Was ist eine Ergebnismenge und wie bestimmst du sie? Wenn du das wissen willst, erklären wir dir hier und im Video alles Wichtige dazu.
Inhaltsübersicht
Ergebnismenge einfach erklärt
Als Ergebnismenge fasst du alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes zusammen. Schau dir dafür gleich ein Beispiel an:
Beim Werfen eines Würfels gibt es 6 verschiedene Möglichkeiten, welche Augenzahl du bekommst. Diese Möglichkeiten schreibst du alle in die Ergebnismenge. Sie wird mit dem griechischen Buchstaben Ω („Omega“) abgekürzt.
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Interessieren dich jedoch nur die Würfelergebnisse mit einer geraden Zahl, verändert sich auch deine Ergebnismenge. Du schreibst nur die Augenzahlen des Würfels auf, die gerade Zahlen sind.
Ω = {2; 4; 6}
Wichtig: Die Ereignismenge und die Ergebnismenge sind zwei unterschiedliche Begriffe. Die Ereignismenge ist die Menge aller Ereignisse. Achte darauf, dass du sie nicht verwechselst.
Eindeutige Ergebnismenge
Neben dem Würfelbeispiel aus dem ersten Absatz gibt es noch weitere Zufallsexperimente, die eine eindeutige Ergebnismenge aufweisen. Das bedeutet, dass du bei diesen Experimenten nur eine Ergebnismenge formulieren kannst. Schau dir dafür die folgenden beiden Beispiele an.
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Münzwurf
Eine Münze hat zwei Seiten. Sie kann beim Werfen entweder Kopf oder Zahl zeigen. Diese beiden Ergebnisse kannst du als Menge zusammenfassen:
Ω = {Kopf; Zahl}
Wenn du Kopf mit K und Zahl mit Z abkürzt, sieht deine Menge so aus:
Ω = {K; Z}
Übrigens: Statt Ergebnismenge kannst du genauso das Wort Ergebnisraum verwenden. Es handelt sich um Synonyme.
Urnenexperiment
Auch eindeutig ist der Ergebnisraum bei Herausziehen von Kugeln aus einer Urne. Die Kugeln in der Urne haben verschiedene Farben. Es gibt rote, blaue und grüne Kugeln.
Diese drei Farben sind deine Möglichkeiten für den Ausgang des Zufallsexperiments. Du kannst entweder eine rote, eine blaue oder eine grüne Kugel ziehen. Als Ergebnismenge stellst du es so dar:
Ω = {rot; blau; grün} = {r; b; g}
Erweitertes Urnenexperiment
Wenn du nun das Urnenexperiment erweiterst und noch eine zweite Kugel herausziehst, entstehen Farbkombinationen. Das bedeutet, dass du auch eine neue Ergebnismenge hast. Egal welche Farbe du als erstes gezogen hast, beim zweiten Ziehen hast du wieder alle 3 Farben als Möglichkeiten.
Dieses Baumdiagramm zeigt dir die verschiedenen Farbkombinationen, die du nacheinander ziehen kannst. Wenn du das Baumdiagramm vom Startpunkt bis zu einem der Endpunkte folgst, kannst du eine Farbkombination ablesen. Machst du das mit jedem „Ast“, erhältst du alle Möglichkeiten.
Ω = {rr; rb; rg; br; bb; bg; gr; gb; gg}
Mehrere mögliche Ergebnisräume
Genauso kann es aber auch Experimente geben, bei denen es verschiedene Ergebnisräume gibt. Dann kommt es darauf an, was du genau betrachten willst.
Stell dir vor, in der Urne vom vorherigen Beispiel wären nicht nur Kugeln, sondern auch noch ein roter und ein blauer Würfel. Wenn du noch einen der Körper herausziehst, wie würde dann die Ergebnismenge aussehen?
Das kommt ganz darauf an, ob du die Form, die Farbe oder sogar beides betrachten willst.
1. Betrachtung der Farbe:
Ist dir nur wichtig, welche Farbe du aus der Urne ziehst? Dann hast du 3 Möglichkeiten:
Entweder du ziehst einen roten, einen blauen oder einen grünen Körper heraus.
Ω = {rot; blau; grün} = {r; b; g}
2. Betrachtung der Form:
Betrachtest du hingegen nur, ob es ein Würfel oder eine Kugel ist, dann sieht deine Menge folgendermaßen aus.
Ω = {Kugel; Würfel}
3. Kombination aus beidem:
Du kannst aber genauso auch Form und Farbe kombinieren. Hier vergrößert sich dein Ergebnisraum. Betrachte also alle Möglichkeiten, die du aus der Urne ziehen kannst.
Ω = {rote Kugel; blaue Kugel; grüne Kugel; roter Würfel; blauer Würfel}
Übrigens: In manchen Büchern und Übungen wird die Ergebnismenge auch mit einem S abgekürzt. Die Menge S ist aber das Gleiche wie die Menge Ω.
Die Ergebnisse eines Zufallsexperimentes kannst du in 3 verschiedene Arten unterteilen:
- Mögliche Ergebnisse: Kannst du in einer Ergebnismenge aufschreiben → einmaliges Würfeln: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
- Unmögliche Ergebnisse: Dieses Ergebnis tritt niemals auf → Würfeln einer Zahl > 6
- Sicheres Ergebnis: Dieses Ergebnis tritt immer auf → Würfeln einer Zahl kleiner 6 und größer 1
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Prima! Jetzt kannst du Ergebnismengen bestimmen. Außerdem gehört die Ergebnismenge zu den wichtigen Begriffen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Willst du mehr über die Wahrscheinlichkeitsrechnung erfahren? Dann schau doch direkt in unser Video .
Ergebnismenge — häufigste Fragen
(ausklappen)
Ergebnismenge — häufigste Fragen
(ausklappen)-
Was ist die Ergebnismenge E?Für die Ergebnismenge verwendet man meist
(oder manchmal 
), nicht 
. steht in vielen Aufgaben eher für ein Ereignis. Die Ergebnismenge selbst ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments, zum Beispiel beim Würfeln 
.
-
Was ist der Unterschied zwischen Ergebnis- und Ergebnismenge?Ein Ergebnis ist ein einzelner möglicher Ausgang eines Zufallsexperiments, die Ergebnismenge fasst alle möglichen Ausgänge zusammen. Zum Beispiel ist beim Münzwurf „Kopf“ ein Ergebnis und die Ergebnismenge lautet
.
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Was ist der Unterschied zwischen Ergebnismenge und Ereignismenge?Die Ergebnismenge enthält alle möglichen einzelnen Ergebnisse, die Ereignismenge enthält Ereignisse, also Zusammenfassungen von Ergebnissen. Zum Beispiel gilt beim Würfeln und das Ereignis „gerade Zahl“ ist
. Die Ereignismenge sammelt solche Ereignisse.
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Wie berechnet man die Ergebnismenge?Die Ergebnismenge bestimmt man, indem man festlegt, was als Ergebnis zählen soll, und dann alle möglichen Ausgänge vollständig aufschreibt. Zum Beispiel beim einmaligen Würfeln:. Bei zwei Ziehungen kann man die Möglichkeiten mit einem Baumdiagramm systematisch ablesen, damit keine Kombination fehlt.
Wahrscheinlichkeitsrechnung verstehen
Die Ergebnismenge gehört zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und ist ein Grundbegriff bei Zufallsexperimenten. Du ordnest in diesem Themenfeld mögliche Ergebnisse und schreibst sie als Menge auf. So wird klar, welche Ausgänge zu einem Experiment gehören und wie du sie sicher voneinander trennst. Im Statistikbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.