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Rekonstruktion von Funktionen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Rekonstruktion von Funktionen einfach erklärt

Rekonstruktion von Funktionen Aufgabe

1.Schritt: Allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen bestimmen

2.Schritt: Informationen in Gleichungen übersetzen

3.Schritt: Lineares Gleichungssystem (LGS)

4.Schritt: Rekonstruierte Funktion bestimmen

Wie du bei der Rekonstruktion von Funktionen vorgehen musst, erfährst du in unserem Beitrag und in unserem Video .

Inhaltsübersicht

Rekonstruktion von Funktionen einfach erklärt

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Bei der Rekonstruktion von Funktionen musst du anhand von gegebenen Informationen eine ganzrationale Funktionsgleichung bestimmen. Dazu stellst du Gleichungen auf.

Funktionen rekonstruieren Vorgehen

Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung (z. B. f(x)= ax³ + bx² + cx + d) deiner gesuchten Funktionsart auf. Bestimme auch ihre Ableitungen.
Übersetze die gegebenen Informationen (Nullstelle , Tangente , …) aus der Rekonstruktion in Mathe Gleichungen.
Stelle ein lineares Gleichungssystem (LGS) auf und löse es.
Bestimme deine rekonstruierte Funktion.

Rekonstruktion von Funktionen Aufgabe

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Schaue dir dazu mal die Rekonstruktion von Funktionen 3. Grades in einem Beispiel an.

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion

3. Grades
mit einem Extrempunkt bei (-1|2) und
einer Wendestelle bei x = 1.
Die Tangente bei x = 2 hat die Steigung m = 9.

1.Schritt: Allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen bestimmen

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Im ersten Schritt bestimmst du die allgemeine Funktionsgleichung, die du für deine rekonstruierte Funktion brauchst. Um dir später Zeit zu sparen, solltest du auch ihre ersten beiden Ableitungen bilden.

$\begin{align*}f(x)&=ax^3+bx^2+cx+d\\f'(x)&=3ax^2+2bx+c\\f''(x)&=6ax+2b\end{align*}$

2.Schritt: Informationen in Gleichungen übersetzen

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Im nächsten Schritt übersetzt du die gegebenen Informationen aus der Rekonstruktion in Mathe Gleichungen.

I Der Graph verläuft durch den Punkt (-1|2). → f(-1) = 2

$\begin{align*}f(-1)&=a\cdot {(-1)}^3+b\cdot (-1)^2+c\cdot (-1)+d=2\\f(-1)&=-a+b-c+d=2\end{align*}$

II Der Graph hat ein Minimum im Punkt (-1|2). → f'(-1) = 0

$\begin{align*}f'(-1)&=3a\cdot (-1)^2+2b\cdot (-1)+c=0\\f(-1)&=3a-2b+c=0\end{align*}$

III Der Graph hat eine Wendestelle bei x = 1. → f“(1) = 0

$\begin{align*}f''(1)&=6a\cdot 1+2b=0\\f''(1)&=6a+2b=0\end{align*}$

IV Die rekonstruierte Funktion hat eine Tangente bei x = 2 mit der Steigung m = 9. → f'(2) = 9

$\begin{align*}f'(2)&=3a\cdot 2^2+2b\cdot 2+c=9\\f'(2)&=12a+4b+c=9\end{align*}$

3.Schritt: Lineares Gleichungssystem (LGS)

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Mithilfe deiner Gleichungen kannst du jetzt ein lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellen.

$\begin{align*}\text{I }&2=-a+b-c+d\\\text{II }&0=3a-2b+c\\\text{III }&0=6a+2b\\\text{IV }&9=12a+4b+c\end{align}$

Du hast nun verschiedene Methoden, um das LGS zu lösen:

Wenn du mit dem Additionsverfahren von Gleichung IV die Gleichung II subtrahierst, fällt das c weg:

$\begin{align*}9-0&=12a+4b+c-(3a-2b+c)\\9-0&=12a+4b+c-(3a-2b+c)&&|\;\text{Zusammenfassen}\\9&=12a+4b+c-3a+2b-c&&|\;\text{Zusammenfassen}\\9&=9a+6b\end{align*}$

Als nächstes kannst du die Gleichung nach a umformen .

$\begin{align*}9&=9a+6b&&|\;-6b\\9-6b&=9a&&|\;:9\\1-\frac{2}{3}\cdot b&=a\end{align*}$

Das Ergebnis für a kannst du in die Gleichung II einsetzen .

$\begin{align*}0&=6\textcolor{red}{a}+2b&&|\;\textcolor{red}{a=1-\frac{2}{3}\cdot b}\text{ einsetzen}\\ 0&=6\cdot (\textcolor{red}{1-\frac{2}{3}\cdot\ b})+2b&&|\;\text{Zusammenfassen}\\0&=6-2b&&|\;+2b\\2b&=6&&|\;:2\\b&=3\end{align*}$

Mithilfe von b kannst du a ausrechnen.

$\begin{align*}\textcolor{red}{a}&=1-\frac{2}{3}\cdot \textcolor{olive}{b}&&|\;\textcolor{olive}{b=3}\text{ einsetzen}\\\textcolor{red}{a}&=1-\frac{2}{3}\cdot \textcolor{olive}{3}&&|\;\text{Zusammenfassen}\\\textcolor{red}{a}&\textcolor{red}{=-1}\end{align*}$

Die Werte für a und b kannst du jetzt in die Gleichung II einsetzen, um c auszurechnen.

$\begin{align*} 0&=3\textcolor{red}{a}-2\textcolor{olive}{b}+\textcolor{teal}{c} &&|\;\textcolor{red}{a=-1}\text{ und }\textcolor{olive}{b=3}\text{ einsetzen} \\ 0&=3\cdot \textcolor{red}{(-1)}-2\cdot \textcolor{olive}{3}+\textcolor{teal}{c} &&|\;\text{Zusammenfassen} \\ 0&=-9+\textcolor{teal}{c} &&|\;+9 \\ \textcolor{teal}{9}&=\textcolor{teal}{c} \end{align*}$

Jetzt, da du die Werte für a, b und c kennst, kannst du sie in die Gleichung I einsetzen, um d auszurechnen.

$\begin{align*}2&=-\textcolor{red}{a}+\textcolor{olive}{b}-\textcolor{teal}{c}+\textcolor{orange}{d}&&|\;\text{Werte einsetzen}\\2&=-\textcolor{red}{(-1)}+\textcolor{olive}{3}-\textcolor{teal}{9}+\textcolor{orange}{d}&&|\;\text{Zusammenfassen}\\2&=-5+\textcolor{orange}{d}&&|\;+5\\\textcolor{orange}{7}&\textcolor{orange}{=d}\end{align*}$

Dein LGS hat also die Lösungen a = -1, b = 3, c = 9 und d = 7.

4.Schritt: Rekonstruierte Funktion bestimmen

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Zum Schluss kannst du deine Ergebnisse nutzen, um die rekonstruierte Funktion zu bestimmen.

Erinnere dich: Für die Rekonstruktion von Funktionen 3. Grades, lautet deine allgemeine Funktionsgleichung:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Nun musst du noch die Werte a = -1, b = 3, c = 9 und d = 7 einsetzen.

f(x) = -x³ + 3x² + 9x + 7

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