Wahrscheinlichkeitsrechnung

Vierfeldertafel

Im folgenden Beitrag erklären wir dir anhand eines Beispiels, wie du eine Vierfeldertafel ausfüllen musst, die einzelnen Häufigkeiten berechnest, und die Ergebnisse schließlich interpretierst. 

Mit unserem Lernvideo Vierfeldertafel erklären wir dir das Thema anschaulich und unterhaltsam!

Inhaltsübersicht

Vierfeldertafel einfach erklärt

Eine Vierfeldertafel ermöglicht dir in der Stochastik die Wahrscheinlichkeiten und die Zusammenhänge zweier unterschiedlicher Ereignisse (und ihrer Gegenereignisse) übersichtlich darzustellen. Mit ihr kannst du sehr einfach Angaben über absolute und relative Häufigkeiten , aber auch bedingte Wahrscheinlichkeiten , treffen. Die Vierfeldertafel stellt eine Alternative zum Baumdiagramm dar.

Allgemeine Form

Die Vierfeldertafel kannst du immer dann einsetzen, wenn du den Zusammenhang zwischen zwei unterschiedlichen Ereignissen untersuchen möchtest. Diese Ereignisse könnten zum Beispiel Eigenschaften von Personen sein, wie \mathbf{R} für Personen, die regelmäßig Rad fahren und \mathbf{M} für Personen die männlich sind. Dazu brauchst du noch die entsprechenden Gegenereignisse. Das wären dann einfach die Personen, die nicht regelmäßig Rad fahren und diejenigen, die nicht männlich sind. Die Gegenereignisse werden dann mit \mathbf{\overline{R}} und \mathbf{\overline{M}} bezeichnet. Wie du die Ereignisse genau beschriftest, ist aber dir überlassen.

\mathbf{R}: Radfahrer
\mathbf{\overline{R}}: kein Radfahrer
\mathbf{M}: männlich
\mathbf{\overline{M}}: weiblich (nichtmännlich)

Beschriftung und äußere Felder

Eine Vierfeldertafel besteht nun aus vier Spalten und vier Zeilen, wobei die Symbole für Ereignis 1 (Radfahrer/kein Radfahrer) in der ersten Zeile und die Symbole für Ereignis 2 (männlich/nicht männlich) in der ersten Spalte stehen. 

In der letzten Zeile findest du die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse \mathbf{R} und \mathbf{\overline{R}}: \mathbf{P(R)} und \mathbf{P(\overline{R})}. Analog befinden sich in der letzten Spalte die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse \mathbf{M} und \mathbf{\overline{M}}: \mathbf{P(M)} und \mathbf{P(\overline{M})}

  \mathbf{R} \mathbf{\overline{R}}  
\mathbf{M}     \mathbf{P(M)}
\mathbf{\overline{M}}     \mathbf{P(\overline{M})}
  \mathbf{P(R)} \mathbf{P(\overline{R})}  

Unten rechts muss immer eine 1 bzw. 100% stehen: Hier trägst du nämlich die Summe der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \mathbf{R} und seinem Gegenereignis \mathbf{P(\overline{R})} ein, die stets 1 bzw. 100% ergeben muss. Dasselbe gilt auch für die Summe der Ereignisse in der letzten Spalte: \mathbf{P(M)} und \mathbf{P(\overline{M})}.

  \mathbf{R} \mathbf{\overline{R}}  
\mathbf{M}     \mathbf{P(M)}
\mathbf{\overline{M}}     \mathbf{P(\overline{M})}
  \mathbf{P(R)} \mathbf{P(\overline{R})} 1\ bzw.\ 100\%

Die Darstellung muss aber nicht zwingen anhand relativer Häufigkeiten, egal ob dezimal oder prozentual, erfolgen. Du kannst deine Vierfeldertafel auch mit absoluten Häufigkeiten ausfüllen. Ist das der Fall, musst du in die Zelle rechts unten die Gesamtanzahl G an Ereignissen eintragen. Werden beispielsweise 50 Personen befragt, entspricht G eben genau 50.

Innere Felder

In die „inneren Felder“ trägst du die Schnittmengen, also die Kombinationen der beiden Ereignisse, ein. Die Darstellung erfolgt mittels des mathematischen Zeichens „und“ (∩). Die Schnittmengen geben an, dass beide Ereignisse zutreffen. Für die Schnittmenge \mathbf{P(R}\mathbf{\overline{M})} bedeutet das also, dass die Gruppe regelmäßig Rad fährt und nicht männlich ist.

Wenn du die inneren Zellen einer Zeile addierst, dann erhältst du die Summe des Ereignisses bzw. Gegenereignisses der Zeile. Für die zweite Zeile wäre das also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person männlich ist. Dasselbe gilt auch für die Summe der inneren Zellen einer Spalte. Zum Beispiel Spalte 3:

\mathbf{P(\overline{R}}\mathbf{M)} + \mathbf{P(\overline{R}}\mathbf{\overline{M})} = \mathbf{P(\overline{R})}

  \mathbf{R} \mathbf{\overline{R}}  
\mathbf{M} \mathbf{P(R}\mathbf{M)} \mathbf{P(\overline{R}}\mathbf{M)} \mathbf{P(M)}
\mathbf{\overline{M}} \mathbf{P(R}\mathbf{\overline{M})} \mathbf{P(\overline{R}}\mathbf{\overline{M})} \mathbf{P(\overline{M})}
  \mathbf{P(R)} \mathbf{P(\overline{R})}  

Vierfeldertafel Aufgaben

Mit der Vierfeldertafel und den oben genannten Regeln kannst du nun ganz einfach fehlende Werte für einzelne Zellen bestimmen. Damit lassen sich leicht Aufgaben wie diese lösen:

Von 50 befragten Personen fahren 13 regelmäßig mit dem Rad und 30 sind männlich. Außerdem fahren 21 Männer nicht regelmäßig mit dem Rad. Wie viele Person sind männlich und fahren regelmäßig Rad?

Folgende relative Häufigkeiten sind bereits gegeben:

\mathbf{P(R)} = \frac{13}{50}
\mathbf{P(M)}  = \frac{30}{50}
\mathbf{P(\overline{R}}\mathbf{M)} = \frac{21}{50}

Sie trägst du zunächst in die Vierfeldertafel ein:

  \mathbf{R} \mathbf{\overline{R}}  
\mathbf{M}   \frac{21}{50} \frac{30}{50}
\mathbf{\overline{M}}      
  \frac{13}{50}   1 (\frac{50}{50})

Mit den Werten lässt sich nun die Fragestellung beantworten. Um \mathbf{P(R}\mathbf{M)} zu erhalten, zieht man \mathbf{P(\overline{R}}\mathbf{M)} von  \mathbf{P(M)} ab. So ergibt sich:

\mathbf{P(R}\mathbf{M)}=\mathbf{P(M)}-\mathbf{P(\overline{R}}\mathbf{M)}=\frac{30}{50}-\frac{21}{50}=\frac{9}{50}  

  \mathbf{R} \mathbf{\overline{R}}  
\mathbf{M} \frac{30}{50}-\frac{21}{50}=\frac{9}{50} \frac{21}{50} \frac{30}{50}
\mathbf{\overline{M}}      
  \frac{13}{50}   1 (\frac{50}{50})

Am Ende weißt du, dass 9 der 50 untersuchten Personen männlich sind und regelmäßig Rad fahren.

Vierfeldertafel Beispiel

Auf diese Weise lassen sich die übrigen Häufigkeiten ebenfalls berechnen. Wenn du alles richtig gemacht hast, erhältst du folgende Vierfeldertafel:

  \mathbf{R} \mathbf{\overline{R}}  
\mathbf{M} \frac{9}{50} \frac{21}{50} \frac{30}{50}
\mathbf{\overline{M}} \frac{4}{50} \frac{16}{50} \frac{20}{50}
  \frac{13}{50} \frac{37}{50} 1 (\frac{50}{50})

Diese Vierfeldertafel wurde anhand von dezimalen relativen Häufigkeiten berechnet. Es kann aber auch nach einer Darstellung mit Prozentzahlen oder absoluten Häufigkeiten gefragt werden. Denk‘ daran, dass im Falle der absoluten Häufigkeiten die Gesamtzahl der Personen (50) und keine Summe der Wahrscheinlichkeiten unten rechts steht.

Prozentuale relative Häufigkeiten:

  \mathbf{R} \mathbf{\overline{R}}  
\mathbf{M} 18\% 42\% 60\% 
\mathbf{\overline{M}} 8\% 32\% 40\% 
  26\% 74\% 100\% 

Absolute Häufigkeiten:

  \mathbf{R} \mathbf{\overline{R}}  
\mathbf{M} 9 21 30 
\mathbf{\overline{M}} 4 16 20 
  13 37 50 

Bedingte Wahrscheinlichkeit Vierfeldertafel

Die Werte, die die Vierfeldertafel zur Verfügung stellt, helfen dir, die bedingte Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Dies funktioniert allerdings nur mit relativen Häufigkeiten. Zur Erinnerung: die bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist, unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist.

Ihre Berechnung erfolgt mit der Formel:

P_A (B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

Beide Werte kannst du einfach in der Vierfeldertafel ablesen. Möchtest du also die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die gewählte Person eine Frau ist, unter der Bedingung, dass sie raucht, rechnest du folgendermaßen.

P_R (\overline{M})=\frac{P(R\cap \overline{M})}{P(R)} = \frac{\frac{4}{50}}{\frac{13}{50}} = \frac{4}{13}

  \mathbf{R} \mathbf{\overline{R}}  
\mathbf{M} \frac{9}{50} \frac{21}{50} \frac{30}{50}
\mathbf{\overline{M}} \mathbf{\frac{4}{50}} \frac{16}{50} \frac{20}{50}
  \mathbf{\frac{13}{50}} \frac{37}{50} 1 (\frac{50}{50})

 

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