Was gibt die Zufallsvariable bei der geometrischen Verteilung an?

Die Zufallsvariable der geometrischen Verteilung gibt die Anzahl der unabhängigen Versuche bis zum ersten Erfolg an. zählt also mit, bei welchem Versuch der erste Erfolg eintritt, und kann Werte annehmen.

Woran erkennt man in einer Aufgabe, dass man die geometrische Verteilung und nicht die Binomialverteilung benutzen muss?

Die geometrische Verteilung verwendet man, wenn in einer Aufgabe gefragt ist, wie lange man auf den ersten Erfolg warten muss, während die Versuche unabhängig bleiben und die Erfolgswahrscheinlichkeit gleich ist. Die Binomialverteilung passt dagegen, wenn eine feste Zahl von Versuchen vorgegeben ist und die Anzahl der Erfolge gezählt wird.

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg genau beim x-ten Versuch passiert?

Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg genau beim -ten Versuch passiert, berechnet man mit der Dichte , weil vorher Misserfolge und dann ein Erfolg eintreten müssen. Beispiel Würfel: und ergibt .

Warum rechnet man bei der Verteilungsfunktion der geometrischen Verteilung oft mit der Gegenwahrscheinlichkeit?

Bei der Verteilungsfunktion der geometrischen Verteilung rechnet man oft mit der Gegenwahrscheinlichkeit, weil sonst als Summe vieler Einzelwahrscheinlichkeiten geschrieben werden müsste. Das Gegenereignis bedeutet, dass in den ersten Versuchen kein Erfolg eintritt, was direkt als berechenbar ist.

Video

Hier geht's zum Video „Bernoulliverteilung“

Zurück zum Text

Aufgabe lösen Teste dein Wissen

Weiter lernen Empfohlenes passendes Video

Geometrische Verteilung

Wichtige Inhalte in diesem Video

Geometrische Verteilung Statistik

(00:12)

Geometrische Verteilung Beispiel

(00:31)

Erwartungswert geometrische Verteilung

(02:08)

Dieser Artikel erklärt einfach und verständlich, was es mit der geometrischen Verteilung auf sich hat. Du erfährst, wann man diese diskrete Verteilung benutzt und wie man die Formeln zur Berechnung des Erwartungswertes, der Dichte und der Verteilungsfunktion verwendet.

Du möchtest wissen, was die geometrische Verteilung mit Bernoulli zu tun hat ohne diesen Artikel zu lesen? Dann sieh dir unser Video zum Thema an!

Abiturvorbereitung

Klasse 11

Klasse 12

Klasse 13

Inhaltsübersicht

Geometrische Verteilung Statistik

im Videozur Stelle im Video springen

(00:12)

Die Geometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, welche sich auf Basis von unabhängigen Bernoulli Experimenten ergibt.

Sie wird oft als „Verteilung des Wartens auf den ersten Erfolg“ bezeichnet. In diesem Ausdruck spiegelt sich auch schon ihre Grundidee wieder. Es liegt ein Bernoulli Experiment mit der Wahrscheinlichkeit p vor und man fragt sich, wie oft man dieses Experiment ausführen muss, bis der erste Erfolg eintritt.

Geometrische Verteilung Beispiel

im Videozur Stelle im Video springen

(00:31)

Ein klassisches Beispiel hierfür ist „Mensch ärgere dich nicht“. Um mit seiner Figur auf das Spielfeld gehen zu dürfen, muss man eine sechs Würfeln. Nun kann man sich fragen, wie oft man würfeln muss, um eine sechs zu erhalten. Jeder Versuch eine sechs zu würfeln ist dabei ein Bernoulli Experiment mit der Wahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{6}$ .
Mathematisch drückt man die geometrische Verteilung wie folgt aus:

X~G(p)

Beziehungsweise in unserem Beispiel:

X~G( $\frac{1}{6})$

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Nach Beantwortung speichern wir deine Antwort, um Studyflix zu verbessern. Mehr dazu erfährst du in unserer Datenschutzerklärung.

Geometrische Verteilung Dichte

Die Dichte der geometrischen Verteilung lautet wie folgt:

$f(x)={(1-p)}^{x-1}\ \ast\ p$

Warum die Formel so aussieht, kann man sich ganz einfach selbst herleiten. Wenn man beispielsweise die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen will, dass man mit dem zweiten Versuch eine 6 würfelt, also f(2), muss man die Wahrscheinlichkeit, dass man im ersten Versuch keine 6 gewürfelt hat, also (1-p), mit der Wahrscheinlichkeit, dass man eine 6 würfelt, also p, multiplizieren. Die Wahrscheinlichkeit im zweiten Versuch eine 6 zu würfeln beträgt also circa 13,89%.

$f(x)=(1-p)\ast\ p=\ \frac{5}{6}\ \ast\ \frac{1}{6}\ =\ 0,1389$

Geometrische Verteilung Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion der geometrischen Verteilung lässt sich am einfachsten über die Gegenwahrscheinlichkeit bestimmen. Wir suchen ja die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als x Versuche benötigt werden, um eine 6 zu würfeln. Dazu müsste man jede einzelne Wahrscheinlichkeit aufsummieren. Das kann man sich aber sparen, indem man ganz einfach die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis, also P(X>x) bestimmt. Denn es gilt ja die Regel, dass die Wahrscheinlichkeit 1 minus die Gegenwahrscheinlichkeit ist.

$F(x)=P(X\le\ x)=1-P(X>x)=1{-(1-p)}^x$

Erwartungswert geometrische Verteilung

im Videozur Stelle im Video springen

(02:08)

Der Erwartungswert der geometrischen Verteilung lässt sich ebenfalls sehr einfach bestimmen:

$E(X)=\frac{1}{p}$

Bei einer Wahrscheinlichkeit von p= $\frac{1}{6}$ , braucht man also im Durchschnitt 6 Versuche um eine 6 zu würfeln.

Geometrische Verteilung Varianz

Wenn du den Erwartungswert weißt, ist die Berechnung der Varianz ein Leichtes. Die Formel für die Bestimmung der Varianz sieht wie folgt aus:

$V(X)=\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p}$

Im Endeffekt muss man nur den Erwartungswert einsetzten und erhält im Handumdrehen die gesuchte Varianz.

Geometrische Verteilung Formel

Super! Das wars auch schon zur geometrischen Verteilung! Hier sind noch einmal alle wichtigen Formeln zusammengefasst:

Geometrische Verteilung — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was gibt die Zufallsvariable bei der geometrischen Verteilung an?

Die Zufallsvariable der geometrischen Verteilung gibt die Anzahl der unabhängigen Versuche bis zum ersten Erfolg an. zählt also mit, bei welchem Versuch der erste Erfolg eintritt, und kann Werte $1,2,3,\dots$ annehmen.
Woran erkennt man in einer Aufgabe, dass man die geometrische Verteilung und nicht die Binomialverteilung benutzen muss?

Die geometrische Verteilung verwendet man, wenn in einer Aufgabe gefragt ist, wie lange man auf den ersten Erfolg warten muss, während die Versuche unabhängig bleiben und die Erfolgswahrscheinlichkeit gleich ist. Die Binomialverteilung passt dagegen, wenn eine feste Zahl von Versuchen vorgegeben ist und die Anzahl der Erfolge gezählt wird.
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg genau beim x-ten Versuch passiert?

Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg genau beim -ten Versuch passiert, berechnet man mit der Dichte $f(x)=(1-p)^{x-1}\cdot p$ , weil vorher Misserfolge und dann ein Erfolg eintreten müssen. Beispiel Würfel: $p=\tfrac{1}{6}$ und ergibt $f(2)=\tfrac{5}{6}\cdot\tfrac{1}{6}=0{,}1389$ .
Warum rechnet man bei der Verteilungsfunktion der geometrischen Verteilung oft mit der Gegenwahrscheinlichkeit?

Bei der Verteilungsfunktion der geometrischen Verteilung rechnet man oft mit der Gegenwahrscheinlichkeit, weil $P(X\le x)$ sonst als Summe vieler Einzelwahrscheinlichkeiten geschrieben werden müsste. Das Gegenereignis bedeutet, dass in den ersten Versuchen kein Erfolg eintritt, was direkt als berechenbar ist.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen verstehen

Die geometrische Verteilung gehört zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ist ein typisches Thema der Stochastik. Wer sich mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschäftigt, ordnet Zufallsvariablen ein und vergleicht, wie Wahrscheinlichkeiten beschrieben werden. So wird klar, was eine Verteilung über mögliche Ergebnisse und ihre Wahrscheinlichkeiten aussagt. Weitere Videos dazu findest du in unserem Statistikbereich.

zur Videoseite: Geometrische Verteilung