine Bernoulli Verteilung ist das Werfen einer Münze. Hier kann man beispielsweise „Kopf“ als Erfolg festlegen und „Zahl“ als Misserfolg. Das Resultat Kopf wird dann durch den Wert 1 beschrieben und das Resultat Zahl durch den Wert 0. Die Menge der möglichen Ergebnisse, auch Träger genannt, besteht also nur aus 0 und 1.
Bernoulli Verteilung Dichte
Mit diesen Formeln können wir jetzt auch ganz einfach die Dichte der Bernoulli Verteilung für unser Beispiel bestimmen. Wir erinnern uns, dass dadurch jedem Ergebnis eine passende Wahrscheinlichkeit zuordnet wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass du Kopf beziehungsweise Zahl wirfst ist jeweils 0,5. Die Wahrscheinlichkeit für andere Ergebnisse ist gleich null. Funktion ist also dreigeteilt und sieht wie folgt aus:
Verteilungsfunktion der Bernoulliverteilung
Schauen wir uns als nächstes noch die Verteilungsfunktion der Bernoulliverteilung an. Die Verteilungsfunktion gibt für jeden Wert an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ergebnis kleiner gleich diesem Wert eintritt. Für die Bernoulli-Verteilung ist diese wieder dreigeteilt und sieht wie folgt aus:
Der oberste Abschnitt beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner als 0 annimmt. Da in unserem Beispiel aber nur die beiden Werte 0 und 1 herauskommen können, ist die Wahrscheinlichkeit für einen Wert kleiner 0 gleich 0. Die zweite Stufe beschreibt den Bereich zwischen 0 und 1. Dabei ist die 0 noch in dem Bereich enthalten, die 1 aber nicht! Da in diesem Bereich also nur die 0 ein mögliches Ergebnis ist, ist die Wahrscheinlichkeit eine Zahl kleiner gleich 0 zu erzielen, genau die Wahrscheinlichkeit die Zahl 0 zu erzielen, also 0,5. Der dritte Abschnitt beschreibt schließlich den Bereich für Ergebnisse größer gleich 1. Da in unserem einfachen Bernoulli-Experiment nur die Werte 0 und 1 herauskommen können, ist die Wahrscheinlichkeit z.B. einen Wert kleiner gleich 5 zu erhalten 1. Genauso ist die Wahrscheinlichkeit einen Wert kleiner gleich 100 zu erhalten 1. Die Funktion geht also konstant mit dem Wert 1 weiter.
Bernoulli Verteilung Erwartungswert
Prima, die Dichte- und die Verteilungsfunktion haben wir schon geschafft! Jetzt schauen wir uns noch die Formel für den Erwartungswert und die Varianz an. Der Erwartungswert bei einem Bernoulli Experiment lässt sich ganz einfach berechnen. Er entspricht einfach der Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg, also p. In unserem Fall wäre der Erwartungswert also gleich 0,5.
E(x)=p
Die Formel für die Varianz sieht so aus:
V(X)= p(1-p)
Diese Formel lässt sich aus der allgemeinen Formel für die Berechnung der Varianz im diskreten Fall herleiten, das ersparen wir dir aber jetzt. Am besten merkst du dir die Formel einfach oder schreibst sie dir in deine Formelsammlung.