Vierfeldertafel
Du möchtest wissen, wie du richtig mit einer Vierfeldertafel arbeitest? In unserem Beitrag und Video erfährst du alles, was du wissen musst!
Vierfeldertafel einfach erklärt
Neben einem Baumdiagramm
kann dir die Vierfeldertafel beim Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten helfen. Die Buchstaben A und B bezeichnen dabei zwei Ereignisse. 
und 
sind ihre Gegenereignisse.
In der ersten Zeile stehen die Symbole für die Ereignisse A und . In der ersten Spalte stehen wiederum die Ereignisse B und . In die mittleren Kästchen schreibst du die Schnittmenge
der Ereignisse:
![\[ \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}[h]{p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}} \renewcommand{\arraystretch}{2} & A & \overline{A} & \\ \hline B & $\textcolor{olive}{P (A\cap B)}$&$\textcolor{olive}{P(\overline{A}\cap B)}$&\\ \hline \overline{B}& $\textcolor{olive}{P (A\cap \overline{B})}$&$\textcolor{olive}{P(\overline{A}\cap \overline{B})}$& \\ \hline &&&& \end{tabular}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3cf2de5788c472bbfd8a65c1732fbb69_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
-
= Wahrscheinlichkeit, dass A und B gleichzeitig eintreten -
= Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt, aber B schon
-
= Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, aber B nicht
-
= Wahrscheinlichkeit, dass weder A noch B eintreten
Die vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel sieht so aus:
![\[ \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}[h]{p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}} \renewcommand{\arraystretch}{2} & A & \overline{A} & \\ \hline B & $\textcolor{olive}{P (A\cap B)}$&$\textcolor{olive}{P(\overline{A}\cap B)}$&$\textcolor{blue}{P (B)}$\\ \hline \overline{B}& $\textcolor{olive}{P (A\cap \overline{B})}$&$\textcolor{olive}{P(\overline{A}\cap \overline{B})}$&$\textcolor{blue}{P(\overline{B})}}$ \\ \hline &$\textcolor{blue}{P(A)}$&$\textcolor{blue}{P(\overline{A})}$&$\textcolor{orange}{100\%}$& \end{tabular}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0036bf0e19f11ad6e7129653e017a58f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
In der rechten Spalte siehst du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten von Ereignis B. Um die zu bekommen, rechnest du einfach die nebeneinanderstehenden Wahrscheinlichkeiten zusammen:
-
Zeile
: 
-
Zeile :
In der unteren Zeile siehst du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten von Ereignis A. Um die zu bekommen, addierst du ganz einfach die untereinanderstehenden Wahrscheinlichkeiten.
-
Spalte
: 
-
Spalte :
In der unteren, rechten Ecke stehen immer 100% oder die gesamte absolute Häufigkeit deines Experiments. Die bekommst du entweder durch addieren der Wahrscheinlichkeiten aus der unteren Zeile:
-
Untere Zeile:
= 100%
Oder durch addieren der Wahrscheinlichkeitenaus der rechten Spalte:
-
Rechte Spalte:
= 100%
Aufgaben Vierfeldertafel – Beispiel
Vervollständige die Vierfeldertafel, wenn du folgende Wahrscheinlichkeiten kennst:
Als erstes trägt du die Werte ein, die du kennst. Da deine Werte in der Dezimalschreibweise angegeben sind, übernimmst du sie auf deine gesamte Tabelle. Rechts unten kannst du die 1 hinschreiben.
![\[ \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}[h]{p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}} & A & \overline{A} & \\ \hline B & & & \\ \hline \overline{B}& $\textcolor{olive}{0,2}$&&$\textcolor{blue}{0,7}$ \\ \hline &$\textcolor{blue}{0,45}$&&$\textcolor{orange}{1}$& \end{tabular}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fc52c67c379a2284d9550a00843b6670_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nun möchtest du die restlichen Felder ausfüllen. Am besten fängst du mit den fehlenden Wahrscheinlichkeiten 
und 
an. Das sind die leeren äußeren Kästchen.
Die Wahrscheinlichkeiten 
und müssen zusammen 1 ergeben . Für rechnest du also:
Auch die Wahrscheinlichkeiten und 
müssen zusammen 1 ergeben. Für rechnest du:
Um die restlichen Wahrscheinlichkeiten, zum Beispiel , zu bestimmen, kannst du genauso vorgehen:
Du weißt, dass du die Wahrscheinlichkeiten und addierst, um zu bekommen. Da dir aber nur noch die Wahrscheinlichkeit fehlt, stellst du deine Formel nach ihr um.
Dasselbe machst du für :
Es fehlt nur noch die Wahrscheinlichkeit :
Trage nun alle deine Wahrscheinlichkeiten in die Tabelle ein.
![\[ \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}[h]{p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}} & A & \overline{A} & \\ \hline B &$\textcolor{olive}{0,25}$&$\textcolor{olive}{0,05}$ &$\textcolor{blue}{0,3}$ \\ \hline \overline{B}& $\textcolor{olive}{0,2}$&$\textcolor{olive}{0,5}$&$\textcolor{blue}{0,7}$ \\ \hline &$\textcolor{blue}{0,45}$&$\textcolor{blue}{0,55}$&$\textcolor{orange}{1}$& \end{tabular}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ed0bd84162662330c0ae6d494c9eab2a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Vierfeldertafel Aufgaben – absolute Häufigkeiten
Fülle als nächstes eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten aus. Dir sind folgende Informationen gegeben:
Am Sportunterricht nehmen insgesamt 25 Kinder teil, von denen 
13 weiblich sind. Genau 17 Kinder sind gut im Weitwurf. 10 Mädchen sind gut im Weitwurf.
Definiere als erstes deine Ereignisse:
- M = Mädchen
-
= kein Mädchen / Junge - W = gut in Weitwurf
-
= schlecht in Weitwurf
Schreibe die Werte auf, die du aus der Aufgabenstellung kennst. Achte darauf, dass du die absoluten Häufigkeiten und nicht die Wahrscheinlichkeiten angibst!
- |Ω| = 25 (Insgesamt 25 Kinder im Sportunterricht)
- |M| = 13 ( 13 Mädchen im Sportunterricht)
-
|W| = 17 (17 Kinder
gut im Weitwurf) -
|
| = 10 (10 Mädchen sind gut im Weitwurf)
Trage deine Werte in die Vierfeldertafel ein:
![\[ \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}[h]{p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}} & W & \overline{W} & \\ \hline M & $\textcolor{olive}{10}$&&$\textcolor{blue}{13}$\\ \hline \overline{M}&&& \\ \hline &$\textcolor{blue}{17}$&&$\textcolor{orange}{25}$& \end{tabular}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-760047bf79a824a4cd21401e5eedeee2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nun kannst du restlichen Häufigkeiten berechnen. Beginne zum Beispiel mit der Anzahl der Jungs im Sportunterricht. |
| und |
| müssen zusammen |Ω| ergeben. Du rechnest also:
|| = 25 – 13 = 12
Berechne nun noch die fehlenden Werte:
|
| = 25 – 17 = 8
|
| = 17 – 10 = 7
|
| = 13 – 10 = 3
|
| = 8 – 3 = 5
Jetzt kannst du deine Werte in die Vierfeldertafel eintragen:
![\[ \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}[h]{p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}} & W & \overline{W} & \\ \hline M & $\textcolor{olive}{10}$&$\textcolor{olive}{3}$&$\textcolor{blue}{13}$ \\ \hline \overline{M}&$\textcolor{olive}{7}$&$\textcolor{olive}{5}$&$\textcolor{blue}{12}$ \\ \hline &$\textcolor{blue}{17}$&$\textcolor{blue}{8}$&$\textcolor{orange}{25}$& \end{tabular}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-278abd3ef15c4f7e46da530afcde394a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Vierfeldertafel Aufgaben – relative Häufigkeiten
Im nächsten Beispiel sollst du ebenfalls eine Vierfeldertafel ausfüllen:
Von 50 befragten Personen fahren 13 regelmäßig mit dem Rad und 30 sind männlich. Außerdem fahren 21 Männer nicht regelmäßig mit dem Rad. Wie viele Person sind männlich und fahren regelmäßig Rad?
Zuerst definierst du deine Ereignisse:
- R = Radfahrer
-
= kein Radfahrer - M = Männlich
-
= nicht männlich/weiblich
Aus der Aufgabenstellung kennst du folgende relative Häufigkeiten:
Trag deine Werte in die Tabelle ein:
![\[ \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}[h]{p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}} & R & \overline{R} & \\ \hline M & & $\textcolor{olive}{\frac{21}{50}}$ & $\textcolor{blue}{\frac{30}{50}}$ \\ \hline \overline{M} & & & \\ \hline & $\textcolor{blue}{\frac{13}{50}}$ & & $\textcolor{orange}{\frac{50}{50}}$ \end{tabular} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d9120dce43f8a7c0de9a6437ca94772f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Mit den Werten lässt sich nun die Fragestellung beantworten. Um 
zu bestimmen, ziehst du 
von 
ab. So ergibt sich:
![\[ \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}[h]{p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}} & R & \overline{R} & \\ \hline M & $\textcolor{olive}{\frac{9}{50}}$ & $\textcolor{olive}{\frac{21}{50}}$ & $\textcolor{blue}{\frac{30}{50}}$ \\ \hline \overline{M} & & & \\ \hline & $\textcolor{blue}{\frac{13}{50}}$ & & $\textcolor{orange}{\frac{50}{50}}$ \end{tabular} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3b93eb5ecda431f2a32dc9bd55a22c46_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Jetzt weißt du, dass 9 der 50 untersuchten Personen männlich sind und regelmäßig Rad fahren.
Auf dieselbe Weise lassen sich die restlichen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Zum Schluss erhältst du folgende Vierfeldertafel:
![\[\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}[h]{p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}} & R & \overline{R} & \\ \hline M & $\textcolor{olive}{\frac{9}{50}}$& $\textcolor{olive}{\frac{21}{50}}$ & $\textcolor{blue}{\frac{30}{50}}$ \\ \hline \overline{M} & $\textcolor{olive}{\frac{4}{50}}$&$\textcolor{olive}{\frac{16}{50}}$ &$\textcolor{blue}{\frac{20}{50}}$ \\ \hline & $\textcolor{blue}{\frac{13}{50}}$ & $\textcolor{blue}{\frac{37}{50}}$& $\textcolor{orange}{\frac{50}{50}}$ \end{tabular} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b15f373b51cceba2c1fa3b9d765cb18e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Bedingte Wahrscheinlichkeit Vierfeldertafel
Die Werte, die die Vierfeldertafel zur Verfügung stellt, helfen dir, die bedingte Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Dies funktioniert allerdings nur mit relativen Häufigkeiten. 
Zur Erinnerung: Die bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist, unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist.
Für die bedingte Wahrscheinlichkeit benutzt du folgende Formel:
Beide Werte kannst du einfach in der Vierfeldertafel ablesen. Schaue dir dazu nochmal unser Beispiel an:
Du möchtest die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die gewählte Person eine Frau ist (
), unter der Bedingung, dass sie regelmäßig mit dem Rad fährt (
). Dazu schaust du zuerst die Wahrscheinlichkeiten 
und 
aus der Tabelle nach.
Jetzt kannst du sie in die Formel einsetzen:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die gewählte Person eine Frau ist, unter der Bedingung, dass sie regelmäßig Fahrrad fährt, liegt bei 
.
Stochastische Unabhängigkeit
Mit den Werten aus der Vierfeldertafel kannst du auch herausfinden, ob zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind. Wie das geht, zeigen wir dir in unserem Video dazu!
