Stell dir vor du spielst mit deinen Freunden ein Würfelspiel (6-seitiger Würfel). Die Person, die die meisten 6-er würfelt, gewinnt. Nur mit einer „6“ hast du einen Erfolg bzw. einen Treffer. Würfelst du eine andere Zahl, nennen wir dies „Nichterfolg“ oder auch „kein Treffer“.

Da ihr mit einem fairen Würfel spielt, beträgt deine Erfolgswahrscheinlichkeit:

$p = \frac{1}{6}$

Jede Person würfelt pro Runde 10-mal.

n=10

Da wir für dein Würfelspiel nur in Erfolg und Nichterfolg unterscheiden, kann man von einem binomialverteilten Zufallsexperiment sprechen.

X ~ B (n, p)

Wie du bereits gelernt hast, setzt sich die Formel zur Binomialverteilung folgendermaßen zusammen:

$\binom{n}{k}\ast\ p^k\ast(1-p)^{n-k}$

Binomialverteilung Übung, fairer Würfel, Treffer, kein Treffer — Binomialverteilung Übung

Aufgabe 1

im Videozur Stelle im Video springen

(01:07)

Als erstes versuchst du, genau dreimal eine „6“ zu würfeln.

P(X=3)

Verwende die eben gezeigte Wahrscheinlichkeitsfunktion, um das Ergebnis für drei Erfolge zu berechnen.

$P(X=3)=\ \binom{10}{3}\ast\left(\frac{1}{6}\right)^3\ast\left(1-\frac{1}{6}\right)^{10-3}\approx0,155$

Aufgabe 2

im Videozur Stelle im Video springen

(01:33)

Nun möchten wir die Wahrscheinlichkeit bestimmen höchstens einen Treffer zu erzielen.

$P\left(X\le1\right)$

Immer wenn es darum geht höchstens einen bestimmten Wert zu erreichen können wir auf die Verteilungsfunktion zurückgreifen. Das bedeutet du hast zwei Optionen: entweder das Ergebnis für die Stelle 1 aus einer Verteilungstabelle ablesen oder alternativ die Wahrscheinlichkeiten von Hand aufaddieren. Wenn du dich für letztere Variante entscheidest, erfolgt die Berechnung folgendermaßen:

$P\left(X\le1\right)=P(X=0)+P(X=1)$

Bestimme zunächst jede einzelne Wahrscheinlichkeit von null bis zu einem Treffer. Im Anschluss kannst du die Ergebnisse addieren.

$P\left(X\le1\right)=P(X=0)+P(X=1)=$

$\binom{10}{0}\ast\left(\frac{1}{6}\right)^0\ast\left(1-\frac{1}{6}\right)^{10}+\binom{10}{1}\ast\left(\frac{1}{6}\right)^1\ast\left(1-\frac{1}{6}\right)^9\approx0,485$