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Exponentialfunktion
Hier und im Video erklären wir dir die Exponentialfunktion mit ihren Eigenschaften und zeigen dir anhand von Beispielen exponentielles Wachstum und exponentiellen Zerfall.
Inhaltsübersicht
Exponentialfunktion einfach erklärt
Eine Exponentialfunktion ermöglicht es dir exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall zu beschreiben. Sie hat die Form f(x) = a ⋅ bx und heißt Exponentialfunktion, da sie im Exponenten ein x enthält.
Exponentialfunktionen findest du in vielen natürlichen und technischen Prozessen wieder. Beispielsweise folgt das Wachstum von Bakterien oder der Zerfall radioaktiver Stoffe einem exponentiellen Verlauf. In beiden Fällen verändert sich die jeweilige Größe nicht linear, sondern vervielfacht oder verringert sich in bestimmten Zeitabständen. Im Koordinatensystem sieht sie immer ungefähr so aus:
Du siehst im Bild, dass Exponentialfunktionen sehr viel schneller steigen als die linearen Funktionen .
Exponentialfunktion — Formel
Allgemein stellst du eine Exponentialfunktion in folgender Form dar:
f(x) = a ⋅ bx
Sprechweise: „a mal b hoch x“
In dieser Formel steht die Variable x immer im Exponenten. Dein x gibt dir dabei an, in welchem Intervall sich die Funktion befindet. In der Praxis entspricht x oft der Zeit seit Beobachtungsbeginn. Wenn x dann beispielsweise 3 wäre, bedeutet das, dass du dir das dritte Jahr ansiehst.
Der Parameter a ist der sogenannte Streckfaktor. Er wird auch oft als Anfangswert bezeichnet. Zum Beispiel beim Wachstum von Bakterien wäre a die Menge von Bakterien zum Beobachtungsbeginn.
Zuletzt zeigt dir die Basis b an, wie die Kurve verläuft. So kann sie einen exponentiellen Wachstum oder einen exponentiellen Zerfall anzeigen. Beispielsweise könnte die Anzahl von Bakterien exponentiell steigen oder fallen.
Für die im Bild dargestellte Funktion f(x) = 3 ⋅ 2x ist der Anfangswert a = 3 und die Basis b = 2. Das bedeutet, dass sich der Wert mit jedem Schritt verdoppelt.
Wichtig: Der Anfangswert a kann jeden beliebigen Wert außer 0 annehmen. Außerdem muss die Basis b größer 0 sein, aber darf nicht gleich 1 sein.
und
und
Fall 1: f(x) = bx für b > 1
Falls b größer als 1 ist, hast du eine Wachstumsfunktion. Das bedeutet sie steigt streng monoton an und je größer b ist, desto schneller steigt die Funktion.
Tipp: Da in jedem dieser Beispiele a = 1 ist, gehen sie alle durch den Punkt (0|1).
Fall 2: f(x) = bx für 0 < b < 1
Wenn b zwischen 0 und 1 liegt, dann fällt die Exponentialfunktion. Man spricht bei diesen streng monoton fallenden Funktionen auch von exponentiellem Zerfall. Je kleiner b ist, desto schneller fällt der Funktionsgraf.
Schon gewusst: Für b = 1 erhältst du eine waagrechte Gerade und keine Exponentialfunktion!
Fall 3: f(x) = a · bx für a > 0
Unabhängig von der Basis b beeinflusst auch der Anfangswert a den Graphen. Für a > 0 befinden sich die Graphen über der x-Achse. Das untenstehende Bild zeigt dir die Verschiebung der Exponentialfunktion, jeweils für b = 2.
Übrigens: Der Anfangswert a entspricht immer dem Schnittpunkt mit der y-Achse.
Fall 4: f(x) = a · bx für a < 0
Hat a ein negatives Vorzeichen, so wird der Funktionsgraph zusätzlich noch an der x-Achse gespiegelt. Hier im Bild siehst du das für den Fall b = 0,5.
Schon gewusst: Für 0 < b < 1 aber a < 0, handelt es sich durch Spiegelung nicht mehr um eine fallende sondern um eine steigende Exponentialfunktion.
Verschiebung entlang der y-Achse
Eine Exponentialfunktion kann im Koordinatensystem mithilfe des Parameters d in y-Richtung, das heißt nach oben oder unten verschoben werden. Sie hat dann die Funktionsgleichung:
f(x) = a ⋅ bx+d
Tipp: Bei diesen Funktionen ist a nicht mehr dein Schnittpunkt mit der y-Achse. Stattdessen ist der y-Schnittpunkt jetzt bei a+d.
Verschiebung entlang der x-Achse
Du kannst eine Exponentialfunktion auch entlang der x-Achse verschieben. Dafür verwendest du einen Parameter c im Exponenten. Daraus ergibt sich diese Funktionsgleichung.
f(x) = a ⋅ bx+c
- Jede Exponentialfunktion ist streng monoton steigend oder fallend und ist für alle reellen Zahlen definiert (Definitionsbereich
).
- Ihr Wertebereich
ist entweder
oder
. Das hängt immer von a ab. Wenn a > 0, dann gilt
und wenn a < 0, dann gilt
.
- Der allgemeine Funktionsgraph geht immer durch den Punkt
. Das liegt daran, dass
f(0) = a ⋅ b0 = a ⋅ 1 = a.
Spezialfall e-Funktion
Ein sehr wichtiger Spezialfall der Exponentialfunktion ist die e-Funktion. Sie wird manchmal auch als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet und hat einige Besonderheiten. Die Basis e ist dabei nichts anderes als eine reelle Zahl, mit unendlich vielen Nachkommastellen.
f(x) = ex mit Basis e ≈ 2,7182818…
Die e-Funktion ist deswegen so besonders, weil ihre Steigung in jedem Punkt ihrem Funktionswert entspricht. Man kann deswegen auch sagen, dass die Ableitung von f(x)=ex immer ebenfalls f'(x)=ex sein muss.
Du brauchst noch mehr Infos zur e-Funktion? Dann sieh dir hier unseren eigenen Artikel dazu an!
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f(x) = a ⋅ bx heißt Logarithmusfunktion und ist definiert als
f-1(x) = logb(x)
Sprechweise: “Logarithmus von x zur Basis b“.
Du brauchst die Logarithmusfunktion immer dann, wenn du die Funktionsgleichung f(x) = a ⋅ bx nach x auflösen möchtest. Wenn du eine detaillierte Erklärung dazu haben möchtest, haben wir hier ein separates Video für dich.
Tipp: Die Umkehrfunktion von f(x) = ex ist der sogenannte natürliche Logarithmus ln(x).
Exponentialfunktion Aufgaben und Anwendungen
Nachdem die Exponentialfunktion im echten Leben allgegenwärtig ist, stellen wir dir hier zwei typische Anwendungsaufgaben vor.
Aufgabe 1:
Eine Bakterienkultur hat eine Verdopplungszeit von einer Stunde. Zu Anfang besteht die Kultur aus 500 Bakterien.
a) Stelle die Funktionsgleichung auf, die das exponentielle Wachstum der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit t beschreibt.
b) Wie viele Bakterien sind es nach 3 Stunden?
c) Wann beträgt die Anzahl der Bakterien das Hundertfache des Anfangswerts?
Lösung:
a) Die allgemeine Funktionsgleichung in Abhängigkeit von der Zeit t lautet hier f(t) = a ⋅ bt. Der Anfangswert a = 500 gibt die Lage zum Startpunkt (t=0), wieder. Nach einer Stunde hat sich der Bestand jeweils verdoppelt, das bedeutet b = 2. Damit lautet die Funktionsgleichung
f(t) = 500 ⋅ 2t
b) 3 Stunden entspricht t = 3. Also setzt du 3 für deine Funktionsgleichung ein.
f(3) = 500 ⋅ 23 = 500 ⋅ 8 = 4000
c) Die Hundertfache Anzahl von a = 500 sind 50.000 Bakterien. Diesen Wert setzt du in die Gleichung ein und löst sie nach t auf.
50.000= 500 ⋅ 2t |÷500
100 = 2t |log2()
t = log2(100) ≈ 6,65
Nach ca. 6 Stunden und knapp 40 Minuten ist die Bakterienkultur auf 50.000 gestiegen.
Aufgabe 2:
Beim Reaktorunglück in Tschernobyl wurde ca. 500 Gramm des radioaktiven Jod-131 freigesetzt. Die Halbwertszeit davon beträgt 8 Tage.
a) Stelle die Funktionsgleichung auf, die den Jod-Zerfall in Abhängigkeit von den Tagen t beschreibt.
b) Wie viel Jod-131 ist nach einem Monat (30 Tage) noch vorhanden?
Tipp: Halbwertszeit bedeutet, dass nach 8 Tagen nur noch die Hälfte des ursprünglichen Wertes übrig geblieben ist.
Lösung
a) Die allgemeine Formel, die den Zerfall beschreibt, lautet f(t) = a ⋅ b^t. Der Anfangswert beträgt a = 500. Um b zu berechnen, überlegen wir uns, dass nach 8 Tagen noch 250g Jod-131 vorhanden sein müssen.
250 = 500 ⋅ b8 |÷500
= b8 |
b = = 0,917
Die Funktionsgleichung lautet somit f(t) = 500 ⋅ 0,917t.
b) Dafür setzt du t = 30 und löst dann auf.
f(30) = 500 ⋅ 0,91730 = 37,16.
Exponentialfunktion ableiten
Die Ableitung der Exponentialfunktion allgemein ist etwas komplizierter als bei der e-Funktion.
Für f(x) = a ⋅ bx ist f'(x)=a ⋅ ln(b) ⋅ bx
Grund hierfür ist, dass du jede Exponentialfunktion mit einem einfachen Trick umschreiben kannst:
a ⋅ bx = a ⋅ ex ⋅ ln(b)
Die rechte Seite davon kannst du mit der Kettenregel leicht ableiten und erhältst dann die oben dargestellte Formel.
Integral der Exponentialfunktion
Auch das Integral einer Exponentialfunktion ist nicht ganz leicht zu berechnen. Dabei willst du das Ableiten sozusagen rückgängig machen und erhältst dann die Stammfunktion:
F(x) = a ⋅ bx dx =
⋅ bx
Exponentialfunktion — häufigste Fragen
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Was ist die Formel für die Exponentialfunktion?Die allgemeine Formel für eine Exponentialfunktion lautet f(x)=a⋅bc⋅x+d. Die Basis b bestimmt das Wachstum oder den Zerfall der Funktion, während die anderen Parameter (a, c, d) Verschiebungen, Streckungen und die Lage beeinflussen.
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Was ist der Unterschied zwischen Potenzfunktion und Exponentialfunktion?Bei einer Potenzfunktion f(x)=xn ist die Variable x die Basis und der Exponent n eine feste Zahl. Bei einer Exponentialfunktion f(x)=ax ist die Basis a fest, und die Variable x steht im Exponenten. Dadurch wachsen Exponentialfunktionen deutlich schneller als Potenzfunktionen bei großen Werten von x.
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Was ist eine Exponentialfunktion einfach erklärt?Eine Exponentialfunktion beschreibt ein Wachstum oder einen Zerfall, bei dem sich ein Wert in regelmäßigen Abständen um denselben Faktor vervielfacht. Beispiele dafür sind Bevölkerungswachstum oder der radioaktive Zerfall. Sie wird durch eine Funktion wie f(x)=ax dargestellt.
Logarithmus
Jetzt weißt du alles, was es zu Exponentialfunktionen zu wissen gibt! Doch wie sieht es mit dem Logarithmus aus? Hier erfährst du die wichtigsten Informationen zur Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.