Statistik Wahrscheinlichkeit

Normalverteilung

Hier erklären wir dir alles zur Standardnormalverteilung und die Gaußsche Glockenkurve. Zum besseren Verständnis rechnen wir anschließend zwei Beispiele durch.

Gauß-Verteilung und die Glockenkurve

Carl Friedrich Gauß leistete so einen fundamentalen Beitrag bei der Analyse der Normalverteilung, dass sie auch häufig als Gauß-Verteilung bezeichnet wird. Eine andere bekannte Bezeichnung ist die Glockenkurve. Woher der Name kommt, kannst du dir wahrscheinlich denken!

Die Normalverteilung hat eine Glockenform

Normalverteilung als Verteilung der Mittelwerte

Das klingt ja alles sehr nett, aber warum ist die Normalverteilung denn nun die wichtigste Verteilung in der Statistik? Ganz einfach: jeder Mittelwert einer x-beliebigen Verteilung, sei es stetig oder diskret, folgt der Normalverteilung. Diese Besonderheit ist auch als zentraler Grenzwertsatz bekannt.

Außerdem finden wir die Normalverteilungen sehr häufig in unserem Alltag wieder. So sind zum Beispiel die Körpergröße oder die Intelligenz einer Person annähernd normalverteilt.

Die Körpergröße und die Intelligenz sind typische Beispiele

Erwartungswert und Varianz

Die Normalverteilung hängt von zwei Kennzahlen ab: dem Erwartungswert μ und der Varianz \sigma^2, wobei gilt:

\mu\ \in\ R und \sigma^2>\ 0

Veränderst du μ verschiebt sich die Kurve nach links oder rechts. Das ist auch logisch, denn bei μ liegt immer das Maximum. \sigma^2 hingegen verändert die Form deiner Kurve, sie wird also entweder gestreckt oder gestaucht.

So verändern sich die Graphen

Dichte- und Verteilungsfunktion

So, das war bisher noch ziemlich einfach. Doch leider haben es die Dichte- und Verteilungsfunktion ganz schön in sich.

Dichte- und Verteilungsfunktion

Aber Stopp! Bevor du jetzt das Video beendest und völlig verzweifelst können wir dich beruhigen. Es ist überhaupt nicht möglich die Verteilungsfunktion mit dem Taschenrechner, geschweige denn im Kopf, zu lösen. Deshalb benutzt man sogenannte Verteilungstabellen. Mit Ihnen kann man das Ergebnis ganz einfach ablesen. Das bedeutet: kein bisschen rechnen! Hört sich schon viel besser an, oder?

Standardnormalverteilung

Jetzt musst du nur noch einen Schritt beachten. Denn, wie du dir wahrscheinlich vorstellen kannst, gibt es unendlich viele Normalverteilungen und für jede bräuchtest du eine eigene Verteilungstabelle.

(N (5;2); N (5;2,1); N (5;2,2) …)

Da dies schlichtweg unmöglich ist, gibt es die Standardnormalverteilung:

X\sim\ N(0;1)

Mit ihr benötigen wir nur noch eine Verteilungstabelle und können alle Wahrscheinlichkeiten ganz einfach ablesen.

Du kannst jede beliebige Verteilung in die Standardnormalverteilung transformierten, indem du zuerst den Erwartungswert abziehst und anschließend durch die Standardabweichung teilst.

Z\ =\ \frac{X\ -\ \mu}{\sigma}

Es gilt also: F\left(x\right)= \Phi\left(\frac{x\ -\ \mu}{\sigma}\right)

Transformation in die Standardnormalverteilung

Um Verwechslungen zu vermeiden wird die standardisierte Normalverteilung mit \Phi\(z) und nicht mit F\left(x\right) notiert.

Da in der Tabelle nur positive Werte gelistet sind, müssen wir bei negativen Werten eine kurze Umrechnung durchführen. So würde man die Wahrscheinlichkeit, dass Z\le-15 ist, so berechnen.

P\left(Z\le-15\right)=1-P\left(Z\le15\right)

Oder allgemein ausgedrückt:

\Phi\left(-z\right)=1-\Phi\left(z\right)

Normalverteilung – Beispiel

Alles klar soweit? Dann schauen wir uns jetzt mal ein konkretes Beispiel an:

1. Beispiel

Die Brenndauer einer Kerze ist mit \mu=40 und \sigma=7 normalverteilt.

N(40;7)

Wir möchten die Wahrscheinlichkeit, dass die Kerze zwischen 33 und 47 Stunden brennt, berechnen.

P\left(33\le x\le47\right)=F\left(47\right)-F(33)

Als Erstes müssen wir unsere Verteilung erstmal mit der eben erwähnten Formel standardisieren und vereinfachen auch direkt:

F\left(47\right)-F\left(33\right)=\Phi\left(\frac{47-40}{7}\right)- \Phi\left(\frac{33-40}{7}\right) = \Phi\left(1\right)- \Phi\left(-1\right)

Der Subtrahend hat einen negativen Wert. Um ihn in der Tabelle nachschlagen zu können, müssen wir ihn in einen positiven Wert umwandeln. Also:

\Phi\left(1\right)- [1-\Phi\left(1\right)]

Anschließend können wir noch ausmultiplizieren:

2 * \Phi\left(1\right)-1

Um \Phi\left(1\right) herauszufinden, benötigst du nun die Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Diese befindet sich wahrscheinlich hinten in deinem Skript oder in deiner Formelsammlung.

1. Beispiel

Wir suchen also in der Spalte z nach dem Wert 1 und können dann unser \Phi\left(1\right) ganz einfach ablesen. Es beträgt 0,8413.

Setzen wir diesen Wert in unsere Formel, kommen wir auf ein Ergebnis von

2 * 0,8413-1 = 0,6826

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kerze zwischen 33 und 47 Stunden brennt, beträgt also 68,26%.

Die Frage lässt sich natürlich auch anders herum stellen. Zum Beispiel: Wie lange brennt die Kerze mindestens mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 Prozent?

P\left(X\le x\right) = 0,7

2. Beispiel

Dazu müssen wir das 70 %-Quantil bestimmen und das geht so:

Zuerst schlagen wir unser alpha-Quantil in der Verteilungstabelle nach. Achtung, hierfür gibt es nochmal eine neue Tabelle! Die Handhabung ist trotzdem die Gleiche wie eben.

Anschließend müssen wir unser neues z_\alpha in das Quantil q_\alpha der tatsächlichen Normalverteilung transformieren. Dazu brauchen wir folgende Formel:

q_\alpha=\ \mu\ +\ \sigma\ *  z_\alpha

Also eigentlich berechnen wir die umgekehrte Standardisierung.

Für unser Beispiel hieße das:

q_\alpha=\ 40\ +\ 7\ *\ 0,5244 = 43,5708

2. Beispiel

Unsere Kerze brennt also mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 % mindestens 43,5 Stunden.

Du siehst, so schwer ist die Normalverteilung gar nicht. Du musst nur den Umgang mit den Tabellen üben, damit du in der Klausur keine Zeit verlierst. Alles andere wird ein Kinderspiel.

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