Wahrscheinlichkeitsrechnung

Binomialverteilung Übung

Das Thema Binomialverteilung hast du dank unseres Lernvideos verstanden, super!

Dennoch wäre es ganz cool, noch ausführliche Beispiele zu haben? Kein Problem, wir sind für dich da! Schau bei unserem Video %Linkvorbei!

Inhaltsübersicht

Binomialverteilung Übung Beispiel

Stell dir vor du spielst mit deinen Freunden ein Würfelspiel (6-seitiger Würfel). Die Person, die die meisten 6-er würfelt, gewinnt. Nur mit einer „6“ hast du einen Erfolg bzw. einen Treffer. Würfelst du eine andere Zahl, nennen wir dies „Nichterfolg“ oder auch „kein Treffer“.

Da ihr mit einem fairen Würfel spielt, beträgt deine Erfolgswahrscheinlichkeit:

p = \frac{1}{6}

Jede Person würfelt pro Runde 10-mal.

n=10

Da wir für dein Würfelspiel nur in Erfolg und Nichterfolg unterscheiden, kann man von einem binomialverteilten Zufallsexperiment sprechen.

X ~ B (n, p)

Wie du bereits gelernt hast, setzt sich die Formel zur Binomialverteilung folgendermaßen zusammen:

\binom{n}{k}\ast\ p^k\ast(1-p)^{n-k}

Binomialverteilung Übung, fairer Würfel, Treffer, kein Treffer
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Binomialverteilung Übung

Aufgabe 1

Als erstes versuchst du, genau dreimal eine „6“ zu würfeln.

P(X=3)

Verwende die eben gezeigte Wahrscheinlichkeitsfunktion, um das Ergebnis für drei Erfolge zu berechnen.

P(X=3)=\ \binom{10}{3}\ast\left(\frac{1}{6}\right)^3\ast\left(1-\frac{1}{6}\right)^{10-3}\approx0,155

Aufgabe 2

Nun möchten wir die Wahrscheinlichkeit bestimmen höchstens einen Treffer zu erzielen.

P\left(X\le1\right)

Immer wenn es darum geht höchstens einen bestimmten Wert zu erreichen können wir auf die Verteilungsfunktion zurückgreifen. Das bedeutet du hast zwei Optionen: entweder das Ergebnis für die Stelle 1 aus einer Verteilungstabelle ablesen oder alternativ die Wahrscheinlichkeiten von Hand aufaddieren. Wenn du dich für letztere Variante entscheidest, erfolgt die Berechnung folgendermaßen:

P\left(X\le1\right)=P(X=0)+P(X=1)

Bestimme zunächst jede einzelne Wahrscheinlichkeit von null bis zu einem Treffer. Im Anschluss kannst du die Ergebnisse addieren.

P\left(X\le1\right)=P(X=0)+P(X=1)=

\binom{10}{0}\ast\left(\frac{1}{6}\right)^0\ast\left(1-\frac{1}{6}\right)^{10}+\binom{10}{1}\ast\left(\frac{1}{6}\right)^1\ast\left(1-\frac{1}{6}\right)^9\approx0,485

Aufgabe 3

Hier möchtest du nun die Wahrscheinlich für mindestens einen Treffer bestimmen.

P\left(X\geq1\right)

Hier werden wir 1 mit der Gegenwahrscheinlichkeit zum gesuchten Ergebnis subtrahieren.

P\left(X\geq1\right)=1-P\left(X<1\right)=1-P\left(X\le0\right)

1-\binom{10}{0}\ast\left(\frac{1}{6}\right)^0\ast\left(\frac{5}{6}\right)^{10}=1-0,162\approx0,838

Aufgabe 4

Hier möchten wir nun wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, mehr als einen Treffer zu landen.

P\left(X>1\right)

Wie in Aufgabe 3 bietet es sich hier ebenfalls an, den Term über die Gegenwahrscheinlichkeit zu vereinfachen.

P\left(X>1\right)=1-P\left(X\le1\right)

Die Wahrscheinlichkeit, höchstens einen Treffer zu landen, ist uns bereits aus Aufgabe 2) bekannt, sodass sich folgende Rechnung ergibt:

P\left(X>1\right)=1-P\left(X\le1\right)=1-0,485=0,515

Aufgabe 5

Zum Abschluss wollen wir noch wissen wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, weniger als einen Treffer zu landen.

P\left(X<1\right)

Die Wahrscheinlichkeit, dass du weniger als einen Treffer landest entspricht der Wahrscheinlichkeit maximal Null Treffer zu landen.

P\left(X<1\right)=P(X\le0)

P\left(X<1\right)=P(X\le0)=0,162

 

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