Statistik Wahrscheinlichkeit

Normalverteilung

Inhaltsübersicht

Alles was du zur Normalverteilung wissen musst, erfährst du in diesem Artikel. Es wird behandelt wie man die Normalverteilung berechnen kann und zur Standardnormalverteilung transformiert. Außerdem verdeutlicht ein einfaches Beispiel am Ende alles Wichtige zu dieser auch als Gauß Verteilung oder Glockenkurve bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Deine Alarmglocken läuten bei so langen Texten? Unser Video lässt diese verstummen und erklärt dir alles zur gaußschen Normalverteilung im Handumdrehen!

Gaußsche Normalverteilung

Die gaußsche Normalverteilung ist eine der wichtigsten stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Carl Friedrich Gauß leistete so einen fundamentalen Beitrag bei der Analyse , dass Normalverteilung auch häufig als Gauß Verteilung bezeichnet wird. Eine andere bekannte Bezeichnung ist auch Glockenkurve aufgrund der charakteristischen Form.

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Gaußsche Normalverteilung

Normalverteilung Statistik

Das klingt ja alles sehr nett, aber warum ist die Normalverteilung denn nun die wichtigste Verteilung in der Statistik? Ganz einfach: so gut wie jeder Mittelwert einer x-beliebigen stetigen Verteilung folgt der Glockenkurve. Diese Besonderheit ist auch als zentraler Grenzwertsatz bekannt.

Normalverteilung Erklärung

Außerdem finden wir die Normalverteilungen sehr häufig in unserem Alltag wieder. So sind zum Beispiel die Körpergröße oder die Intelligenz einer Person annähernd normalverteilt. Das liegt daran, dass es nun mal wenig Zwerge und Riesen unter den Menschen gibt. Dafür aber ziemlich viele Personen, welche annähernd so groß sind wie der Durchschnitt. Somit ergibt sich auch die charakteristische glockenförmige Verteilung.

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Normalverteilung Formel

Die Formeln und Variablen welche man in Zusammenhang mit der Gauß Verteilung benötigt, sind nicht sehr kompliziert. Man muss jedoch darauf achten, die richtigen Werte an der richtigen Stelle einzusetzen.  Die Normalverteilung hängt grundsätzlich von zwei Kennzahlen ab: dem Erwartungswert μ und der Varianz \sigma^2, wobei gilt:

\mu\ \in\ R und \sigma^2>\ 0

Außerdem ist es wichtig zu wissen, dass man bei manchen Aufgaben zuerst die Standardnormalverteilung berechnen muss.

Normalverteilung Erwartungswert

Veränderst du μ verschiebt sich die Kurve nach links oder rechts. Das ist auch logisch, denn bei μ liegt immer das Maximum. Die Varianz \sigma^2 hingegen verändert die Form deiner Glockenkurve, sie wird also entweder gestreckt oder gestaucht.

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Dichtefunktion Normalverteilung

So, das war bisher noch ziemlich einfach. Die Dichtefunktion der normalverteilter Werte sieht etwas komplizierter aus, besteht aber im Endeffekt nur aus den bereits behandelten Variablen.

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Dichtefunktion Normalverteilung

Verteilungsfunktion Normalverteilung

Die Formel für die Verteilungsfunktion dagegen hat es in sich, da die einzelnen Werte von –\infty bis zum Wert x summiert werden müssen.

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Verteilungsfunktion Normalverteilung

Aber Stopp! Bevor du jetzt völlig verzweifelst, können wir dich beruhigen. Es ist überhaupt nicht notwendig die Verteilungsfunktion mit dem Taschenrechner, geschweige denn im Kopf, zu lösen. Deshalb benutzt man sogenannte Verteilungstabellen. Mit Ihnen kann man das Ergebnis ganz einfach ablesen. Das bedeutet: kein bisschen rechnen! Hört sich schon viel besser an, oder?

Normalverteilung Tabelle

Wenn die Rede von der Verteilungstabelle der Normalverteilung ist, meint man im Normalfall die der Standardnormalverteilung.

z / Φ(z) 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0 0.5 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.5279 0.53188 0.53586
0.1 0.53983 0.5438 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.57535
0.2 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.61409
0.3 0.61791 0.62172 0.62552 0.6293 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.65173
0.4 0.65542 0.6591 0.66276 0.6664 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.68793
0.5 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.7054 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.7224
0.6 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.7549
0.7 0.75804 0.76115 0.76424 0.7673 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.7823 0.78524
0.8 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.81327
0.9 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.83891
1 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.86214
1.1 0.86433 0.8665 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.879 0.881 0.88298
1.2 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.90147
1.3 0.9032 0.9049 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621 0.91774
1.4 0.91924 0.92073 0.9222 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.93189
1.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.94408
1.6 0.9452 0.9463 0.94738 0.94845 0.9495 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.95449
1.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.9608 0.96164 0.96246 0.96327
1.8 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.97062
1.9 0.97128 0.97193 0.97257 0.9732 0.97381 0.97441 0.975 0.97558 0.97615 0.9767
2 0.97725 0.97778 0.97831 0.97882 0.97932 0.97982 0.9803 0.98077 0.98124 0.98169
2.1 0.98214 0.98257 0.983 0.98341 0.98382 0.98422 0.98461 0.985 0.98537 0.98574
2.2 0.9861 0.98645 0.98679 0.98713 0.98745 0.98778 0.98809 0.9884 0.9887 0.98899
2.3 0.98928 0.98956 0.98983 0.9901 0.99036 0.99061 0.99086 0.99111 0.99134 0.99158
2.4 0.9918 0.99202 0.99224 0.99245 0.99266 0.99286 0.99305 0.99324 0.99343 0.99361
2.5 0.99379 0.99396 0.99413 0.9943 0.99446 0.99461 0.99477 0.99492 0.99506 0.9952
2.6 0.99534 0.99547 0.9956 0.99573 0.99585 0.99598 0.99609 0.99621 0.99632 0.99643
2.7 0.99653 0.99664 0.99674 0.99683 0.99693 0.99702 0.99711 0.9972 0.99728 0.99736
2.8 0.99744 0.99752 0.9976 0.99767 0.99774 0.99781 0.99788 0.99795 0.99801 0.99807
2.9 0.99813 0.99819 0.99825 0.99831 0.99836 0.99841 0.99846 0.99851 0.99856 0.99861
3 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893 0.99896 0.999
3.1 0.99903 0.99906 0.9991 0.99913 0.99916 0.99918 0.99921 0.99924 0.99926 0.99929
3.2 0.99931 0.99934 0.99936 0.99938 0.9994 0.99942 0.99944 0.99946 0.99948 0.9995
3.3 0.99952 0.99953 0.99955 0.99957 0.99958 0.9996 0.99961 0.99962 0.99964 0.99965
3.4 0.99966 0.99968 0.99969 0.9997 0.99971 0.99972 0.99973 0.99974 0.99975 0.99976
3.5 0.99977 0.99978 0.99978 0.99979 0.9998 0.99981 0.99981 0.99982 0.99983 0.99983
3.6 0.99984 0.99985 0.99985 0.99986 0.99986 0.99987 0.99987 0.99988 0.99988 0.99989
3.7 0.99989 0.9999 0.9999 0.9999 0.99991 0.99991 0.99992 0.99992 0.99992 0.99992
3.8 0.99993 0.99993 0.99993 0.99994 0.99994 0.99994 0.99994 0.99995 0.99995 0.99995
3.9 0.99995 0.99995 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99997 0.99997
4 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998

Die Werte der ersten Zeile unter z und die Werte der ersten Spalte für \phi\left(z\right) ergeben zusammen den gesuchten Wert. Um die Werte aus der Tabelle abzulesen, geht man folgendermaßen vor:

Das z steht dabei für den Wert bis zur ersten Nachkommastelle. Um den Wert auf die zweite Nachkommastelle genau zu bestimmen, addiert man den passenden Wert aus der ersten Zeile der Tabelle einfach hinzu. Anschließend kann man die gesuchte Verteilung an der Schnittstelle ablesen.

Der kleinste Wert der Tabelle der Normalverteilung ist 0. Da die Standardnormalverteilung symmetrisch ist, kann man aber auch die Wahrscheinlichkeit für negative Werte ablesen indem man den positiven Wert von 1 subtrahiert.

\phi\left(-z\right)=1-\phi\left(z\right)

 

Standardnormalverteilung

Jetzt musst du nur noch einen Schritt beachten. Denn, wie du dir wahrscheinlich vorstellen kannst, gibt es unendlich viele Normalverteilungen und für jede bräuchtest du eine eigene Verteilungstabelle.

(N (5;2); N (5;2,1); N (5;2,2) …)

Da dies schlichtweg unmöglich ist, gibt es die Standardnormalverteilung:

X\sim\ N(0;1)

Standardnormalverteilung berechnen

Du kannst jede beliebige Verteilung in die Standardnormalverteilung transformierten, indem du zuerst den Erwartungswert abziehst und anschließend durch die Standardabweichung teilst.

Z\ =\ \frac{X\ -\ \mu}{\sigma}

Es gilt also: F\left(x\right)= \Phi\left(\frac{x\ -\ \mu}{\sigma}\right)

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Standardnormalverteilung berechnen

Um Verwechslungen zu vermeiden wird die standardisierte Form der Verteilung mit \Phi\(z) und nicht mit F\left(x\right) notiert.

Standardnormalverteilung Tabelle

Nun benötigen wir nur noch die oben abgebildete Verteilungstabelle der Standardnormalverteilung und können alle Wahrscheinlichkeiten ganz einfach ablesen. Da in der Tabelle nur positive Werte gelistet sind, müssen wir bei negativen Werten eine kurze Umrechnung durchführen. So würde man die Wahrscheinlichkeit, dass Z\le-15 ist, so berechnen.

P\left(Z\le-15\right)=1-P\left(Z\le15\right)

Oder allgemein ausgedrückt:

\Phi\left(-z\right)=1-\Phi\left(z\right)

Normalverteilung berechnen

Alles klar soweit? Dann schauen wir uns jetzt mal ein konkretes Beispiel an. Zur Berechnung mit der gaußschen Normalverteilung sind uns folgende Daten gegeben:

Die Brenndauer einer Kerze ist mit \mu=40 und \sigma=7 normalverteilt.

N(40;7)

Normalverteilung Beispiel 1

Nun möchten wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Kerze zwischen 33 und 47 Stunden brennt.

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Normalverteilung berechnen

P\left(33\le x\le47\right)=F\left(47\right)-F(33)

Als Erstes müssen wir unsere Verteilung erstmal mit der eben erwähnten Formel standardisieren und vereinfachen auch direkt:

F\left(47\right)-F\left(33\right)=\Phi\left(\frac{47-40}{7}\right)- \Phi\left(\frac{33-40}{7}\right) = \Phi\left(1\right)- \Phi\left(-1\right)

Der Subtrahend hat einen negativen Wert. Um ihn in der Tabelle nachschlagen zu können, müssen wir ihn in einen positiven Wert umwandeln. Also:

\Phi\left(1\right)- [1-\Phi\left(1\right)]

Anschließend können wir noch ausmultiplizieren:

2 * \Phi\left(1\right)-1

Um \Phi\left(1\right) herauszufinden, benötigst du nun die Normalverteilung Tabelle . Im Genaueren also die der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Diese befindet sich wahrscheinlich hinten in deinem Skript oder in deiner Formelsammlung.

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Normalverteilung Wahrscheinlichkeit

Wir suchen also in der Spalte z nach dem Wert 1 und können dann unser \Phi\left(1\right) ganz einfach ablesen. Es beträgt 0,8413.

Setzen wir diesen Wert in unsere Formel, kommen wir auf ein Ergebnis von

2 * 0,8413-1 = 0,6826

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kerze zwischen 33 und 47 Stunden brennt, beträgt also 68,26%.

Normalverteilung Beispiel 2

Die Frage lässt sich natürlich auch anders herum stellen. Zum Beispiel: Wie lange brennt die Kerze mindestens mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 Prozent?

P\left(X\le x\right) = 0,7

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Normalverteilung Beispiel

Dazu müssen wir das 70 %-Quantil bestimmen und das geht so:

Zuerst schlagen wir unser alpha-Quantil in der Verteilungstabelle nach. Achtung, hierfür gibt es nochmal eine neue Tabelle! Die Handhabung ist trotzdem die Gleiche wie eben.

Anschließend müssen wir unser neues z_\alpha in das Quantil q_\alpha der tatsächlichen Gauß Verteilung transformieren. Dazu brauchen wir folgende Formel:

q_\alpha=\ \mu\ +\ \sigma\ *  z_\alpha

Also eigentlich berechnen wir die umgekehrte Standardisierung. Die einzusetztenden Werte lesen wir wieder ganz einfach aus der Normalverteilung Tabelle ab.

Für unser Beispiel hieße das:

q_\alpha=\ 40\ +\ 7\ *\ 0,5244 = 43,5708

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Tabelle Normalverteilung

Unsere Kerze brennt also mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 % mindestens 43,5 Stunden.

Du siehst, so schwer ist die Normalverteilung gar nicht. Du musst nur den Umgang mit den Tabellen üben, damit du in der Klausur keine Zeit verlierst. Alles andere wird ein Kinderspiel.


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