Wahrscheinlichkeitsrechnung

Bernoulli Formel

In diesem Artikel erklären wir dir die Bernoulli Formel und zeigen dir wie du mit ihr die Wahrscheinlichkeit einer Bernoulli Kette berechnen kannst.

Wenn du die Bernoulli Formel und ihre Anwendung noch schneller verstehen möchtest, dann schau dir gleich unser Video  an.

Inhaltsübersicht

Bernoulli Formel einfach erklärt

Mithilfe der Bernoulli Formel kann ohne großen Aufwand die Wahrscheinlichkeit einer Bernoulli Kette berechnet werden. Eine Bernoulli Kette (oder Bernoulli Prozess) ist eine Reihe von stochastisch unabhängigen Bernoulli Experimenten. Bei einem solchen Experiment gibt es stets nur zwei Ausgänge, Treffer oder Niete. Zudem darf die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, p, und somit auch die für eine Niete, 1-p, nicht variieren.

Merke

Die Bernoulli Formel lautet:

P(X=k) = \left( \begin{array}{c} n\\k \end{array}\right) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.

Die Parameter der Bernoulli Formel haben dabei folgende Bedeutung:

  • Die Anzahl der Versuche: n.
  • Die Anzahl der Treffer, die dabei erzielt werden: k.
  • Die Wahrscheinlichkeit mit der ein Treffer eintritt: p.

Damit liefert die Bernoulli Formel die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei n Versuchen.

Baumdiagramm Bernoulli Kette

Die Anzahl der Versuche n, die ausgeführt werden, entspricht der Länge der Bernoulli Kette. Die Versuche müssen die oben aufgeführten Bedingungen einer Bernoulli Kette erfüllen und sind somit binomialverteilt .

Ein Beispiel für eine Bernoulli Kette der Länge drei, wäre das dreimalige Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit nur schwarzen und weißen Kugeln. Dabei zähle eine schwarze Kugel als Treffer und eine weiße Kugel als Niete. Die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel zu ziehen, sei p und die Gegenwahrscheinlichkeit, das Ziehen einer weißen Kugel, liege dementsprechend bei 1-p. Nach jedem mal Ziehen muss die Kugel wieder zurückgelegt werden, damit die Wahrscheinlichkeiten immer die gleichen bleiben. Diesen Prozess können wir in einem Baumdiagramm darstellen, um uns damit die Bernoulli Formel zu erklären.

Versuch mit Baumdiagramm
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Versuch mit Baumdiagramm

Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für zum Beispiel genau zwei Treffer, müssen wir nun alle Pfade betrachten auf denen zwei mal s, für zwei schwarze Kugeln, und einmal w, für eine weiße Kugel, vorkommen. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches Ereignis berechnen wir, indem wir die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren. Anschließend addieren wir die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade.

Da jeder der Pfade die Wahrscheinlichkeit

p^2\cdot (1-p)

besitzt und es insgesamt drei solcher Pfade gibt, entspricht damit die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Treffer

p^2\cdot (1-p)+p\cdot (1-p)\cdot p+(1-p) \cdot p^2= 3 \cdot p^2\cdot (1-p) = P(X=2),

was auch mit der Bernoulli Formel übereinstimmt.

Betrachten wir einmal den allgemeinen Fall von n-mal Ziehen, in dem wir die Wahrscheinlichkeit von genau k Treffern berechnen wollen. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades entspricht dann

p^k \cdot (1-p)^{n-k}.

Denn entlang des entsprechenden Pfades kommen k schwarze Kugeln mit Wahrscheinlichkeit p und sonst nur weiße Kugeln, also n-k viele mit Wahrscheinlichkeit 1-p, vor. Jetzt müssen wir nur noch herausfinden, wie viele dieser Pfade es gibt. Dabei hilft uns der Binomialkoeffizient

\left(\begin{array}{c} n \\k \end{array} \right) .

Dieser besagt gerade, wie viele Möglichkeiten existieren, k Kugeln aus einer Menge von n Kugeln zu ziehen, was exakt der Anzahl an Pfaden entspricht. Mit diesem Wissen ergibt sich schließlich die Bernoulli Formel

P(X=k)=\left(\begin{array}{c} n \\k \end{array} \right) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

als Wahrscheinlichkeit genau k schwarze Kugeln nach n-maligem Ziehen zu erhalten.

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Bernoulli Aufgaben Typen

Wir kennen nun den Hintergrund der Bernoulli Formel und wollen jetzt wissen, wie sie verwendet werden kann. Dafür betrachten wir zwei verschiedene Aufgaben-Typen.

Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer

Angenommen es ist die Wahrscheinlichkeit von höchstens k Treffern gesucht. Dann tritt dieses Ereignis ein, wenn die Anzahl der Treffer kleiner oder gleich k ist. Das heißt wir erhalten die Wahrscheinlichkeit des gesuchten Ereignisses, indem wir die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Fälle aufaddieren:

P(X \leq k)= P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k)=\sum \limits_{i=0}^k P(X=i)

= \sum \limits_{i=0}^k \left(\begin{array}{c} n \\i \end{array} \right) \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}.

Da es für große Werte sehr mühsam wäre diese Wahrscheinlichkeit per Hand zu bestimmen, kann in diesem Fall das Ergebnis der Summe auch in einer Formelsammlung (Tafelwerk) nachgeschlagen werden.

Mindestwahrscheinlichkeit für k Treffer

Die Mindestwahrscheinlichkeit für k Treffer kann mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit einfach bestimmt werden. Denn diese entspricht für mindestens k Treffer der Wahrscheinlichkeit für weniger als k Treffer. Damit ergibt sich:

P(X \geq k) = 1-P(X<k)

        = 1-P(X \leq k-1).

Das heißt wir müssen die Wahrscheinlichkeit für höchstens k-1 Treffer bestimmen, welche wir einfach der Formelsammlung (Tafelwerk) entnehmen oder mit der Bernoulli Formel berechnen können.

Wenn du selbst in einem Beispiel die Bernoulli Formel explizit anwenden möchtest, hast du hier einige Aufgaben mit Lösungen zur Übung.

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