Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeit

In diesem Artikel erfährst du, was die Wahrscheinlichkeit ist und wie man sie berechnen kann. Dazu schauen wir uns auch eine Definition und zwei Beispiele an. 

Wahrscheinlichkeiten zu berechnen ist nicht so dein Ding? Wenn du unser Video  schaust verstehst du im Handumdrehen wie es geht!

Inhaltsübersicht

Wahrscheinlichkeit einfach erklärt 

Um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können, müssen wir zuerst bestimmen, was sie aussagt. 

Definition

Die Wahrscheinlichkeit gibt an, wie sehr etwas zutrifft oder nicht.  Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eines Zufallsexperiments eintritt, liegt zwischen 0 und 1. Dabei wird die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis mit Sicherheit zutrifft mit 1 (bzw. 100%), und dass ein Ereignis nicht eintritt mit 0 (bzw. 0%) bezeichnet. Die Summe der Eintrittswahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse ist stets 1 (bzw. 100%).

Die Wahrscheinlichkeit (auf Englisch probability) ist also ein Maß, das bestimmt wie sehr erwartet wird, dass genau dieses Ereignis eintritt. Ein Synonym für die Wahrscheinlichkeit ist die Chance. Mathematisch geschrieben wird die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses X ausgedrückt als P(X).

Sie kann Werte im Bereich zwischen [0,1] annehmen.

  • P(X) = 0           Das Ereignis ist unmöglich
  • 0 < P(X) < 1    Das Ereignis ist möglich und es gibt mehr als ein mögliches Ereignis
  • P(X) = 1            Das Ereignis tritt auf jeden Fall ein, es gibt also nur ein mögliches Ereignis

Wenn du beispielsweise einen Würfel mit den Zahlen 1 bis 6 wirfst, ist es unmöglich eine Sieben zu würfeln. Die Wahrscheinlichkeit dafür – also P(7)- ist 0 . Eine Drei ist neben anderen Zahlen ein mögliches Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit liegt also zwischen Null und Eins, oder mathematisch ausgedrückt: 0 < P(3) < 1. Wirfst du einen Würfel, dann wirst du immer eine Zahl erhalten und nie „Kopf“. Das Ereignis „Zahl“ ist also ein sicheres Ereignis und es gilt P(Zahl)=1

Die Wahrscheinlichkeit ist in der Mathematik eine wichtige Grundlage auch für die Wahrscheinlichkeitsrechnung . Schau dir auch hierzu unser Video an. 

Wahrscheinlichkeit berechnen

Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel, wie man beim Berechnen der Wahrscheinlichkeit vorgeht. Dafür müssen wir zunächst ein paar Grundbegriffe klären und können dann die Wahrscheinlichkeit mittels der Formel für die relative Häufigkeit bestimmen.

Wahrscheinlichkeit Beispiel Glücksrad

Stell dir vor du drehst einmal an einem Glücksrad mit drei gleich großen Flächen, auf denen die Zahlen 1, 2, und 3 stehen. Wie lässt sich das mathematisch ausdrücken? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit etwa eine 2 zu erhalten?

Bei unserem Experiment können die Ergebnisse 1, 2, oder 3 vorkommen. Dies nennt man den Ergebnisraum oder Stichprobenmenge, geschrieben als Omega. Er umfasst alle möglichen Ergebnisse, in unserem Fall eins, zwei und drei. Mathematisch schreibt man die möglichen Ergebnisse in geschweifte Klammern und mit einem Omega: 

Ω = { 1, 2, 3 }

Der Betrag von Omega sagt in diesem Fall wie viele Ergebnisse möglich sind, die Anzahl der Ergebnisse also. Für unser Beispiel sind das drei.

| Ω | = 3

Doch was ist nun die Eintrittswahrscheinlichkeit von konkreten Ergebnissen? Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass du eine gerade Zahl drehst? Na logisch: Ein Drittel. Aber um das mathematisch zu berechnen, musst du eine bestimmte Schreibweise beachten.

Du berechnest die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis “Gerade Zahl”. In Mathe schreibt man dafür P, also die Eintrittswahrscheinlichkeit, für das Ereignis Gerade Zahl (geschrieben als X) ist gleich Gerade Zahl.

P (X=Gerade Zahl)

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Beispiel Glücksrad

Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis lässt sich berechnen, indem du die Anzahl der Ergebnisse, bei denen das gesuchte Ereignis auftritt, durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse teilst. Achte hier besonders auf den Unterscheid der Worte Ergebnis und Ereignis

Unterschied Ergebnis Ereignis

Die beiden Worte lassen sich am Besten mit Hilfe unseres Beispiels unterscheiden. Wir haben ein Glücksrad mit den Zahlen 1, 2 und 3 gedreht. Wenn du das Glücksrad drehst, erhälst du zunächst ein Ergebnis. Also entweder 1, 2 oder 3. Alle Ergebnisse zusammen ergeben den Ergebnisraum, ausgedrückt als  Ω = { 1, 2, 3 }. Die Wahrscheinlichkeit ermittelt für bestimmte Ereignisse wie sicher sie eintreten. Zum Beispiel haben wir ermittelt wie wahrscheinlich das Ereignis „Gerade Zahl“ auftritt. Dieses Ereignis tritt nur durch das Ergebnis zwei ein. Das Ereignis wird dargestellt durch ein oder mehrere Ergebnisse der Ergebnismenge.

Also nochmal langsam: Ein Ergebnis ist eine Zahl auf dem Glücksrad. Der Ergebnisraum sind alle Zahlen auf dem Glücksrad. Ein Ereignis wird durch einzelne Ergebnisse dargestellt, also „Gerade Zahl“ oder “ Zahl größer gleich 2″.

Wahrscheinlichkeit berechnen Formel

Für Laplace Experimente gibt es eine ganz einfache Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit. Doch was war gleich nochmal ein Laplace Experiment?

Merke

Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem die Eintrittswahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse gleich groß ist. Typische Beispiele sind hier auch der Münzwurf oder ein Würfelwurf. 

Die Formel, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, lautet also:

P(E) = E/|Ω|

mit 

  • P(E)  =      die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
  • E        =      die Anzahl der günstigen Ergebnisse
  • |Ω|   =      die Anzahl der möglichen Ergebnisse

In unserem Ergebnisraum findet sich nur eine gerade Zahl nämlich die Zwei. Also ist die Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis gerade Zahl zu trifft, eins. Die Anzahl unserer möglichen Ergebnisse ist Omega Betrag, also 3. Mathematisch zusammengefasst ist das dann die Eintrittswahrscheinlichkeit P für das Ereignis Gerade Zahl. Mathematisch geschrieben schaut das Ganze so aus:

P(X=Gerade Zahl) = 1/3.

Die Wahrscheinlichkeit eine gerade Zahl zu drehen liegt bei eins durch drei also einem Drittel. 

Wahrscheinlichkeiten als relative Häufigkeit 

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit ist im Grunde das Bestimmen der relativen Häufigkeit . Man kann sie in Prozent, als Bruch oder als Dezimalzahl schreiben. 

Bezogen auf unser Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl am Glücksrad also 33% oder 1/3 oder 0,33. 

Beispiel Münzwurf

Schauen wir uns gleich ein zweites Beispiel an. Stell dir vor du wirfst eine Münze. Was ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis Kopf?

Die Ergebnismenge ist 

Ω = { Kopf, Zahl}

Die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist zwei: 

| Ω | = 2

die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist eins (Kopf).

Die Wahrscheinlichkeit, dass du Kopf wirfst ist 

P(Kopf) = 1 / 2 = 0,5 = 50%

Wahrscheinlichkeit berechnen für Würfel (schwieriges Beispiel)

Zu guter Letzt betrachten wir noch ein etwas schwierigeres Beispiel. Angenommen du hast zwei Laplace-Würfel. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf eine Augensumme zu werfen, die höher als 7 ist? Wir werfen also zwei Würfel, zählen die Augen zusammen und dieses Ergebnis soll höher als sieben sein.

Ermitteln wir zunächst die Ergebnismenge:

Ω = { (1,1) (1,2) (2,1) (1,3) (3,1) (1,4) (4,1) (1,5) (5,1) (1,6) (6,1) (2,2) (2,3) (3,2) (2,4) (4,2) (2,5) (5,2) (2,6) (6,2) (3,3) (3,4) (4,3) (3,5) (5,3) (3,6) (6,3) (4,4) (4,5) (5,4) (4,6) (6,4) (5,5) (5,6) (6,5) (6,6) } 

Alternativ können wir auch 6 mal 6 rechnen (alle möglichen Ergebnisse des ersten Würfels mal alle möglichen Ergebnisse des zweiten Würfels).

Die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist 

| Ω | = 36

Die Ergebnisse, deren addierte Augensumme höher ist als 7, also alle günstigen Ergebnisse sind

E = (2,6) (6,2) (3,5) (5,3) (3,6) (6,3) (4,4) (4,5) (5,4) (4,6) (6,4) (5,5) (5,6) (6,5) (6,6) = 15

Die Wahrscheinlichkeit mit zwei Würfel ein Ergebnis zu würfeln, das größer als sieben ist, lässt sich deshalb so berechnen: 

P(Summe > 7) = 15 / 36 = 0,4166667 = 41,67%

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Wahrscheinlichkeit für einen Würfelwurf (schwieriges Beispiel)

Die Wahrscheinlichkeit kannst du nun ohne Probleme bestimmen. Schau dir auch unsere Weiteren Artikel zu diesem Thema an. 

Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten

Für Wahrscheinlichkeiten sind 5 Rechenregeln wesentlich, die sich aus den Kolmogorov Axiomen ergeben.

  1. P(Ω) = 1:  Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit von allen möglichen Ergebnissen zusammengerechnet, also der Ergebnismenge, 1 entspricht
  2. P(\overline{E} ) = 1 – P (E): Das heisst die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis ist 1 minus der Eintrittswahrscheinlichkeit des eigentlichen Ereignisses.
  3. Unvereinbare Ereignisse Additionsregel: P(E \bigcup F) = P(E) + P(F) Die Rechenregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit von zwei Ereignisse, die keine gemeinsame Ergebnisse beinhalten, addiert werden, dies dem Ereignis entspricht, dass entweder P(E) oder P(F) eintritt.
  4. Satz von Sylvester (Vereinbarkeit von Ereignissen): P(E \bigcup F) = P(E) + P(F) – P(E \bigcap F) Der Satz von Sylvester beschreibt, dass zwei Ereignisse unabhängig sind.
  5. Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse : P(E) \cdot P(F) = P(E \bigcap F) Diese Regel gilt nur für unabhängige Ereignisse

 

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