Was muss bei einer Bernoulli Kette immer gleich bleiben?

Bei einer Bernoulli-Kette muss die Trefferwahrscheinlichkeit p in jedem Versuch gleich bleiben. Außerdem besteht jeder Versuch nur aus zwei Ausgängen, Treffer oder Niete, und die Versuche sind stochastisch unabhängig. Beim Ziehen mit Zurücklegen bleibt p konstant, weil du die Kugel nach jedem Zug zurücklegst.

Was bedeuten n, k und p in der Bernoulli Formel?

In der Bernoulli-Formel ist n die Anzahl der Versuche, k die Anzahl der Treffer und p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer. Deshalb liefert genau die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Versuchen exakt k Treffer auftreten, mit Nietenwahrscheinlichkeit .

Wie komme ich bei genau k Treffern auf den Binomialkoeffizienten?

Bei genau k Treffern brauchst du den Binomialkoeffizienten, weil er die Anzahl passender Pfade zählt. Er gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Treffer auf n Versuche zu verteilen. Diese Anzahl ist und multipliziert den Pfadwert .

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer?

Die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer berechnest du, indem du alle Fälle von 0 bis k Treffern addierst. Das bedeutet . Mit der Bernoulli-Formel wird daraus .

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer?

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer berechnest du über die Gegenwahrscheinlichkeit: . Der Grund ist, dass „mindestens k“ das Gegenteil von „höchstens k-1“ ist. Also erst bestimmen und dann von 1 abziehen.

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Bernoulli Formel

Wichtige Inhalte in diesem Video

Bernoulli Formel einfach erklärt

(00:13)

Baumdiagramm Bernoulli Kette

(01:14)

Bernoulli Aufgaben Typen

(04:29)

In diesem Artikel erklären wir dir die Bernoulli Formel und zeigen dir wie du mit ihr die Wahrscheinlichkeit einer Bernoulli Kette berechnen kannst.

Wenn du die Bernoulli Formel und ihre Anwendung noch schneller verstehen möchtest, dann schau dir gleich unser Video an.

Inhaltsübersicht

Bernoulli Formel einfach erklärt

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(00:13)

Mithilfe der Bernoulli Formel kann ohne großen Aufwand die Wahrscheinlichkeit einer Bernoulli Kette berechnet werden. Eine Bernoulli Kette (oder Bernoulli Prozess) ist eine Reihe von stochastisch unabhängigen Bernoulli Experimenten . Bei einem solchen Experiment gibt es stets nur zwei Ausgänge, Treffer oder Niete. Zudem darf die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, , und somit auch die für eine Niete, 1-p , nicht variieren.

Merke

Die Bernoulli Formel lautet:

$P(X=k) = \left( \begin{array}{c} n\\k \end{array}\right) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$

Die Parameter der Bernoulli Formel haben dabei folgende Bedeutung:

Die Anzahl der Versuche: .
Die Anzahl der Treffer, die dabei erzielt werden: .
Die Wahrscheinlichkeit mit der ein Treffer eintritt: .

Damit liefert die Bernoulli Formel die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei Versuchen.

Baumdiagramm Bernoulli Kette

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(01:14)

Die Anzahl der Versuche , die ausgeführt werden, entspricht der Länge der Bernoulli Kette. Die Versuche müssen die oben aufgeführten Bedingungen einer Bernoulli Kette erfüllen und sind somit binomialverteilt .

Ein Beispiel für eine Bernoulli Kette der Länge drei, wäre das dreimalige Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit nur schwarzen und weißen Kugeln. Dabei zähle eine schwarze Kugel als Treffer und eine weiße Kugel als Niete. Die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel zu ziehen, sei und die Gegenwahrscheinlichkeit, das Ziehen einer weißen Kugel, liege dementsprechend bei 1-p . Nach jedem mal Ziehen muss die Kugel wieder zurückgelegt werden, damit die Wahrscheinlichkeiten immer die gleichen bleiben. Diesen Prozess können wir in einem Baumdiagramm darstellen, um uns damit die Bernoulli Formel zu erklären.

Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für zum Beispiel genau zwei Treffer, müssen wir nun alle Pfade betrachten, auf denen zweimal , für zwei schwarze Kugeln, und einmal , für eine weiße Kugel, vorkommen. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches Ereignis berechnen wir, indem wir die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren. Anschließend addieren wir die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade.

Da jeder der Pfade die Wahrscheinlichkeit

$p^2\cdot (1-p)$

besitzt und es insgesamt drei solcher Pfade gibt, entspricht damit die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Treffer

$p^2\cdot (1-p)+p\cdot (1-p)\cdot p+(1-p) \cdot p^2= 3 \cdot p^2\cdot (1-p) = P(X=2),$

was auch mit der Bernoulli Formel übereinstimmt.

Betrachten wir einmal den allgemeinen Fall von n-mal Ziehen, in dem wir die Wahrscheinlichkeit von genau k Treffern berechnen wollen. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades entspricht dann

$p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ .

Denn entlang des entsprechenden Pfades kommen schwarze Kugeln mit Wahrscheinlichkeit und sonst nur weiße Kugeln, also n-k viele mit Wahrscheinlichkeit 1-p , vor. Jetzt müssen wir nur noch herausfinden, wie viele dieser Pfade es gibt. Dabei hilft uns der Binomialkoeffizient

$\left(\begin{array}{c} n \\k \end{array} \right) .$

Dieser besagt gerade, wie viele Möglichkeiten existieren, Kugeln aus einer Menge von Kugeln zu ziehen, was exakt der Anzahl an Pfaden entspricht. Mit diesem Wissen ergibt sich schließlich die Bernoulli Formel

$P(X=k)=\left(\begin{array}{c} n \\k \end{array} \right) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

als Wahrscheinlichkeit genau schwarze Kugeln nach -maligem Ziehen zu erhalten.

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Bernoulli Aufgaben Typen

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(04:29)

Wir kennen nun den Hintergrund der Bernoulli Formel und wollen jetzt wissen, wie sie verwendet werden kann. Dafür betrachten wir zwei verschiedene Aufgaben-Typen.

Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer

Angenommen es ist die Wahrscheinlichkeit von höchstens Treffern gesucht. Dann tritt dieses Ereignis ein, wenn die Anzahl der Treffer kleiner oder gleich ist. Das heißt wir erhalten die Wahrscheinlichkeit des gesuchten Ereignisses, indem wir die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Fälle aufaddieren:

$P(X \leq k)= P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k)=\sum \limits_{i=0}^k P(X=i)$

$= \sum \limits_{i=0}^k \left(\begin{array}{c} n \\i \end{array} \right) \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}$ .

Da es für große Werte sehr mühsam wäre diese Wahrscheinlichkeit per Hand zu bestimmen, kann in diesem Fall das Ergebnis der Summe auch in einer Formelsammlung (Tafelwerk) nachgeschlagen werden.

Mindestwahrscheinlichkeit für k Treffer

Die Mindestwahrscheinlichkeit für Treffer kann mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit einfach bestimmt werden. Denn diese entspricht für mindestens Treffer der Wahrscheinlichkeit für weniger als Treffer. Damit ergibt sich:

$P(X \geq k) = 1-P(X<k)$

$= 1-P(X \leq k-1)$ .

Das heißt wir müssen die Wahrscheinlichkeit für höchstens k-1 Treffer bestimmen, welche wir einfach der Formelsammlung (Tafelwerk) entnehmen oder mit der Bernoulli Formel berechnen können.

Bernoulli Formel — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was muss bei einer Bernoulli Kette immer gleich bleiben?

Bei einer Bernoulli-Kette muss die Trefferwahrscheinlichkeit p in jedem Versuch gleich bleiben. Außerdem besteht jeder Versuch nur aus zwei Ausgängen, Treffer oder Niete, und die Versuche sind stochastisch unabhängig. Beim Ziehen mit Zurücklegen bleibt p konstant, weil du die Kugel nach jedem Zug zurücklegst.
Was bedeuten n, k und p in der Bernoulli Formel?

In der Bernoulli-Formel ist n die Anzahl der Versuche, k die Anzahl der Treffer und p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer. Deshalb liefert genau die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Versuchen exakt k Treffer auftreten, mit Nietenwahrscheinlichkeit .
Wie komme ich bei genau k Treffern auf den Binomialkoeffizienten?

Bei genau k Treffern brauchst du den Binomialkoeffizienten, weil er die Anzahl passender Pfade zählt. Er gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Treffer auf n Versuche zu verteilen. Diese Anzahl ist $\left(\begin{array}{c} n\\k \end{array}\right)$ und multipliziert den Pfadwert $p^k(1-p)^{n-k}$ .
Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer?

Die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer berechnest du, indem du alle Fälle von 0 bis k Treffern addierst. Das bedeutet $P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k} P(X=i)$ . Mit der Bernoulli-Formel wird daraus $P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\left(\begin{array}{c} n\\i \end{array}\right)p^i(1-p)^{n-i}$ .
Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer?

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer berechnest du über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$ . Der Grund ist, dass „mindestens k“ das Gegenteil von „höchstens k-1“ ist. Also erst $P(X\le k-1)$ bestimmen und dann von 1 abziehen.