Proportionale Zuordnung
Du beschäftigst dich gerade mit der proportionalen Zuordnung? Wieso du sie schon aus dem Alltag kennst, wie du sie darstellen kannst und wie du mit ihr rechnest, erfährst du hier und im Video !
Inhaltsübersicht
Proportionale Zuordnung einfach erklärt
Zuordnungen laufen dir jeden Tag über den Weg, ohne dass du wahrscheinlich jemals darüber nachgedacht hast.
Du weißt zum Beispiel, dass jedes Produkt im Supermarkt einen Preis hat. Es gibt beispielsweise viele verschiedene Milchsorten und jede hat einen anderen Preis. Du kannst also jeder Milchsorte einen bestimmten Preis zuordnen. Milchsorte 1 kostet zum Beispiel 2,50 € und Milchsorte 2 kostet 3 €.
| Milchsorte |
Sorte 1 | Sorte 2 |
| Preis | 2,50 € | 3 € |
Das ist nichts anderes als eine Zuordnung: Du ordnest einer Größe (Milchsorte) eine andere Größe (Preis) zu.
Wenn du jetzt 2 Flaschen von Milchsorte 1 kaufst, erhöht sich der zu zahlende Preis von 2,50 € auf 5 €. Die Anzahl der Flaschen, die du kaufst, hat sich verdoppelt und der Preis auch. Du sprichst hier von einer proportionalen Zuordnung!
| Anzahl Milchflaschen | 1 | 2 | 4 |
| Preis | 2,50 € | 5 € | 10 € |
Beide Werte sind sozusagen miteinander verbunden. Steigt die Anzahl der Flaschen, steigt der Preis und umgekehrt. Denn eine Flasche kostet ja auch nur halb so viel wie zwei Flaschen.
💡 Die proportionale Zuordnung ist also eine Sonderform von allgemeinen Zuordnungen.
Merke: Bei proportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr desto mehr & Je weniger desto weniger!
Proportionale Zuordnung — Beispiel
Wir haben dir noch ein Beispiel mitgebracht. Stell dir vor, 1 Kind (1. Größe) schafft es in einer Stunde zwei Puzzles (2. Größe) fertig zu kriegen.
Was würde mit der Anzahl an fertigen Puzzles passieren, wenn jetzt 2 Kinder puzzeln?
2 Kinder würden in einer Stunde mehr als 2 Puzzles schaffen. Denn jeder von ihnen schafft ja 2 Puzzles. Zusammen schaffen sie also 4 Puzzles in einer Stunde. Verdoppelst du die Anzahl der Kinder, verdoppelt sich auch die Anzahl der gelösten Puzzles!
Wenn du 3 Kinder puzzeln lässt, dann werden in einer Stunde also 6 Puzzles fertig. Diese Zahlen kannst du in einer Wertetabelle erfassen:
| Anzahl Kinder | 1 | 2 | 3 |
| Anzahl fertiger Puzzle in einer Stunde | 2 | 4 | 6 |
Du erkennst: Je mehr Kinder es gibt, desto mehr Puzzles werden in einer Stunde fertig.
In der Mathematik sagst du dazu, dass die Anzahl der Kinder proportional zur Anzahl der fertigen Puzzles ist. Es handelt sich also um eine proportionale Zuordnung.
Proportionalitätsfaktor — Die Mal-Zahl
Schau dir die Wertetabelle aus dem Beispiel mit den Kindern und den Puzzles einmal genauer an.
Du siehst, dass es eine Zahl gibt, mit der die obere und untere Reihe der Tabelle mal gerechnet
wird, um auf das Feld rechts daneben zu kommen.
1 Kind schafft hier 2 Puzzles. Wenn ich wissen will, wie viele Puzzles 2 Kinder fertig machen, rechne ich 2 • 2 und erhalte die 4. Diese Rechnung kannst du für jede Zahl fortsetzen: 8 Kinder schaffen also 16 Puzzles (8 • 2 = 16).
Die Zahl, mit der von links nach rechts mal gerechnet wird, ist in dem Beispiel also immer die 2. In der Mathematik bezeichnest du sie als sogenannten Proportionalitätsfaktor .
Merke: Jede proportionale Zuordnung hat immer einen Proportionalitätsfaktor.
Den Proportionalitätsfaktor kannst du auch berechnen, indem du die Werte der Tabelle teilst. Du teilst den Wert von 4 Puzzles durch die dazugehörigen 2 Kinder und erhälst den Wert 2 (4 : 2 = 2).
Das gleiche Ergebnis bekommst du auch bei jedem anderen Wertepaar, zum Beispiel bei 8 Kindern, die 16 Puzzles lösen: 16 : 8 = 2.
Hast du hier eine proportionale Zuordnung?
Du hast eine Wertetabelle gegeben, die veranschaulicht, wie viel Euro das Parken für einen bestimmten Zeitraum kostet:
| geparkte Minuten | 20 | 40 | 60 |
| Preis für das Parken in Euro | 2 | 2 | 4 |
Handelt es sich hier um eine proportionale Zuordnung?
Lösung
Wenn es eine proportionale Zuordnung wäre, hättest du einen Proportionalitätsfaktor. Was in der oberen Reihe mehr wird, müsste in der unteren Reihe auch mehr werden.
Schau dir die obere Reihe an. Um von 20 auf 40 zu kommen, müsstest du mal 2 rechnen. Der Werte in der dazugehörigen unteren Reihe sollte sich ebenfalls verdoppeln. Aber 2 • 2 wäre 4, in der Tabelle steht aber bei 40 Minuten eine 2.
Um von 20 auf 60 zu kommen, müsstest du mal 3 rechnen. Rechnest du die dazugehörige 2 mal 3, kommst du auf 6. In der Tabelle steht bei 60 Minuten aber ein Preis von 4 €.
Wie du sehen kannst, gibt es keinen einheitlichen Proportionalitätsfaktor in diesem Beispiel. Es handelt sich also nicht um eine proportionale Zuordnung.
Wertetabelle:
Die Darstellung als Wertetabelle/Zuordnungstabelle ist dir bereits bekannt. In der oberen Zeile der Tabelle siehst du hier die Anzahl der Maler. In der unteren Zeile erfährst du, wie viele Räume sie pro Tag streichen. Ein Maler streicht also 2 Räume pro Tag.
| Anzahl Maler | 1 | 2 | 3 |
| Anzahl gestrichener Räume pro Tag | 2 | 4 | 6 |
Pfeildiagramm:
Eine Zuordnung kannst du auch mittels Pfeilen darstellen. Dafür schreibst du hinter den Wert der 1. Größe einen Pfeil und den zugeordneten Wert.
Graph:
Du kannst proportionale Zuordnungen auch als Graph darstellen. Dafür ordnest du den Achsen die beiden Größen zu und trägst die Wertepaare ein. Die Anzahl der Maler ordnest du der unteren x-Achse zu. Die Anzahl der gestrichenen Räume ordnest du der oberen y-Achse zu. Nun kannst du die Wertepaare einzeichnen.
Tipp: Für den Punkt (1/2) läufst du auf der x-Achse einen Punkt nach rechts und dann zwei Punkte nach oben!
Diese Wertepaare verbindest du nun, um den Graphen zu zeichnen.
Wichtig: Der Graph einer proportionalen Zuordnung muss immer links durch die Null verlaufen! Da bei 0 Malern auch 0 Räume gestrichen werden.
Proportionale Zuordnungen — Der Dreisatz hilft
Wenn du eine proportionale Zuordnung gegeben hast, gibt es einen Trick, um fehlende Werte zu berechnen. Und zwar hilft dir dabei der sogenannte Dreisatz .
Beispiel: Du weißt, dass Mara in 8 Stunden Arbeit als Eisverkäuferin 96 € verdient. Jetzt willst du wissen, wie viel Geld Mara in 5 Stunden Arbeit verdient. Die Dreisatz-Tabelle sieht dabei so aus:
Die Dreisatzrechnung besteht aus drei Schritten. Wichtig ist, dass du die Rechnungen immer an beiden Seiten der Tabelle durchführst.
- Schritt: In die erste Zeile kommen die Werte, die du gegeben hattest. Du weißt, dass Mara in 8 Stunden 96 € verdient (8 Stunden = 96 €).
- Schritt: In der zweiten Zeile rechnest du auf die 1 zurück. In unserem Beispiel schaust du also, wie viel Geld Mara in 1 Stunde verdient (96 : 8 = 12). Du kommst hier auf 12 €.
- Schritt: In der dritten Zeile rechnest du dann auf deine gesuchte Zahl wieder hoch. Da du weißt wie viel Mara in einer Stunde verdient (12 €), kannst du mal 5 rechnen, um zu wissen wie viel sie in 5 Stunden verdient (12 • 5 = 60).
In 5 Stunden verdient Mara also 60 € als Eisverkäuferin.
Zuordnungsvorschrift — Die übliche Form
Es ist möglich, eine proportionale Zuordnung als Formel darzustellen. Das nennst du dann Zuordnungsvorschrift. Hierfür benötigst du den Proportionalitätsfaktor.
y = Proportionalitätsfaktor • x
Neues Beispiel: Ein Pferd isst in einer Minute 2 Karotten. Wie beim Puzzle oder Malerbeispiel, hast du hier den Proportionalitätsfaktor 2. Die 2 setzst du jetzt in die Gleichung ein und erhältst:
y = 2 • x
Mithilfe der Zuordnungsvorschrift ist es einfacher, fehlende Größen schnell zu berechnen.
y berechnen
Wenn du dich fragst, wie viele Karotten von 4 Pferden in einer Minute gegessen werden, setzt du die Pferdeanzahl (4) in die Gleichung ein. Die Anzahl der Pferde kannst du mit der Variable x darstellen.
y = 2 • x
y = 2 • 4
y = 8
4 Pferde essen also 8 Karotten in einer Minute.
x berechnen
Du kannst dich aber auch fragen, wie viele Pferde du brauchst, damit 10 Karotten gegessen werden. Die Anzahl der Karotten kannst du mit der Variable y ausdrücken. Um jetzt die Anzahl der Pferde zu berechnen, setzt du die dir bekannte Anzahl der Karotten (10) in die Gleichung ein.
y = 2 • x
10 = 2 • x | : 2
5 = x
Du benötigst also 5 Pferde, damit 10 Karotten gegessen werden.
Proportionale Zuordnungen — Übungsaufgabe 1
Aufgabe: Wie sieht diese proportionale Zuordnung als Graph aus?
| Größe 1 | 5 | 10 | 15 |
| Größe 2 | 4 | 8 | 12 |
Lösung: Der zweite Graph ist richtig und gehört zur oben gezeigten Wertetabelle. Es gibt dafür drei Argumente:
❌ Der linke Graph verläuft nicht durch den Punkt (0/0).
❌ Der linke Graph verläuft nicht durch die Punkte (5/4) (10/8) (15/12), wie in der Tabelle.
✅ Der rechte Graph läuft durch (0/0) und durch alle Punkte aus der Tabelle.
Proportionale Zuordnungen — Übungsaufgabe 2
Aufgabe: Martin will heute für sich und seine 6 Freunde Pizzateig backen. Im Rezept steht, dass er für 4 Personen 300g Mehl benötigt. Martin überlegt nun, wie viel Gramm er für 7 Personen verwenden muss.
Entscheide, ob du bei dieser Fragestellung eine proportionale Zuordnung hast und berechne anschließend das Ergebnis.
Schritt 1: Proportionale Zuordnung erkennen
- Bei Rezepten gehst du üblicherweise davon aus, dass jede Person gleich viel isst. Für mehr Personen brauchst du also auch mehr Zutaten.
- Wenn du für 4 Personen 300g Mehl benötigst, brauchst du für 8 Personen also 600g. Denn 4 • 2 = 8 und 300 • 2 = 600.
→ Die Zuordnung der Anzahl der Personen und dem benötigten Mehl ist also proportional. Es handelt sich also um eine proportionale Zuordnung.
Schritt 2: Ergebnis berechnen
- Um das Ergebnis zu berechnen, schaust du dir den Dreisatz an. Diesmal rechnest du Schritt für Schritt.
- Um zu wissen, wie viel Mehl du für 1 Person benötigst, rechnest du:
300g Mehl : 4 Personen = 75g Mehl für 1 Person
- Jetzt hast du den Wert für 1 Person (75g). Im Anschluss berechnest du, wie viel Mehl du für 7 Personen brauchst:
75g Mehl • 7 Personen = 525g Mehl für 7 Personen
Lösung: Bei 7 Personen benötigt Martin also 525g Mehl für seinen Pizzateig!
Proportionale Zuordnung — häufigste Fragen
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Was ist eine proportionale Zuordnung?
Eine Zuordnung ist dann proportional, wenn die zugehörigen Werte mit einer gleichen Zahl (Proportionalitätsfaktor) multipliziert werden können. Wenn 2 Äpfel 3 € kosten, dann kosten 4 Äpfel 6 € (du rechnest mal 2). Für eine proportionale Zuordnung gilt „je mehr, desto mehr“.
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Was ist proportional leicht erklärt?
Zwei Größen sind proportional zueinander, wenn sie sich im gleichen Verhältnis zueinander ändern. 2 Brötchen kosten 2 €, also kostet 1 Brötchen 1 € und 4 Brötchen 4 €. Es gilt: „Je mehr, desto mehr“ oder „je weniger, desto weniger“.
Antiproportionale Zuordnung – Je mehr, desto weniger
Du weißt jetzt, was du unter Proportionalität verstehst (Je mehr, desto mehr). Es gibt aber auch Zuordnungen im Alltag, die sehen ganz anders aus. Da heißt es nämlich je mehr, desto weniger. Je schneller ein Auto fährt, desto weniger Zeit braucht es. Schau dir doch gleich unser Video zu antiproportionalen Zuordnungen dazu an!
