Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsverteilung

In diesem Artikel erklären wir dir, was eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist. Du lernst den Unterschied zwischen der Dichte- und der Verteilungsfunktion und wir klären die Abgrenzung zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen.


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Inhaltsübersicht

Wahrscheinlichkeitsverteilung einfach erklärt

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine mathematische Funktion, bei der jedem möglichen Wert eines Zufallsexperiments eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird. Hierbei werden auf der x-Achse die verschiedenen Ausprägungen der Zufallsvariable und auf der y-Achse die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten abgetragen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt dir Auskunft darüber, wie wahrscheinlich bestimmte Ausprägungen oder Gruppen von Ausprägungen einer Zufallsvariable sind. 

Man unterscheidet bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen zwischen der Dichte- und der Verteilungsfunktion. Die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen zeigt die Wahrscheinlichkeit einzelner Ergebnisse des Zufallsexperiments. Bei der Verteilungsfunktion werden hingegen die Wahrscheinlichkeiten bis zu einer bestimmten Ausprägung aufaddiert und die Summe der Wahrscheinlichkeiten dargestellt.

Die Dichte- und die Verteilungsfunktion sehen unterschiedlich aus, je nach dem, ob es sich um eine diskrete oder eine stetige Zufallsvariable handelt. Bei diskreten Zufallsvariablen wird die Dichtefunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion genannt. 

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die verschiedenen Funktionen der Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Unterscheidung Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsfunktionen können auf zwei unterschiedliche Arten beschrieben werden: Einmal mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion selbst (oder Dichtefunktion) und einmal mit der Verteilungsfunktion. Außerdem können wir zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen unterschieden.

Insgesamt unterscheiden wir bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung also vier Fälle:

  1. Diskrete Zufallsvariable: Wahrscheinlichkeitsfunktion
  2. Diskrete Zufallsvariable: Verteilungsfunktion
  3. Stetige Zufallsvariable: Dichtefunktion 
  4. Stetige Zufallsvariable: Verteilungsfunktion

Wenn dich ein Fall besonders interessiert, dann sieh dir gerne unsere separaten Beiträge dazu an.

Diskrete und stetige Zufallsvariablen

Bevor wir uns die verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ansehen, müssen wir klären, was der Unterschied zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen ist. Der Hauptunterschied zwischen den beiden Arten der Zufallsvariable liegt in der Anzahl ihrer möglichen Ergebnisse:

Eine diskrete Zufallsvariable X hat eine begrenzte, abzählbare Anzahl an möglichen Ausprägungen x_i. Denke dabei zum Beispiel an einen Würfelwurf: Durch die sechs verschiedenen Augenzahlen kann die Zufallsvariable genau sechs unterschiedliche Werte annehmen. Die verschiedenen Werte einer diskreten Zufallsvariable können übersichtlich in einer Tabelle dargestellt werden.

x_i 1 2 3 4 5 6
P(x_i) \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6}

Anders sieht es bei einer stetigen Zufallsvariable X aus. In diesem Fall hat das Zufallsexperiment unendlich viele mögliche Ausgänge x_i. Ein Beispiel für eine stetige Zufallsvariable ist etwa die Körpergröße. Da es sehr, sehr viele unterschiedliche Körpergrößen gibt, kannst du die verschiedenen Ausprägungen nicht mehr einfach abzählen. Streng genommen geht die Anzahl verschiedener Körpergrößen sogar gegen unendlich. Schließlich könntest du die Körpergröße einer Person theoretisch immer nochmal auf eine weitere Nachkommastelle genauer messen und so immer mehr verschiedene Körpergrößen unterscheiden. Im Gegensatz zu einer diskreten Zufallsvariable kannst du die Ausprägungen einer stetigen Zufallsvariable auch nicht mehr in einer Tabelle darstellen. Eine solche Tabelle hätte unendlich viele Spalten und wäre weder übersichtlich, noch würde sie auf ein Blatt Papier passen. 

Dichte- und Verteilungsfunktion 

Nun kennst du den Unterschied zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen und wir können uns der Dichte- und der Verteilungsfunktion widmen. Allgemein gesprochen zeigt die Dichtefunktion die Wahrscheinlichkeiten für einzelne Ausprägungen der Zufallsvariablen, während bei der Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeiten mehrerer Ausprägungen aufsummiert sind. 

Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion: Diskrete Zufallsvariable

Sehen wir uns zunächst die Dichte- und die Verteilungsfunktion bei einer diskreten Zufallsvariable an. Die Dichtefunktion einer diskreten Zufallsvariablen wird als Wahrscheinlichkeitsfunktion bezeichnet.

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Diskrete Zufallsvariable: Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die unten gezeigte Verteilung ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariable „Würfelwurf“.


Du siehst, dass auf der x-Achse die einzelnen Werte der Zufallsvariablen abgetragen wurden. Im Falle des Zufallsexperiments „Würfelwurf“ sind das einfach die verschiedenen Augenzahlen von 1 bis 6. Auf der y-Achse findest du hingegen die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ergebnisse. Für jede Augenzahl wurde eingetragen, dass sie mit einer Wahrscheinlichkeit von \frac{1}{6}  auftritt.  Zählst du die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse zusammen, erhältst du stets 1. Da du immer nur ganze Augenzahlen würfeln kannst, wurde zudem nur genau bei den jeweiligen Werten eine Wahrscheinlichkeit eingetragen. Die Abstände zwischen den sechs Augenzahlen wurden hingegen freigelassen.  

Den zweiten Fall bildet die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariable. Bei der Verteilungsfunktion kannst du sehen, wie wahrscheinlich mehrere Ergebnisse bis zu einem bestimmten Ergebnis zusammen sind. Dafür werden die Wahrscheinlichkeiten bis zu diesem Ergebnis aufsummiert und in die Verteilungsfunktion eingetragen. Durch das Aufsummieren der einzelnen Wahrscheinlichkeiten sieht die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariable aus wie eine Treppe. 

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Diskrete Zufallsvariable: Verteilungsfunktion

Hier siehst du die Verteilungsfunktion eines Würfelwurfs. Du kannst ablesen, wie wahrscheinlich es ist, höchstens eine bestimmte Augenzahl zu würfeln. Die Wahrscheinlichkeit für höchstens eine drei beträgt zum Beispiel \frac[{1}{2}. Um diese Wahrscheinlichkeit zu erhalten, wurden die Wahrscheinlichkeiten eine eins, eine zwei oder eine drei zu würfeln aufsummiert. 

Dichte- und Verteilungsfunktion: Stetige Zufallsvariable

Nun sehen wir uns noch die Dichte- und die Verteilungsfunktion bei der stetigen Zufallsvariable an. Da es bei einer stetigen Zufallsvariable unendlich viele, sehr nah beieinander liegende Ergebnisse gibt, wird die Dichtefunktion als durchgängige Linie dargestellt. Im Unterschied zur Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsvariablen, gibt es hier also keine „Lücken“ zwischen den einzelnen Ausprägungen.

Du weißt ja bereits, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse eines Zufallsexperiments immer 1 ergibt. Im Falle einer stetigen Zufallsvariable muss diese Gesamtwahrscheinlichkeit von 1 jedoch auf unendlich viele Ausprägungen aufgeteilt werden. Dadurch ist die Wahrscheinlichkeit für eine einzelne Ausprägung sehr, sehr klein und geht gegen null. Deshalb kannst du in der Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariable nicht einfach die Wahrscheinlichkeit einer einzelnen Ausprägung ablesen, da diese in der Praxis immer null wäre. Stattdessen musst du mehrere Ausprägungen zusammen gruppieren, um ein sinnvolles Ergebnis für die Wahrscheinlichkeit zu erhalten.  Dafür integrierst du über mehrere Ausprägungen hinweg und erhältst so die Wahrscheinlichkeit für diese Menge an Ausprägungen. Am Beispiel der Körpergröße könntest du so beispielsweise die Wahrscheinlichkeit für eine Körpergröße zwischen 181 cm und 184 cm berechnen. 

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Stetige Zufallsvariable: Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion der stetigen Zufallsvariable kannst du hingegen analog zur Verteilungsfunktion der diskreten Zufallsvariable interpretieren. Hier ist wieder eingetragen, wie wahrscheinlich es ist, ein bestimmtes oder ein kleineres Ergebnis zu erhalten. Bezogen auf die Körpergröße bedeutet das, du könntest zum Beispiel ablesen, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Person höchstens 172 cm groß  ist. 

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Stetige Zufallsvariable: Verteilungsfunktion

Noch mehr Wahrscheinlichkeitsrechnung?

So, jetzt weißt du alles, was du zur Wahrscheinlichkeitsverteilung wissen musst. Du möchtest noch mehr über Wahrscheinlichkeitsrechnung lernen? Kein Problem! Sieh dir gerne unsere anderen Beiträge zu diesem Thema an.
Wenn du dich allgemein über die Wahrscheinlichkeitsrechnung informieren möchtest, dann sind diese Beiträge genau richtig:

Detailliertere Informationen über verschiedene diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen findest du in diesen Beiträgen:

Wenn du dich für stetige Verteilungen interessierst, dann schau dir unbedingt diese Videos an:

 

 


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