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e Funktion einfach erklärt

Wichtige Inhalte in diesem Video

e Funktion einfach erklärt

Wie rechnest du mit der e Funktion?

E Funktionen ableiten

Stammfunktion ex / Integral

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (Nullstellen e Funktion)

Du willst wissen, wie du mit der e Funktion rechnest und welche Eigenschaften sie hat? Alles von den Nullstellen der e Funktion bis zu ihrer Ableitung erklären wir dir hier und natürlich in unserem Video !

Inhaltsübersicht

e Funktion einfach erklärt

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Die e Funktion ist die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis e ≈ 2,718. Ihre Gleichung ist:

f(x) = e^x

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Aufgepasst! Lass dich von dem e nicht verwirren. Das e ist eine ganz normale Zahl, so ähnlich wie π. Du nennst sie Eulersche Zahl .

Eigenschaften von e Funktionen

Keine Nullstellen: Die e-Funktion schneidet nie die x-Achse, nähert sich aber links immer mehr der x-Achse an.
Ableitung f'(x) = e^x: Die Ableitung von e hoch x ist gleich wie die e Funktion selbst.
Stammfunktion F(x) = e^x+ c: Auch die Stammfunktion e hoch x ist gleich wie die e-Funktion.
Umkehrfunktion f^-1(x) = ln(x): Die Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus ln(x).
Rechenregeln: e⁰ = 1 und e¹ = e

Wie rechnest du mit der e Funktion?

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Oft musst du mit der e-Funktion rechnen, zum Beispiel wenn du Nullstellen oder Hoch- und Tiefpunkte herausfinden musst oder eine Gleichung lösen willst. Dafür solltest du dir zwei wichtige Gesetze der e Funktion und der ln Funktion merken:

E Funktion Regeln

ln(e^x) = x

e^ln(x) = x

Das e und der ln löschen sich also gegenseitig. Schau dir ein Beispiel dazu an:

$\begin{aligned} \textcolor{red}{e}^{4x} - 8 &= 0 \phantom{ln()} \qquad | + 8\\ \textcolor{red}{e}^{4x} &= 8 \phantom{ln()} \qquad | \ ln() \ auf \ beiden \ Seiten \\ \textcolor{blue}{ln}(\textcolor{red}{e}^{4x}) &= \textcolor{blue}{ln}(8) \qquad | \ \textcolor{red}{e} \ und \ \textcolor{blue}{ln} \ löschen \ sich \\ 4x &= \textcolor{blue}{ln}(8) \qquad | : 4\\ x &= \frac{\textcolor{blue}{ln}(8)}{4} \end{aligend}$

Wenn du e Funktionen addieren oder zusammenfassen willst, brauchst du manchmal auch e Funktion Rechenregeln:

E Funktion Rechenregeln

$e^{x+y} = e^x \cdot e^y$

$e^{x-y} = \cfrac{e^x}{e^y}$

$e^{x \cdot y} = \left( e^x\right)^y$

$e^{-x} = e^{-x} = \frac{1}{e^x}$

Schau dir auch ein Beispiel zu den e Rechenregeln an: Vereinfache (e^x)² • e^x

$(e^x)^2 \cdot e^x \overset{\text{Regel3}}{=} e^{2x} \cdot e^{x} \overset{\text{Regel1}}{=} e^{2x + x} = e^{3x}$

Zusätzlich zu den e Funktion Rechenregeln solltest du dir folgende Exponentialfunktion Regeln für e hoch 0 und e hoch 1 merken:

e hoch 0: e⁰ = 1
e hoch 1: e¹ = e
e hoch minus x: e^-x = 1/e^x

Achtung! Beim e Funktionen addieren musst du aufpassen. Wenn zwei e Funktionen unterschiedliche Hochzahlen haben, z.B. e^-x und e^2x, kannst du die e Funktionen nicht addieren: $\textcolor{red}{e^{-x}+e^{2x}\xcancel{=e^{-x+2x}}}$

E Funktionen ableiten

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Die Ableitung von e hoch x ist wieder e^x selbst:

Ableitung E Funktion

f(x) = e^x→ f'(x) = e^x

Wenn in der Hochzahl (Exponent) mehr als ein x steht, dann verwendest du zum Ableiten die Kettenregel :

$\begin{aligned} f(x) &= \textcolor{red}{e^{5x+4}} \\ \implies f'(x) &= \textcolor{red}{e^{5x+4}} \cdot textcolor{olive}{5} \end{aligned}$

Den Teil e^Hochzahl lässt du stehen. Dahinter schreibst du „mal die Ableitung der Hochzahl.“

Wenn die e Funktionen komplizierter sind, zum Beispiel f(x) = x² • e^3x oder $f(x)=\frac{2x}{3e^x-1}$ , brauchst du die Produktregel oder die Quotientenregel :

$f(x) = \underbrace{\textcolor{blue}{x^2}}}_{u(x)} \cdot \underbrace{\textcolor{red}{e^{3x}}}_{v(x)}$

$\begin{aligned} \implies f'(x) &= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \\ &= \textcolor{blue}{2x} \cdot \textcolor{red}{e^{3x}} + \textcolor{blue}{x^2} \cdot \underbrace{\textcolor{red}{e^{3x} \cdot 3}}_{Kettenregel} \\ &= e^{3x} \cdot (2x + x^2 \cdot 3) \end{aligned}$

Im letzten Schritt hast du e^3x ausgeklammert. Das hilft dir später beim Weiterrechnen.

Dir ging alles etwas zu schnell? Dann schau dir doch unser ausführliches Video zur Ableitung der natürliche Exponentialfunktion an!

Stammfunktion e^x / Integral

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Die Stammfunktion bzw. das Integral der von e hoch x ist wieder die e-Funktion selbst:

Stammfunktion e^x

$F(x) = \int e^x dx = e^x+c$

Du möchtest noch eine ausführlichere Erklärung? Dann schau dir unser Video zum Integrieren von e^x an.

Eigenschaften der e Funktion

Bei einer Kurvendiskussion brauchst du einige Eigenschaften der e Funktion. Dazu zählen:

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (Nullstellen e Funktion)
Grenzverhalten
Symmetrie
Definitionsmenge und Wertemenge
Monotonie
Umkehrfunktion

Die erklären wir dir jetzt genauer!

Schon gewusst? Die Eulersche Zahl

Die Eulersche Zahl e heißt so, weil sie von dem Mathematiker Leonhard Euler entdeckt wurde. Sie entsteht, wenn du unendlich oft bestimmte Brüche zusammenzählst (e Funktion Reihe):

$\sum\limits_{n=0}^\infty \cfrac{1}{n!} = \frac{1}{0!}+ \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}+\ldots$

$=1+\frac{1}{1 }+\frac{1}{2\cdot 1}+\frac{1}{ 3 \cdot 2\cdot 1}+ \frac{1}{4 \cdot 3 \cdot 2\cdot 1} + \ldots= 2,7182\ldots = e$

Die Zahl e hat unendlich viele Nachkommastellen und du kannst sie nicht als Bruch darstellen.

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (Nullstellen e Funktion)

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Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei der normalen e-Funktion f(x) = e^xbei (0|1). Die normale e-Funktion f(x) = e^x hat keinen Schnittpunkt mit der x-Achse. Sie hat also keine Nullstellen.

Bei anderen Funktionen (z.B. f(x) = 3e^2x-1) musst du die Schnittpunkte berechnen:

Schnittpunkt mit der y-Achse: Setze für x die 0 ein und rechne das aus.

$f(0) = 3\cdot e^{2 \cdot 0}-1=3 \cdot e^{0}-1 = 3 \cdot 1 - 1= 3 -1 = \textcolor{blue}{2}$ ⇒ Schnittpunkt bei (0|2)

Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle ): Setze die natürliche Exponentialfunktion gleich 0 und löse nach x auf.
$\begin{aligned}3e^{2x}-1 &= 0 \\x &= \frac{ln(\frac{1}{3})}{2}\end{aligned}$

Wie du diese Gleichung auflöst, erklären wir dir im Abschnitt „Wie rechnest du mit der e Funktion?“ weiter oben in diesem Beitrag. Die Nullstelle liegt also bei ( $\textcolor{red}{\frac{ln(\frac{1}{3})}{2}}$ | 0).

Grenzverhalten

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Beim Grenzverhalten schaust du dir an, was mit der Funktion für sehr große ( $+\infty$ ) oder sehr kleine ( $-\infty$ ) x-Werte passiert.

Verhalten im Unendlichen

Sehr große x-Werte (x → $+\infty$ ): $e^x \to +\infty$ , d.h. die y-Werte werden sehr groß
Sehr kleine x-Werte (x → $-\infty$ ): $e^x \to 0$ , d.h. die y-Werte gehen gegen 0

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Die waagrechte Asymptote der exp Funktion ist also die x-Achse.

Wenn deine e-Funktion in einem Produkt steht (z.B. f(x) = — x² • e^x), gilt folgende Regel:

Wenn beide Faktoren gegen $\infty$ gehen, dann gelten die Vorzeichenregeln: $(-\infty)$ • $(+\infty)$ = $(-\infty)$ und $(-\infty)$ • $(-\infty)$ = $(+\infty)$ :

Beispiel: Für $x \to +\infty$ gilt: $\underbrace{-x^2}_{\to \textcolor{red}{-\infty}} \cdot \underbrace{e^x}_{\to \textcolor{olive}{+\infty}} \to \textcolor{red}{-\infty}$

Wenn ein Faktor des Produkts gegen 0 geht und der andere gegen $+\infty$ oder $-\infty$ , dann gewinnt immer die e-Funktion:

Beispiel: Für $x \to -\infty$ gilt: $\underbrace{-x^2}_{\to \textcolor{red}{-\infty}} \cdot \underbrace{e^x}_{\to \textcolor{blue}{0}} \to \textcolor{blue}{0}$

Symmetrie der e-Funktion

Die normale natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x ist nicht punktsymmetrisch und nicht achsensymmetrisch. Schau dir aber mal den e Funktion Graph von $f(x) = e^{x^2-1}$ an:

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Du siehst, dass diese natürliche Exponentialfunktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Um das mathematisch auszurechnen, musst du f(-x) berechnen und vereinfachen:

$\textcolor{orange}{f(-x)} = e^{(-x)^2-1} = e^{x^2-1} = f(x)$

Du siehst, dass (-x)² = x²ist, weil sich das Minus bei hoch 2 auflöst. Deshalb ist f(-x) das Gleiche ist wie f(x) selbst. Darum nennst du diese e Funktion achsensymmetrisch. Es gilt nämlich:

Symmetrie bei Funktionen

Achsensymmetrie : $\textcolor{orange}{f(-x)} = f(x)$

Punktsymmetrie : $\textcolor{orange}{f(-x)} = -f(x)$

Definitionsmenge und Wertemenge

Die Definitionsmenge sind die Zahlen, die du in eine Funktion einsetzen darfst. Alle Zahlen, die als y-Werte rauskommen können, nennst du Wertemenge .

Definitionsmenge und Wertemenge der exp Funktion

Du darfst alle Zahlen in e hoch x einsetzen, bekommst aber nur positive Zahlen heraus.

Definitionsmenge: $\mathbb{D}=\mathbb{R}$
Wertemenge: $\mathbb{W}=\mathbb{R}^+$

Monotonie

Die normale exp Funktion f(x) = e^x ist streng monoton wachsend. Das heißt, sie steigt die ganze Zeit an.

Bei anderen Funktionen bestimmst du das Monotonieverhalten mithilfe der Ableitung. Wie das geht, zeigen wir dir hier !

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist die ln-Funktion f^-1(x) = ln(x). Den ln nennst du auch natürlichen Logarithmus .

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Den Logarithmus erhältst du aus der exp Funktion, wenn du e hoch x an der grünen Geraden spiegelst.

Wenn du dein Wissen zur E-Funktion noch zusätzlich vertiefen oder mehr Details erfahren willst, dann sieh dir gerne auch unseren fortgeschrittenen Beitrag dazu an!

ln Funktion

Willst du die Umkehrfunktion der e Funktion genauer kennenlernen? Dann schau dir direkt unser Video zur ln Funktion an. Bis gleich!

Zum Video: ln Funktion

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