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Trigonometrie

Wichtige Inhalte in diesem Video

Trigonometrie einfach erklärt

Trigonometrie Aufgaben

Du willst die Trigonometrie einfach erklärt bekommen und alle Trigonometrie Formeln auf einen Blick sehen? Dann bist du hier und im Video genau richtig!

Inhaltsübersicht

Trigonometrie einfach erklärt

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Beim Begriff Trigonometrie denkst du bestimmt direkt an Sinus, Cosinus und Tangens. Du kannst diese Trigonometrie Formeln immer bei rechtwinkligen Dreiecken anwenden. Denn sie helfen dir dabei, Winkel oder Seitenlänge auszurechnen!

Am besten verstehst du die Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck an einem Bild. Hier können wir die Formeln für sin, cos und tan einmal aufstellen. Der Winkel α ist unser Ausgangspunkt.

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$\begin{align*} \sin(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}\\ \cos(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}\\ \tan(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}\\ \end{align*}$

In einem rechtwinkligen Dreieck nennst du die Seite gegenüber vom rechten Winkel Hypotenuse c . Die Ankathete b ist die Seite, die an unserem Winkel α liegt. Die Gegenkathete a ist die Seite, die gegenüber vom Winkel α liegt.

Trigonometrie Aufgaben

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Mit diesen Funktionen können wir nicht nur Winkel berechnen. Wenn wir die Formeln umstellen , können wir auch die Längen der Dreiecksseiten berechnen.

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 4 cm und dem Winkel α = 30°. Wir wollen nun die Ankathete b berechnen.

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Um die Länge der Ankathete zu berechnen, brauchen wir die passende trigonometrische Funktion. Sie soll zum einen den gesuchten Wert (Ankathete b) und zum anderen die gegebenen Werte enthalten, also den Winkel α und die Hypotenuse c. Deshalb verwenden wir den Cosinus:

$\cos(\textcolor{red}{\alpha})=\frac{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}$

Bevor wir die Werte einsetzen, stellen wir cos(α) nach der Ankathete um.

$\begin{align*} \cos(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}&&|\;\cdot \textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}\\ \textcolor{purple}{\text{Ankathete}}&=\cos(\textcolor{red}{\alpha})\cdot \textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}\\ \end{align*}$

In diesem Beispiel brauchen wir den Cosinus-Wert für α=30°. Wir setzen also $\textcolor{red}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ (Wert aus Tabelle unten) in die Formel ein:

$\begin{align*} \textcolor{purple}{\text{Ankathete}}&=\cos(\textcolor{red}{\ang{30}})\cdot \textcolor{blue}{4}\\ &=\textcolor{red}{\frac{\sqrt{3}} {2}}\cdot\textcolor{blue}{4}\\ &=2\sqrt{3} \end{align*}$

Übrigens: Zu einigen Winkeln von Sinus, Cosinus und Tangens gibt es Werte, die du dir merken kannst:

Winkel α	0°	30°	45°	60°	90°
sin(α)	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos(α)	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
tan(α)	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	–

Wenn du mehr Trigonometrie Aufgaben suchst, dann schau dir doch unser Video zu Sinus Cosinus Tangens an!

Trigonometrische Funktionen

Hier siehst du, wie die Trigonometrie Funktionen im Koordinatensystem aussehen:

Sinus

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Cosinus

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Tangens

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Schau dir auch unsere Videos zu den Funktionen Sinus , Cosinus , Tangens an!

Umrechnung Gradmaß – Bogenmaß

Wenn du mit Winkeln rechnest, kannst du sie entweder im Gradmaß (90°) oder im Bogenmaß ( $\frac{\pi}{2}$ ) angeben:

Formel Gradmaß in Bogenmaß:

$\textcolor{blue}{x} = \frac{\textcolor{red}{\alpha}}{180^\circ} \cdot \pi$

Formel Bogenmaß in Gradmaß:

$\textcolor{red}{\alpha} = \frac{\textcolor{blue}{x}}{\pi} \cdot 180^\circ$

Rechenregeln Trigonometrie

In der Trigonometrie in Mathe gibt es noch einige Rechenregeln, die du kennen solltest:

Trigonometrischer Pythagoras

Der trigonometrische Pythagoras lautet:

$(\sin\textcolor{red}{\alpha})^2+(\cos\textcolor{red}{\alpha})^2=1$

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Mit dieser Trigonometrie Formelsammlung im Kopf kannst du Gleichungen oft sehr stark vereinfachen.

Additionstheoreme

Mit den Additionstheoremen kannst du den Sinus und Cosinus einer Summe berechnen:

$\sin(\textcolor{red}{\alpha}+\textcolor{orange}{\beta})=\cos(\textcolor{red}{\alpha})\cdot\sin(\textcolor{orange}{\beta})+\sin(\textcolor{red}{\alpha})\cdot\cos(\textcolor{orange}{\beta})$

$\cos(\textcolor{red}{\alpha}+\textcolor{orange}{\beta})=\cos(\textcolor{red}{\alpha})\cdot\cos(\textcolor{orange}{\beta})-\sin(\textcolor{red}{\alpha})\cdot\sin(\textcolor{orange}{\beta})$

Sinussatz

Den Sinussatz kannst du benutzen, um fehlende Stücke eines Dreiecks zu berechnen. Zum Beispiel, wenn zwei Seitenlängen und ein gegenüberliegender Winkel oder eine Seitenlänge und zwei Winkel gegeben sind. Das Dreieck muss dabei nicht rechtwinklig sein!

$\frac{\textcolor{olive}{a}}{\sin(\textcolor{red}{\alpha})}=\frac{\textcolor{purple}{b}}{\sin(\textcolor{orange}{\beta})}=\frac{\textcolor{blue}{c}}{\sin(\textcolor{magenta}{\gamma})}$

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Cosinussatz

Mit dem Cosinussatz kannst du zum Beispiel aus zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel die dritte Seite berechnen. Er kann dir auch helfen einen Winkel zu berechnen, wenn alle drei Seiten gegeben sind. Auch hier muss das Dreieck nicht rechtwinklig sein!

$\textcolor{olive}{a}^2=\textcolor{purple}{b}^2+\textcolor{blue}{c}^2-2\textcolor{purple}{b}\textcolor{blue}{c}\cdot\cos(\textcolor{red}{\alpha})$

$\textcolor{purple}{b}^2=\textcolor{olive}{a}^2+\textcolor{blue}{c}^2-2\textcolor{olive}{a}\textcolor{blue}{c}\cdot\cos(\textcolor{orange}{\beta})$

$\textcolor{blue}{c}^2=\textcolor{olive}{a}^2+\textcolor{purple}{b}^2-2\textcolor{olive}{a}\textcolor{purple}{b}\cdot\cos(\textcolor{magenta}{\gamma})$

Trigonometrie — häufigste Fragen

Was ist Trigonometrie?
In der Trigonometrie werden die Seiten und Winkel von Dreiecken untersucht. Durch die Anwendung der trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens können mit gegebenen Größen andere Werte (z. B. Seitenlänge, Winkelgröße, …) berechnet werden.
Was gehört alles zu Trigonometrie?
Zur Trigonometrie gehören die trigonometrischen Formeln:
– Sinusfunktion
– Cosinusfunktion
– Tangensfunktion
In welcher Klasse hat man Trigonometrie?
Die Trigonometrie ist Lernstoff in der 9. Klasse Gymnasium im Fach Mathematik.

Einheitskreis

Jetzt hast du dir einen Überblick über die Trigonometrie verschafft. Für mehr Details den trigonometrischen Funktionen, schau dir unser Video zum Einheitskreis an!

Zum Video: Einheitskreis

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