In diesem Artikel erklären wir dir die Bernoulli Formel und zeigen dir wie du mit ihr die Wahrscheinlichkeit einer Bernoulli Kette berechnen kannst.
Wenn du die Bernoulli Formel und ihre Anwendung noch schneller verstehen möchtest, dann schau dir gleich unser Video an.
Mithilfe der Bernoulli Formel kann ohne großen Aufwand die Wahrscheinlichkeit einer Bernoulli Kette berechnet werden. Eine Bernoulli Kette
(oder Bernoulli Prozess) ist eine Reihe von stochastisch unabhängigen
Bernoulli Experimenten
. Bei einem solchen Experiment gibt es stets nur zwei Ausgänge, Treffer oder Niete. Zudem darf die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, , und somit auch die für eine Niete,
, nicht variieren.
Die Bernoulli Formel lautet:
Die Parameter der Bernoulli Formel haben dabei folgende Bedeutung:
Damit liefert die Bernoulli Formel die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei Versuchen.
Die Anzahl der Versuche , die ausgeführt werden, entspricht der Länge der Bernoulli Kette. Die Versuche müssen die oben aufgeführten Bedingungen einer Bernoulli Kette erfüllen und sind somit binomialverteilt
.
Ein Beispiel für eine Bernoulli Kette der Länge drei, wäre das dreimalige Ziehen mit Zurücklegen
aus einer Urne mit nur schwarzen und weißen Kugeln. Dabei zähle eine schwarze Kugel als Treffer und eine weiße Kugel als Niete. Die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel zu ziehen, sei und die Gegenwahrscheinlichkeit, das Ziehen einer weißen Kugel, liege dementsprechend bei
. Nach jedem mal Ziehen muss die Kugel wieder zurückgelegt werden, damit die Wahrscheinlichkeiten immer die gleichen bleiben. Diesen Prozess können wir in einem Baumdiagramm darstellen, um uns damit die Bernoulli Formel zu erklären.
Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für zum Beispiel genau zwei Treffer, müssen wir nun alle Pfade betrachten auf denen zwei mal , für zwei schwarze Kugeln, und einmal
, für eine weiße Kugel, vorkommen. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches Ereignis berechnen wir, indem wir die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren. Anschließend addieren wir die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade.
Da jeder der Pfade die Wahrscheinlichkeit
besitzt und es insgesamt drei solcher Pfade gibt, entspricht damit die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Treffer
was auch mit der Bernoulli Formel übereinstimmt.
Betrachten wir einmal den allgemeinen Fall von n-mal Ziehen, in dem wir die Wahrscheinlichkeit von genau k Treffern berechnen wollen. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades entspricht dann
.
Denn entlang des entsprechenden Pfades kommen schwarze Kugeln mit Wahrscheinlichkeit
und sonst nur weiße Kugeln, also
viele mit Wahrscheinlichkeit
, vor. Jetzt müssen wir nur noch herausfinden, wie viele dieser Pfade es gibt. Dabei hilft uns der Binomialkoeffizient
Dieser besagt gerade, wie viele Möglichkeiten existieren, Kugeln aus einer Menge von
Kugeln zu ziehen, was exakt der Anzahl an Pfaden entspricht. Mit diesem Wissen ergibt sich schließlich die Bernoulli Formel
als Wahrscheinlichkeit genau schwarze Kugeln nach
-maligem Ziehen zu erhalten.
Angenommen es ist die Wahrscheinlichkeit von höchstens Treffern gesucht. Dann tritt dieses Ereignis ein, wenn die Anzahl der Treffer kleiner oder gleich
ist. Das heißt wir erhalten die Wahrscheinlichkeit des gesuchten Ereignisses, indem wir die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Fälle aufaddieren:
.
Da es für große Werte sehr mühsam wäre diese Wahrscheinlichkeit per Hand zu bestimmen, kann in diesem Fall das Ergebnis der Summe auch in einer Formelsammlung (Tafelwerk) nachgeschlagen werden.
Die Mindestwahrscheinlichkeit für Treffer kann mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit einfach bestimmt werden. Denn diese entspricht für mindestens
Treffer der Wahrscheinlichkeit für weniger als
Treffer. Damit ergibt sich:
.
Das heißt wir müssen die Wahrscheinlichkeit für höchstens Treffer bestimmen, welche wir einfach der Formelsammlung (Tafelwerk) entnehmen oder mit der Bernoulli Formel berechnen können.
Wenn du selbst in einem Beispiel die Bernoulli Formel explizit anwenden möchtest, hast du hier einige Aufgaben mit Lösungen zur Übung.
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